Моделирование с помощью булевых операций - это общая и часто используемая методика. Булевы операции весьма близки к традиционным методам создания скульптур и моделирования. В 3D Studio MAX булево моделирование становится еще более полезным за счет реализации составного булевого объекта. В отличие от модификатора моделирования составной булев объект состоит из двух объектов, называемых операндами, которые представляют булеву операцию. Эти операнды остаются в виде объектов столько, сколько необходимо, и обеспечивают возможность доступа к своим параметрам и стекам модификаторов.

Составной булев объект отличается от многих программных понятий булевых операций, поскольку он не изменяет на постоянной основе формы, определяющие геометрию операндов. Позже эту геометрию можно перемещать, переопределять и производить обмен. Поскольку операнды остаются объектами, с ними можно взаимодействовать как с любым другим объектом. Для них можно даже выполнять анимацию, создавая поразительные эффекты. Затененные видовые окна 3DS МАХ позволяют видеть результат булевой операции в случае изменения операндов. Последнее является преимуществом интерактивного режима работы и вызывает ощущение, что один объект используется для вырезания другого. Оставаясь весьма полезными и развлекательными, сложность булевых операций может возрасти при вложении их одна в другую. В этой главе приводится информация, позволяющая упростить использование булевых операций. Внимание уделяется:

• Основам булевых операций и способам увеличения их интерактивности
• Работе со вложенными булевыми объектами
• Использованию различных булевых операций для создания скульптур и моделирования
• Соображениям, которые необходимо учитывать для успешного выполнения булевых операций

Основы булевых операций

Как и для многих терминов компьютерной графики, термин "булева" происходит от имени человека, который ввел это понятие (в данном случае это Джордж Буль). В математике термин "булева" появился для обозначения операции сравнения между множествами; в 3D Studio MAX подобное сравнение выполняется между геометрическими объектами. Хотя булева операция выглядит во многом похожей на модификатор, она находится на панели Create, а не на панели Modify, поскольку выполняется определение нового объекта из двух существующих (аналогично созданию loft- или morph-объектов). Булева операция в 3D Studio MAX выполняется путем создания булевого составного объекта из двух существующих объектов, которые называются операндами , при этом выполняются следующие шаги:

1. Выберите начальный объект для булевой операции.
2. Выберите Compound Objects (составные объекты) из списка выборки Geometry в панели Modify и затем щелкните на кнопке Boolean.
   Выбранный объект становится операндом А для составного булевого объекта. Теперь можно выбрать операнд В.
3. Выберите требуемый тип операции (Operation:).
4. Щелкните на Pick Operand В (выбрать операнд В) и затем выберите второй объект.
   Объекты сравниваются для определения их действительности (с точки зрения выполнения булевой операции) и, если они действительны, булева операция выполняется.
   Теперь можно изменить тип операции и увидеть различные булевы результаты.

Типы операции подобны многим традиционным методам. Объединение соединяет объекты подобно работе с глиной; при вычитании один объект вырезается из другого, как в скульптуре; пересечение оставляет то, что должно было бы быть вырезано или выбито из вычитания. Объединение и вычитание всегда возвращают одинаковый результат независимо от порядка выбора операндов. Предусмотрены две опции (А-В и В-А), поэтому при неправильном начальном выборе можно быстро переключиться. Результаты этих основных операций показаны на рисунке 11.1.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ Можно щелкнуть на кнопке Pick Operand В и выбрать другой Operand В произвольное количество раз. При выборе нового операнда В первоначальный операнд со сцены удаляется. При выборе в качестве операнда В неправильного объекта щелкните на кнопке Undo перед выбором другого операнда В.

Булевы выражения в качестве составных объектов

Чрезвычайная гибкость булевых операций в 3DS МАХ состоит в том, что объекты, содержащие булевы операнды, по-прежнему существуют как объекты. Каждый операнд сохраняет свой первоначальный стек Edit History (отредактировать историю) и его можно модифицировать из панели Command. Операнды можно даже трансформировать на уровне подобъекта. На рисунке 11.2 показан результат в Track View после создания булевого объекта.

