1. Метод подстановки : из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.

Задача. Решить систему уравнений:

Решение. Из первого уравнения системы выражаем у через х и подставляем во второе уравнение системы. Получим систему равносильную исходной.

После приведения подобных членов система примет вид:

Из второго уравнения находим: . Подставив это значение в уравнение у = 2 - 2х , получим у = 3. Следовательно, решением данной системы является пара чисел .

2. Метод алгебраического сложения : путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.

Задача. Решить систему уравнение:

Решение. Умножив обе части второго уравнения на 2, получим систему равносильную исходной. Сложив два уравнения этой системы, придем к системе

После приведения подобных членов данная система примет вид: Из второго уравнения находим . Подставив это значение в уравнение 3х + 4у = 5, получим , откуда . Следовательно, решением данной системы является пара чисел .

3. Метод введения новых переменных : ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.

Задача. Решить систему уравнений:

Решение. Запишем данную систему иначе:

Пусть х + у = u, ху = v. Тогда получим систему

Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения системы выразим u через v и подставим во второе уравнение системы. Получим систему т.е.

Из второго уравнение системы находим v 1 = 2, v 2 = 3.

Подставив эти значения в уравнение u = 5 - v , получим u 1 = 3,
u 2 = 2. Тогда имеем две системы

Решая первую систему, получим две пары чисел (1; 2), (2; 1). Вторая система решений не имеет.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Решить системы уравнений методом подстановки.

Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы .

Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в систему вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin{cases}3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end{cases}\)

А вот \(x=1\); \(y=-2\) - не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin{cases}1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end{cases}\)

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо "\(x=3\); \(y=-1\)" пишут так: \((3;-1)\).

Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

1. Способ подстановки.

\(\begin{cases}x-2y=5\\3x+2y=7 \end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=5+2y\\3x+2y=7\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)

Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое уравнение системы.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin{cases}13x+9y=17\\12x-2y=26\end{cases}\)

   Во втором уравнении каждое слагаемое - четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).
   

   \(\begin{cases}13x+9y=17\\6x-y=13\end{cases}\)

   Эту систему можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.
   

   \(\begin{cases}13x+9y=17\\y=6x-13\end{cases}\)

   Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.
   

   \(\begin{cases}13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end{cases}\)

   Первое уравнение превратилась в обычное . Решаем его.

   Сначала раскроем скобки.
   

   \(\begin{cases}13x+54x-117=17\\y=6x-13\end{cases}\)

   Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.

   \(\begin{cases}67x=134\\y=6x-13\end{cases}\)

   Поделим обе части первого уравнения на \(67\).

   \(\begin{cases}x=2\\y=6x-13\end{cases}\)

   Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).

   \(\begin{cases}x=2\\y=12-13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\)

   Запишем ответ.

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Инструкция

Способ сложения.
Нужно записать два строго друг под другом:

549+45у+4у=-7, 45у+4у=549-7, 49у=542, у=542:49, у≈11.
В произвольно выбранное (из системы) уравнение вставить вместо уже найденного «игрека» число 11 и вычислить второе неизвестное:

Х=61+5*11, х=61+55, х=116.
Ответ данной системы уравнений: х=116, у=11.

Графический способ.
Заключается в практическом нахождении координаты точки, в которой прямые, математически записанные в системе уравнений. Следует начертить графики обоих прямых по отдельности в одной системе координат. Общий вид : – у=kх+b. Чтобы построить прямую, достаточно найти координаты двух точек, причем, х выбирается произвольно.
Пусть дана система: 2х – у=4

У=-3х+1.
Строится прямая по первому , для удобства его нужно записать: у=2х-4. Придумать (полегче) значения для икс, подставляя его в уравнение, решив его, найти игрек. Получаются две точки, по которым строится прямая. (см рис.)
х 0 1

у -4 -2
Строится прямая по второму уравнению: у=-3х+1.
Так же построить прямую. (см рис.)

у 1 -5
Найти координаты точки пересечения двух построенных прямых на графике (если прямые не пересекаются, то система уравнений не имеет – так ).

Видео по теме

Полезный совет

Если одну и ту же систему уравнений решить тремя разными способами, ответ получится одинаковый (если решение верно).

Источники:

• Алгебра 8 класса
• решить уравнение с двумя неизвестными онлайн
• Примеры решения систем линейных уравнений с двумя

Система уравнений представляет собой совокупность математических записей, каждая из которых содержит некоторое количество переменных. Существует несколько способов их решения.

