Осевая и центральная симметрии

Центральная симметрия. Центральная симметрия является движением.

Картинка 9 из презентации «Виды симметрии» к урокам геометрии на тему «Симметрия»

Размеры: 1503 х 939 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать картинку для урока геометрии, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Для показа картинок на уроке Вы также можете бесплатно скачать презентацию «Виды симметрии.ppt» целиком со всеми картинками в zip-архиве. Размер архива - 1936 КБ.

Скачать презентацию

Симметрия

«Симметрия в природе» - В 19 веке, в Европе, появились единичные работы, посвящённые симметрии растений. . Осевая Центральная. Одним из основных свойств геометрических фигур является симметрия. Работу выполнили: Жаворонкова Таня Николаева Лера Руководитель: Артёменко Светлана Юрьевна. Под симметрией в широком смысле понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

«Симметрия в искусстве» - II.1. Пропорция в архитектуре. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. II. Центрально-осевая симметрия присутствует чуть ли не в каждом архитектурном объекте. Площадь Вогезов в Париже. Периодичность в искусстве. Содержание. Сикстинская мадонна. Красота многогранна и многолика.

«Точка симметрии» - Кристаллы каменной соли, кварца, арагонита. Симметрия в животном мире. Примеры вышеупомянутых видов симметрии. B А О Любая точка прямой является центром симметрии. Такая фигура обладает центральной симметрией. Круглый конус обладает осевой симметрией; ось симметрии – ось конуса. Равнобочная трапеция имеет только осевую симметрию.

«Движение в геометрии» - Движение в геометрии. Как движение используется в различных сферах деятельности человека? Что называется движением? К каких науках применяется движение? Группа теоретиков. Математика красива и гармонична! Можем ли мы видеть движение в природе? Понятие движения Осевая симметрия Центральная симметрия.

«Математическая симметрия» - Симметрия. Симметрия в математике. Типы симметрии. В х и м и и. Вращательная. Математическая симметрия. Центральная симметрия. Вращательная симметрия. Физическая симметрия. Тайна зеркального мира. Однако у сложных молекул, как правило, отсутствует симметрия. ИМЕЕТ МНОГО ОБЩЕГО С ПОСТУПАТЕЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ В МАТЕМАТИКЕ.

«Симметрия вокруг нас» - Центральная. Один вид симметрии. Осевая. В геометрии есть фигуры, которые имеют. Вращения. Вращения (поворотная). Симметрия на плоскости. Горизонтальная. Осевая симметрия относительно прямой. Греческое слово симметрия означает «пропорциональность», «гармония». Два вида симметрии. Центральная относительно точки.

Всего в теме 32 презентации

Цели:

• образовательные:
  • дать представление о симметрии;
  • познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве;
  • выработать прочные навыки построения симметричных фигур;
  • расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанных с симметрией;
  • показать возможности использования симметрии при решении различных задач;
  • закрепить полученные знания;
• общеучебные:
  • научить настраивать себя на работу;
  • научить вести контроль за собой и соседом по парте;
  • научить оценивать себя и соседа по парте;
• развивающие:
  • активизировать самостоятельную деятельность;
  • развивать познавательную деятельность;
  • учить обобщать и систематизировать полученную информацию;
• воспитательные:
  • воспитываать у учащихся “чувство плеча”;
  • воспитывать коммуникативность;
  • прививать культуру общения.

ХОД УРОКА

Перед каждым лежат ножницы и лист бумаги.

Задание 1 (3 мин).

– Возьмем лист бумаги, сложим его попалам и вырежем какую-нибудь фигурку. Теперь развернем лист и посмотрим на линию сгиба.

Вопрос: Какую функцию выполняет эта линия?

Предполагаемый ответ: Эта линия делит фигуру пополам.

Вопрос: Как расположены все точки фигуры на двух получившихся половинках?

Предполагаемый ответ: Все точки половинок находятся на равном расстоянии от линии сгиба и на одном уровне.

– Значит, линия сгиба делит фигурку пополам так, что 1 половинка является копией 2 половинки, т.е. эта линия непростая, она обладает замечательным свойством (все точки относительно ее находятся на одинаковом расстоянии), эта линия – ось симметрии.

Задание 2 (2 мин).

– Вырезать снежинку, найти ось симметрии, охарактеризовать ее.

Задание 3 (5 мин).

– Начертить в тетради окружность.

Вопрос: Определить, как проходит ось симметрии?

Предполагаемый ответ: По-разному.

Вопрос: Так сколько осей симметрии имеет окружность?

Предполагаемый ответ: Много.