Архитектура ссылок и экземпляров 3DS МАХ демонстрирует свою мощь при работе с булевыми объектами. При первом создании булевого составного объекта можно выбирать опцию перемещения, создания копии, экземпляра или ссылки объекта, выбранного в качестве операнда В. Опцией по умолчанию является Move (переместить) и кажется, что она создает явное действие, поскольку остается только булев результат. Оба объекта, выбранные для булевой операции, теперь являются операндами подобъектов. Остальные опции выполняют булев результат с копией, экземпляром или ссылкой на выбранный объект. Во всех трех случаях объект, выбранный для операнда В, остается без изменений, а булев результат получается с использованием нового объекта в качестве операнда. В таких случаях может показаться, что ничего не произошло, до тех пор пока не переместить или не скрыть один из этих двух объектов.

ПРИМЕЧАНИЕ Из объекта, выбранного в качестве операнда В, удаляется любая анимация трансформации, в то время как операнд А (первоначальный объект) оставляет анимацию трансформации. Если операнд А имеет анимацию трансформации, для нового статического операнда используется текущее расположение кадра, его позиция и масштаб.

Хотя можно сделать копию, экземпляр или ссылку операнда В, для операнда А такой опции не существует (объект выбирается после щелчка на Boolean). Гибкий метод обхода такого ограничения заключается в кло-нировании до экземпляров всех объектов, которые предполагается использовать в булевых операциях. После этого следует использовать опцию по умолчанию Move для выборок операнда В, обеспечив возможность модификации любых объектов в рамках булевого объекта и сохранения их отношений.

СОВЕТ Чтобы создать экземпляр из объекта, который уже является операндом, войдите в Track View. Скопируйте определение объекта операнда (указано синим кружком) в буфер обмена и вставьте его в определение другого объекта в виде экземпляра. Этот метод можно также использовать в обратном порядке, полностью переопределяя геометрию операндов, например путем изменения всех квадратных отверстий на круглые.

После создания булевого объекта можно заменить операнд В из панели Modify булевого объекта с теми же самыми выборами, предоставленными при создании. Используйте эту опцию осторожно, поскольку она уничтожает со сцены первоначально выбранный операнд В. Уничтожение оригинала может создать проблему при первоначальном использовании опции Move и представлении геометрии, которая уже не существует в виде отдельного объекта. Выбор другого операнда - это то же самое, что и замена определения объекта операнда в Track View, за исключением случая, когда необходимо сделать ссылку, которая не присутствует в Track View.

После создания булевого объекта можно вернуться к каждому Modifier Stack операнда на панели Modify (см. рис. 11.3). При первом входе в панель Modify булевого объекта не выбран ни один из операндов, поэтому Modifier Stack показывает только Boolean. Для модификации стека конкретного операнда необходимо произвести выбор из списка Operands. Теперь выбранный операнд отображает свой стек. Можно настроить любой модификатор в стеке или добавить новые модификаторы для оказания влияния на объект операнда перед булевой операцией. На параметры, с которыми можно выполнять анимацию, дополнительных ограничений не существует. Для трансформации операнда необходимо активизировать режим Sub-Object для булевого объекта. При таком подходе операнды можно считать подобными гизмо за тем исключением, что в отличие от гизмо, у операндов имеются собственные Modifier Stack.

Опции обновления

Опции Update (обновления) для булевых операций управляют тем, как фактически выполняются булевы вычисления. Для сложных объектов булевы вычисления могут занимать достаточно большое время. Эти вычисления замедляют редактирование других объектов, если они являются экземплярами или ссылками на булевы операнды. Если при моделировании возникают паузы, измените опцию Update. Опция Manually (вручную) является одним из наиболее консервативных методов и обеспечивает наибольшее управление вычислением операций. Такой режим наиболее пригоден для сложных моделей. Метод When Rendering (во время визуализации) не вычисляет операцию до тех пор, пока не будет выполнена окончательная визуализация, после чего производится возврат откорректированного результата на сцену. Метод When Selected (при выборе) несколько ненадежен в обновлении результата и на него не следует полагаться.