Вам понадобится

• -линейка и карандаш;
• -калькулятор.

Инструкция

Рассмотрим последовательность решения системы, которая состоит из линейных уравнений имеющих вид: a1x + b1y = c1 и a2x + b2y = c2. Где x и y – неизвестные переменные, а b,c – свободные члены. При применении данного способа каждое системы представляет собой координаты точек , соответствующих каждому уравнению. Для начала в каждом случае выразите одну переменную через другую. Затем задайте переменной х несколько любых значений. Достаточно два. Подставьте в уравнение и найдите y. Постройте систему координат, отметьте на ней полученные точки и проведите через них прямую. Аналогичные расчеты необходимо провести и для других частей системы.

Система имеет единственное решение, если построенные прямые пересекаются и одну общую точку. Она несовместна, если параллельны друг другу. И имеет бесконечно много решений, когда прямые сливаются друг с другом.

Данный способ считается очень наглядным. Главным недостатком то, что вычисленные неизвестные имеют приближенные значения. Более точный результат дают так называемые алгебраические методы.

Любое решение системы уравнений стоит проверить. Для этого подставьте вместо переменных полученные значения. Так же можно найти его решение несколькими методами. Если решение системы верное, то все должны получиться одинаковыми.

Часто встречаются уравнения, в которых одно из слагаемых неизвестно. Чтобы решить уравнение, нужно запомнить и проделать с данными числами определенный набор действий.

Вам понадобится

• - лист бумаги;
• - ручка или карандаш.

Инструкция

Представьте, что перед вами 8 кроликов, а у вас есть только 5 морковок. Подумайте, морковок вам нужно еще купить, чтобы каждому кролику досталось по морковке.

Представим эту задачу в виде уравнения: 5 + x = 8. Подставим на место x число 3. Действительно, 5 + 3 = 8.

Когда вы подставляли число на место x, вы проделывали ту же операцию, что и при вычитании 5 из 8. Таким образом, чтобы найти неизвестное слагаемое, вычтите из суммы известное слагаемое.

Допустим, у вас 20 кроликов и только 5 морковок. Составим . Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, значения которых требуется отыскать, называются . Составьте уравнение с одним неизвестным, назовите его x. При решении нашей задачи про кроликов получается следующее уравнение: 5 + x = 20.

Найдем разницу между 20 и 5. При вычитании то число, из которого вычитают, уменьшаемое. То число, которое вычитают, называется , а конечный результат называется разностью. Итак, x = 20 – 5; x = 15. Нужно купить 15 морковок для кроликов.

Сделайте проверку: 5 + 15 = 20. Уравнение решено верно. Разумеется, когда речь идет о таких простых , проверку выполнять необязательно. Однако когда приходится уравнения с трехзначными, четырехзначными и тому числами, обязательно нужно выполнять проверку, чтобы быть абсолютно уверенным в результате своей работы.

Видео по теме

Полезный совет

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

Совет 4: Как решить систему из трёх уравнений с тремя неизвестными

Система из трех уравнений с тремя неизвестными может и не иметь решений, несмотря на достаточное количество уравнений. Можно пытаться решить ее с помощью метода подстановки или с помощью метода Крамера. Метод Крамера помимо решения системы позволяет оценить, является ли система разрешимой, до того, как отыскать значения неизвестных.

Инструкция

Метод подстановки заключается в последовательном одной неизвестной через две других и подстановке полученного результата в уравнения системы. Пусть дана система из трех уравнений в общем виде:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Выразите из первого уравнения x: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - и подставьте во второе и третье уравнения, затем из второго уравнения выразите y и подставьте в третье. Вы получите линейное выражение для z через коэффициенты уравнений системы. Теперь идите "обратно": подставьте z во второе уравнение и найдите y, а затем z и y подставьте в первое и найдите x. Процесс в общем виде отображен на рисунке до нахождения z. Дальше запись в общем виде будет слишком громоздкой, на практике, подставив , вы довольно легко найдете все три неизвестные.

Метод Крамера заключается в составлении матрицы системы и вычислении определителя этой матрицы, а также еще трех вспомогательных матриц. Матрица системы составляется из коэффициентов при неизвестных членах уравнений. Столбец, содержащий числа, стоящие в правых частях уравнений, столбцом правых частей. В системы он не используется, но используется при решении системы.