– Правильно, окружность имеет множество осей симметрии. Такой же замечательной фигурой является шар (пространственная фигура)

Вопрос: Какие еще фигуры имеют не одну ось симметрии?

Предполагаемый ответ: Квадрат, прямоугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники.

– Рассмотрим объемные фигуры: куб, пирамиду, конус, цилиндр и т.д. Эти фигуры тоже имеют ось симметрии.Определите, сколько осей симметрии у квадрата, прямоугольника, равностороннего треугольника и у предложенных объемных фигур?

Раздаю учащимся половинки фигурок из пластилина.

Задание 4 (3 мин).

– Используя полученную информацию, долепить недостающую часть фигурки.

Примечание: фигурка может быть и плоскостной, и объемной. Важно, чтобы учащиеся определили, как проходит ось симметрии, и долепили недостающий элемент. Правильность выполнения определяет сосед по парте, оценивает, насколько правильно проделана работа.

Из шнурка одного цвета на рабочем столе выложена линия (замкнутая, незамкнутая, с самопересечением, без самопересечения).

Задание 5 (групповая работа 5 мин).

– Определить визуально ось симметрии и относительно нее достроить из шнурка другого цвета вторую часть.

Правильность выполненной работы определяется самими учениками.

Перед учащимися представлены элементы рисунков

Задание 6 (2 мин).

– Найдите симметричные части этих рисунков.

Для закрепления пройденного материала предлагаю следующие задания, предусмотренные на 15 мин.:

Назовите все равные элементы треугольника КОР и КОМ. Каков вид этих треугольников?

2. Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием равным 6 см.

3. Начертите отрезок АВ. Постройте прямую перпендикулярную отрезку АВ и проходящую через его середину. Отметьте на ней точки С и D так, чтобы четырехугольник АСВD был симметричен относительно прямой АВ.

– Наши первоначальные представления о форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях мало отличавшихся от жизни животных. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки, в которых обнаруживается замечательное чувство формы.
Когда произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, человечество вступает в новый каменный век, в неолит.
Человек неолита обладал острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин, тканей, позже – обработка металлов вырабатывали представления о плоскостных и пространственных фигурах. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство и симметрию.
– А где в природе встречается симметрия?

Предполагаемый ответ: крылья бабочек, жуков, листья деревьев…

– Симметрию можно наблюдать и в архитектуре. Строя здания, строители четко придерживаются симметрии.

Поэтому здания получаются такие красивые. Также примером симметрии служит человек, животные.

Задание на дом:

1. Придумать свой орнамент, изобразить его на листе формат А4 (можно нарисовать в виде ковра).
2. Нарисовать бабочек, отметить, где присутствуют элементы симметрии.

МБОУ «Тюхтетская средняя общеобразовательная школа №1»

Научное объединение учащихся «Хотим активно учиться»

физико-математическое и техническое направление

Арвинти Татьяна,

Ложкина Мария,

МБОУ «ТСОШ № 1»

5 «А» класс

МБОУ «ТСОШ № 1»

учитель математики

Введение………………………………………………………………………………...3

I. 1. Симметрия. Виды симметрии..…………………………………………...............4

I. 2. Симметрия вокруг нас …………………………………………………………....6

I. 3. Осевые и центрально-симметричные орнаменты….…………………………… 7

II. Симметрия в рукоделии

II. 1. Симметрия в вязании …………………………………………………………...10

II. 2. Симметрия в оригами …..………………………………………………………11

II. 3. Симметрия в бисероплетении………………………………………………….12

II. 4. Симметрия в вышивании ………………………………………………………13

II. 5. Симметрия в поделках из спичек ……………………………………………...14

II. 6. Симметрия в плетении «Макраме»…………………………………………….15

Заключение…………………………………………………………………………….16

Библиографический список…………………………………………………………..17

Введение

Одним из фундаментальных понятий науки, которое наряду с понятием «гармонии» имеет отношение практически ко всем структурам природы, науки и искусства, является «симметрия».

Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке:

«Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».

Все мы восхищаемся красотой геометрических фигур, их сочетанием, рассматривая подушки, вязаные салфетки, одежду с вышивкой.

Многие века разными народами создавались замечательные виды декоративно - прикладных искусств. Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Мы хотим показать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения, тесно связанный с бытом человека.

В данной работе рассматриваются предметы рукоделия на предмет их симметрии.

Рассматриваемые нами виды рукоделия тесно связаны с математикой, так как в работах используются различные геометрические фигуры, которые подчиняются математическим преобразованиям. В связи с этим были изучены такие математические понятия как симметрия, виды симметрии.

Цель исследования: изучение информации о симметрии, поиск симметричных предметов рукоделия.

Задачи исследования:

· Теоретические: изучить понятия симметрии, ее видов.

· Практические: найти симметричные поделки, определить вид симметрии.

Симметрия. Виды симметрии

Симметрия (означает «соразмерность») - свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под симметрией понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

Симметрия относительно точки - это центральная симметрия, а симметрия относительно прямой - это осевая симметрия.

Симметрия относительно точки (центральная симметрия) предполагает, что по обе стороны от точки на одинаковых расстояниях находится что-либо, например другие точки или геометрическое место точек (прямые линии, кривые линии, геометрические фигуры). Если соединить прямой симметричные точки (точки геометрической фигуры) через точку симметрии, то симметричные точки будут лежать на концах прямой, а точка симметрии будет ее серединой. Если закрепить точку симметрии и вращать прямую, то симметричные точки опишут кривые, каждая точка которых тоже будет симметрична точке другой кривой линии.

Поворотом вокруг данной точки O называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.

Симметрия относительно прямой (оси симметрии) предполагает, что по перпендикуляру, проведенному через каждую точку оси симметрии, на одинаковом расстоянии от нее расположены две симметричные точки. Относительно оси симметрии (прямой) могут располагаться те же геометрические фигуры, что и относительно точки симметрии. Примером может служить лист тетради, который согнут пополам, если по линии сгиба провести прямую линию (ось симметрии). Каждая точка одной половины листа будет иметь симметричную точку на второй половине листа, если они расположены на одинаковом расстоянии от линии сгиба на перпендикуляре к оси. Ось симметрии служит перпендикуляром к серединам горизонтальных ограничивающих лист прямых. Симметричные точки расположены на одинаковом расстоянии от осевой прямой - перпендикуляра к прямым, соединяющим эти точки. Следовательно, все точки перпендикуляра (оси симметрии), проведенного через середину отрезка, равноудалены от его концов; или любая точка перпендикуляра (оси симметрии) к середине отрезка и равноудалена от концов этого отрезка.

Колл" href="/text/category/koll/" rel="bookmark">коллекциях Эрмитажа особым вниманием пользуются золотые украшения древних скифов. Необычайно тонка художественная работа золотых венков, диадем, дерева и украшенных драгоценными красно-фиолетовыми гранатами.

Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат строения архитектуры. Это то, что чаще всего мы можем увидеть. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла.

Еще одним примером использования человеком симметрии в своей практике - это техника. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Или одно из важнейших изобретений человечества, имеющих центр симметрии, является колесо, также центр симметрии есть у пропеллера и других технических средств.

Осевые и центрально-симметричные орнаменты

Композиции, построенные по принципу коврового орнамента могут иметь симметричное построение. Рисунок в них организуется по принципу симметрии относительно одной или двух осей симметрии. В ковровых орнаментах часто присутствует сочетание нескольких видов симметрии - осевой и центральной.

На рисунке 1 дана схема разметки плоскости под ковровый орнамент, композиция которого будет строиться по осям симметрии. На плоскости по периметру определяются место и размер каймы. Центральное поле займет основной орнамент.

Варианты различных композиционных решений плоскости приведены на рисунке 1 б-д. На рисунке 1 б композиция строится в центральной части поля. Очертания ее могут варьироваться в зависимости от формы самого поля. Если плоскость имеет форму вытянутого прямоугольника, композиции придают очертания вытянутого ромба или овала. Квадратную форму поля лучше поддержит композиция, очерченная окружностью или равносторонним ромбом.

Рисунок 1. Осевая симметрия.

На рисунке 1в приводится схема композиции, рассмотренная в предыдущем примере, которая дополнена небольшими угловыми элементами. На рисунке 1г схема композиции строится вдоль горизонтальной оси. Она включает в себя центральный элемент с двумя боковыми. Рассмотренные схемы могут служить основой для составления композиций, которые имеют две оси симметрии.

Такие композиции одинаково воспринимаются зрителями со всех сторон, они, как правило, не имеют ярко выраженного верха и низа.
Ковровые орнаменты могут содержать в своей центральной части композиции, имеющие одну ось симметрии (рисунок 1д). У таких композиций выраженная ориентация, у них существует верх и низ.

Центральная часть может быть не только выполнена в виде абстрактного орнамента, но и иметь тему.
Все рассматриваемые выше примеры разработки орнаментов и композиций, построенных на их основе, относились к плоскостям, имеющим прямоугольную форму. Прямоугольная форма поверхности - часто встречаемый, но не единственный вид поверхностей.

Шкатулки, подносы, тарелки могут иметь плоскости в форме круга или овала. Одним из вариантов их декора могут быть центрально-симметричные орнаменты. Основой создания такого орнамента является центр симметрии, через который может пройти бесконечное множество осей симметрии (рисунок 2а).