Видео по теме

Обратите внимание

Все уравнения в системе должны поставлять дополнительную независимую от других уравнений информацию. Иначе система будет недоопределена и однозначного решения найти будет не возможно.

Полезный совет

После решения системы уравнений подставьте найденные значения в исходную систему и проверьте, что они удовлетворяют всем уравнениям.

Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет множество решений, поэтому чаще всего оно дополняется еще двумя уравнениями или условиями. В зависимости от того, каковы исходные данные, во многом будет зависеть ход решения.

Вам понадобится

• - система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Инструкция

Если два из трех системы имеют лишь две неизвестные из трех, попытайтесь выразить одни переменные через другие и подставить их в уравнение с тремя неизвестными . Ваша цель при этом – превратить его в обычное уравнение с неизвестной. Если это , дальнейшее решение довольно просто – подставьте найденное значение в другие уравнения и найдите все остальные неизвестные.

Некоторые системы уравнений можно вычитанием из одного уравнения другого. Посмотрите, нет ли возможности умножить одно из на или переменную так, чтобы сократились сразу две неизвестные. Если такая возможность есть, воспользуйтесь ею, скорее всего, последующее решение не составит труда. Не забывайте, что при умножении на число необходимо умножать как левую часть, так и правую. Точно также, при вычитании уравнений необходимо помнить о том, что правая часть должна также вычитаться.

Если предыдущие способы не помогли, воспользуйтесь общим способом решений любых уравнений с тремя неизвестными . Для этого перепишите уравнения в виде а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Теперь составьте матрицу коэффициентов при х (А), матрицу неизвестных (Х) и матрицу свободных (В). Обратите внимание, умножая матрицу коэффициентов на матрицу неизвестных, вы получите матрицу, матрице свободных членов, то есть А*Х=В.

Найдите матрицу А в степени (-1) предварительно отыскав , обратите внимание, он не должен быть равен нулю. После этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в результате вы получите искомую матрицу Х, с указанием всех значений.

Найти решение системы из трех уравнений можно также с помощью метода Крамера. Для этого найдите определитель третьего порядка ∆, соответствующий матрице системы. Затем последовательно найдите еще три определителя ∆1, ∆2 и ∆3, подставляя вместо значений соответствующих столбцов значения свободных членов. Теперь найдите х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.

Источники:

• решений уравнений с тремя неизвестными

Приступая к решению системы уравнений, разберитесь с тем, какие это уравнения. Достаточно хорошо изучены способы решения линейных уравнений. Нелинейные уравнения чаще всего не решаются. Имеются лишь одни частные случаи, каждый из которых практически индивидуален. Поэтому изучение приемов решения следует начать с уравнений именно линейных. Такие уравнения можно решать даже чисто алгоритмически.

знаменатели при найденных неизвестных совершено одинаковы. Да и у числителей просматриваются некоторые закономерности их построения. Если размерность системы уравнений была бы большей двух, то метод исключения приводил бы к весьма громоздким выкладкам. Чтобы их избежать, разработаны чисто алгоритмические способы решения. Самый простой из них алгоритм Крамера (формулы Крамера). Для следует узнать, общая система уравнений из n уравнений.

Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид (см. рис. 1a). В ней аij – коэффициенты системы,
хj – неизвестные, bi – свободные члены (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , п). Компактно такую систему можно записывать в матричной форме АХ=B. Здесь А – матрица коэффициентов системы, Х – матрица-столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов (см. рис 1b). По методу Крамера каждое неизвестное xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Определитель ∆ матрицы коэффициентов называют главным, а ∆i вспомогательным. Для каждой неизвестной вспомогательный определитель находят с помощью замены i-го столбца главного определителя на столбец свободных членов. Подробно метод Крамера для случая систем второго и третьего порядка представлен на рис. 2.

Система представляет собой объединение двух или более равенств, в каждом из которых имеется по два или более неизвестных. Существуют два основных способа решения систем линейных уравнений, которые используются в рамках школьной программы. Один из них носит название метода , другой - метода сложения.

Стандартный вид системы из двух уравнений

При стандартном виде первое уравнение имеет вид a1*x+b1*y=с1, второе уравнение имеет вид a2*x+b2*y=c2 и так далее. Например, в случае с двумя частями системы в обоих приведенных a1, a2, b1, b2, c1, c2 - некоторые числовые коэффициенты, представленные в конкретных уравнениях. В свою очередь, x и у представляют собой неизвестные, значения которых нужно определить. Искомые значения обращают оба уравнения одновременно в верные равенства.