Рассмотрим пример разработки орнамента, ограниченного окружностью и имеющего центральную симметрию (рисунок 2). Структура орнамента лучевая. Его основные элементы располагаются вдоль линий радиусов окружности. Граница орнамента оформлена каймой.

Рисунок 2. Центрально-симметричные орнаменты .

II . Симметрия в рукоделии

II . 1. Симметрия в вязании

Нами были найдены вязаные поделки с центральной симметрией:

https://pandia.ru/text/78/640/images/image014_2.jpg" width="280" height="272">https://pandia.ru/text/78/640/images/image016_0.jpg" width="333" height="222">.gif" alt="C:\Users\Семья\Desktop\obemnaya_snezhinka_4.jpg" width="274" height="275">.gif" alt="P:\Моя информация\Мои документы\5 класс\Симетрия\SDC15972.JPG" width="338" height="275">.jpg" width="250" height="249">.jpg" width="186" height="246">.gif" alt="G:\Мариетта\_resize-of-i-9.jpg" width="325" height="306">.jpg" width="217" height="287">.jpg" width="265" height="199">.gif" alt="G:\Мариетта\cherepashkaArsik.jpg" width="323" height="222">

«Симметрия » - слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие определенного порядка, закономерности в расположении частей.

Люди с давних времен использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта.
Симметрия широко распространена в природе. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, мозаике в храме, морской звезде.
Симметрия широко используется на практике, в строительстве и технике. Это строгая симметрия в форме античных зданий, гармоничные древнегреческие вазы, здании Кремля, машинах, самолетах и многом другом. (слайд 4) Примерами использования симметрии являются паркет и бордюр. (смотри гиперссылку об использовании симметрии в бордюрах и паркетах) Рассмотрим несколько примеров, где можно увидеть симметрию в различных предметах, с использованием слайд-шоу (включить значок).

Определение: – это симметрия относительно точки.
Определение: Точки А и В симметричны относительно некоторой точки О, если точка О является серединой отрезка АВ.
Определение: Точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура называется центрально-симметричной.
Свойство: Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.
Примеры:

Алгоритм построения центрально-симметричной фигуры
1.Построим треугольник А 1В 1 С 1, симметричный треугольнику АВС, относительно центра (точки) О. Для этого соединим точки А,В,С с центром О и продолжим эти отрезки;
2. Измерим отрезки АО, ВО, СО и отложим с другой стороны от точки О, равные им отрезки (АО=А 1 О 1, ВО=В 1 О 1, СО=С 1 О 1);

3. Соединим получившиеся точки отрезками А 1 В 1; А 1 С 1; В1 С 1.
Получили ∆А 1 В 1 С 1 симметричный ∆АВС.

– это симметрия относительно проведенной оси (прямой).
Определение: Точки А и В симметричны относительно некоторой прямой а, если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии.
Определение: Осью симметрии называется прямая при перегибании по которой «половинки» совпадут, а фигуру называют симметричной относительно некоторой оси.
Свойство: Две симметричные фигуры равны.
Примеры:

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой
Построим треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС относительно прямой а.
Для этого:
1. Проведем из вершин треугольника АВС прямые, перпендикулярные прямой а и продолжим их дальше.
2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.
3. Соединим получившиеся точки отрезками А1В1, В1С1, В1С1.

Получили ∆ А1В1С1 симметричный ∆АВС.

(означает «соразмерность») — свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под «симметрией» понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

Центральная симметрия — симметрия относительно точки.

относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

В одномерном пространстве (на прямой) центральная симметрия является зеркальной симметрией.

На плоскости (в 2-мерном пространстве) симметрия с центром А представляет собой поворот на 180 градусов с центром А. Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет ориентацию.

Центральную симметрию в трёхмерном пространстве называют также сферической симметрией. Её можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.

В 4-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию двух поворотов на 180° вокруг двух взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через центр симметрии.

Осевая симметрия — симметрия относительно прямой.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры.

Осевая симметрия имеет два определения:

- Отражательная симметрия.

В математике осевая симметрия — вид движения (зеркального отражения), при котором множеством неподвижных точек является прямая, называемая осью симметрии. Например, плоская фигура прямоугольник в пространстве осимметрична и имеет 3 оси симметрии, если это не квадрат.

- Вращательная симметрия.

В естественных науках под осевой симметрией понимают вращательную симметриею, относительно поворотов вокруг прямой. При этом тела называют осесимметричными, если они переходят в себя при любом повороте вокруг этой прямой. В этом случае, прямоугольник не будет осесимметричным телом, но конус будет.

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колеса.