Решение системы способом сложения

Для того чтобы решить систему , то есть найти те значения x и y, которые превратят их в верные равенства, необходимо предпринять несколько несложных шагов. Первый из них заключается в преобразовании любого из уравнений таким образом, чтобы числовые коэффициенты для переменной x или y в обоих уравнениях совпадали по модулю, но различались по знаку.

Например, пусть задана система, состоящая из двух уравнений. Первое из них имеет вид 2x+4y=8, второе имеет вид 6x+2y=6. Одним из вариантов выполнения поставленной задачи является домножение второго уравнения на коэффициент -2, которое приведет его к виду -12x-4y=-12. Верный выбор коэффициента является одной из ключевых задач в процессе решения системы способом сложения, поскольку он определяет весь дальнейший ход процедуры нахождения неизвестных.

Теперь необходимо осуществить сложение двух уравнений системы. Очевидно, взаимное уничтожение переменных с равными по значению, но противоположными по знаку коэффициентами приведет его к виду -10x=-4. После этого необходимо решить это простое уравнение, из которого однозначно следует, что x=0,4.

Последним шагом в процессе решения является подстановка найденного значения одной из переменных в любое из первоначальных равенств, имеющихся в системе. Например, подставляя x=0,4 в первое уравнение, можно получить выражение 2*0,4+4y=8, откуда y=1,8. Таким образом, x=0,4 и y=1,8 являются корнями приведенной в примере системы.

Для того чтобы убедиться, что корни были найдены верно, полезно произвести проверку, подставив найденные значения во второе уравнение системы. Например, в данном случае получается равенство вида 0,4*6+1,8*2=6, которое является верным.

Видео по теме

Материал этой статьи предназначен для первого знакомства с системами уравнений. Здесь мы введем определение системы уравнений и ее решений, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся виды систем уравнений. По обыкновению будем приводить поясняющие примеры.

Навигация по странице.

Что такое система уравнений?

К определению системы уравнений будем подбираться постепенно. Сначала лишь скажем, что его удобно дать, указав два момента: во-первых, вид записи, и, во-вторых, вложенный в эту запись смысл. Остановимся на них по очереди, а затем обобщим рассуждения в определение систем уравнений.

Пусть перед нами несколько каких-нибудь . Для примера возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5 . Запишем их одно под другим и объединим слева фигурной скобкой:

Записи подобного вида, представляющие собой несколько расположенных в столбик уравнений и объединенных слева фигурной скобкой, являются записями систем уравнений.

Что же означают такие записи? Они задают множество всех таких решений уравнений системы, которые являются решением каждого уравнения.

Не помешает описать это другими словами. Допустим, какие-то решения первого уравнения являются решениями и всех остальных уравнений системы. Так вот запись системы как раз их и обозначает.

Теперь мы готовы достойно воспринять определение системы уравнений.

Определение.

Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения системы.

Аналогичное определение приведено в учебнике , однако там оно дано не для общего случая, а для двух рациональных уравнений с двумя переменными.

Основные виды

Понятно, что разнообразных уравнений бесконечно много. Естественно, и составленных с их использованием систем уравнений также бесконечно много. Поэтому, для удобства изучения и работы с системами уравнений есть смысл их разделить на группы по схожим характеристикам, а дальше перейти к рассмотрению систем уравнений отдельных видов.

Первое подразделение напрашивается по числу уравнений, входящих в систему. Если уравнений два, то можно сказать, что перед нами система двух уравнений, если три – то система трех уравнений, и т.д. Понятно, что не имеет смысла говорить о системе одного уравнения, так как в этом случае по сути мы имеем дело с самим уравнением, а не с системой.

Следующее деление базируется на числе переменных, участвующих в записи уравнений системы. Если переменная одна, то мы имеем дело с системой уравнений с одной переменной (еще говорят с одной неизвестной), если две – то с системой уравнений с двумя переменными (с двумя неизвестными), и т.д. Например, - это система уравнений с двумя переменными x и y .

При этом имеется в виду число всех различных переменных, участвующих в записи. Они не обязательно должны все сразу входить в запись каждого уравнения, достаточно их наличия хотя бы в одном уравнении. К примеру, - это система уравнений с тремя переменными x , y и z . В первом уравнение переменная x присутствует явно, а y и z – неявно (можно считать, что эти переменные имеют нуль), а во втором уравнении есть x и z , а переменная y явно не представлена. Другими словами, первое уравнение можно рассматривать как , а второе – как x+0·y−3·z=0 .

Третий момент, в котором различаются системы уравнений, это вид самих уравнений.

В школе изучение систем уравнений начинается с систем двух линейных уравнений с двумя переменными . То есть, такие системы составляют два линейных уравнения. Вот пара примеров: и . На них и познаются азы работы с системами уравнений.

При решении более сложных задач можно столкнуться и с системами трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Дальше в 9 классе в системы двух уравнений с двумя переменными добавляются нелинейные уравнения, по большей части целые уравнения второй степени, реже – более высоких степеней. Эти системы называют системами нелинейных уравнений, при необходимости уточняют число уравнений и неизвестных. Покажем примеры таких систем нелинейных уравнений: и .

А дальше в системах встречаются и , к примеру, . Их обычно называют просто системами уравнений, не уточняя, каких именно уравнений. Здесь стоит заметить, что наиболее часто про систему уравнений говорят просто «система уравнений», а уточнения добавляют лишь при необходимости.

В старших классах по мере изучения материала в системы проникают иррациональные, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения : , , .

Если заглянуть еще дальше в программу первых курсов ВУЗов, то основной упор сделан на исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) , то есть, уравнений, в левых частях которых многочлены первой степени, а в правых – некоторые числа. Но там, в отличие от школы, уже берутся не два линейных уравнения с двумя переменными, а произвольное число уравнений с произвольным числом переменных, зачастую не совпадающим с числом уравнений .

Что называется решением системы уравнений?

К системам уравнений непосредственно относится термин «решение системы уравнений». В школе дается определение решения системы уравнений с двумя переменными :

Определение.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное , другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Например, пара значений переменных x=5 , y=2 (ее можно записать как (5, 2) ) является решением системы уравнений по определению, так как уравнения системы при подстановке в них x=5 , y=2 обращаются в верные числовые равенства 5+2=7 и 5−2=3 соответственно. А вот пара значений x=3 , y=0 не является решением этой системы, так как при подстановке этих значений в уравнения, первое из них обратится в неверное равенство 3+0=7 .

Аналогичные определения можно сформулировать и для систем с одной переменной, а также для систем с тремя, четырьмя и т.д. переменными.

Определение.

Решением системы уравнений с одной переменной будет значение переменной, являющееся корнем всех уравнений системы, то есть, обращающее все уравнения в верные числовые равенства.

Приведем пример. Рассмотрим систему уравнений с одной переменной t вида . Число −2 является ее решением, так как и (−2) 2 =4 , и 5·(−2+2)=0 – верные числовые равенства. А t=1 – не является решением системы, так как подстановка этого значения даст два неверных равенства 1 2 =4 и 5·(1+2)=0 .

Определение.

Решением системы с тремя, четырьмя и т.д. переменными называется тройка, четверка и т.д. значений переменных соответственно, обращающая в верные равенства все уравнения системы.

Так по определению тройка значений переменных x=1 , y=2 , z=0 – решение системы , так как 2·1=2 , 5·2=10 и 1+2+0=3 - верные числовые равенства. А (1, 0, 5) не является решением этой системы, так как при подстановке этих значений переменных в уравнения системы второе из них обращается в неверное равенство 5·0=10 , да и третье тоже 1+0+5=3 .

Заметим, что системы уравнений могут не иметь решений, могут иметь конечное число решений, например, одно, два, …, а могут иметь бесконечно много решений. В этом Вы убедитесь по мере углубления в тему.

Учитывая определения системы уравнений и их решений можно заключить, что решение системы уравнений представляет собой пересечение множеств решений всех ее уравнений.

В заключение приведем несколько связанных определений:

Определение.

несовместной , если она не имеет решений, в противном случае система называется совместной .

Определение.

Система уравнений называется неопределенной , если она имеет бесконечно много решений, и определенной , если имеет конечное число решений, либо не имеет их вообще.

Эти термины вводятся, например, в учебнике , однако в школе применяются довольно редко, чаще их можно услышать в высших учебных заведениях.

Список литературы.

1. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
7. А. Г. Курош . Курс высшей алгебры.
8. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: Учеб.: Для вузов. – 5-е изд. – М.: Наука. Физматлит, 1999. – 224 с. – (Курс высшей математики и мат. физики). – ISBN 5-02-015234 – X (Вып. 3)