Для ускорения операций моделирования операнды должны быть простыми. После завершения булевых операций и модификаций возвратитесь к прежним определениям операндов и увеличьте их плотность. Если они являются экземплярами, увеличьте их сложность и затем вручную отрегулируйте результат.

СОВЕТ Длительные булевы вычисления можно завершить, нажав клавишу Escape во время отображения курсора ожидания. После такого завершения режим Update автоматически переходит в Manually, поэтому теперь можно точно управлять временем вычисления обновления (поскольку геометрия, по всей вероятности, является сложной).

Интерактивные булевы операции

При входе в режим Sub-Object булевого объекта операнды можно регулировать независимо друг от друга. В списке перечислены имена операндов, подходящих для перемещения, вращения или масштабирования. При манипуляции операндом на уровне подобъектов фактически выполняется интерактивная булева операция, поскольку при перемещении любого из операндов другой остается неподвижным, и по мере перемещения операнда отображается обновленный булев результат. Для несложных моделей или при использовании быстродействующих машин это часто выполняется в реальном времени.

ПРИМЕЧАНИЕ Для сложных булевых операций режим Update для булева выражения должен быть установлен в Manually, чтобы операнд можно было позиционировать без дополнительных задержек на вычисления. После помещения операнда на требуемое место щелкните на Update для просмотра нового результата.

Понимание опций Display (отображения) булевой операции является ключевым моментом при выполнении интерактивных изменений. Результат булевой операции показывает опция по умолчанию Result (результат). При изменении опции на Operands (операнды) отображаются оба операнда А и В так, как будто булевой операции не выполнялось. Полностью отображенный операнд скрывает булев результат, поэтому в некоторой степени приходится работать вслепую. На практике лучше всего является комбинация, при которой выбирается Result и активизируется опция Show Hidden Ops (показать скрытые операнды). При этом недостающие операнды отображаются в виде проволочных каркасов (но только в затененных видовых окнах) и обеспечивается информация о точном местонахождении операнда и о его текущем влиянии на булеву операцию.

ПРИМЕЧАНИЕ Помните, что операнд всегда можно присвоить другому контроллеру объекта или контроллеру уникального Path, Look At (посмотреть на) или Expression (выражение) для создания эффектов, подобных анимированным кусочкам сверла или ожогам лазера.

Вложенные булевы объекты

Для одного объекта можно выполнить любое число булевых операций, причем каждая операция создает собственный набор операндов, вложенных друг в друга. Единственным "пределом" является практичное количество операций, по которыми необходимо перемещаться.

После создания булевого объекта на той же самой геометрии можно выполнять дополнительные булевы операции путем выбора объекта в качестве операнда А для нового составного булевого объекта. Каждый раз при выполнении на объекте булевой операции фактически создается оригинал операнда нового булевого объекта. Таким образом определяется "булево дерево", состоящее из одиночных ветвей - весьма линейная прогрессия шагов. К каждой выполняемой булевой операции можно осуществить доступ позже, хотя применяемый для этого метод требует небольшой практики, поскольку все это происходит на панели Modify. Результаты выполнения трех последовательных булевых операций показаны на рисунке 11.4. Коробка вычитает сферу, затем цилиндр и, в конце концов, конус.

СОВЕТ Для более глубокого погружения в булево дерево продолжайте выбирать операнд А и затем перейдите к следующей булевой операции в стеке. Для продвижения вперед используется стек операнда В, но для продвижения назад по истории редактирования можно использовать только стек операнда А.

При выполнении нескольких булевых операций, одну за другой, следует соблюдать осторожность. После завершения операции и, таким образом, составного булевого объекта, необходимо выйти из диалога Boolean или последующий выбор заменит только что выполненную операцию и удалит объект со сцены. Хотя для этого требуются дополнительные щелчки на кнопках, необходимо выйти из списка Compound Objects (составные объекты) путем выбора геометрии другого типа (например, Path Grids) и затем вернуться к Compound Objects для определения следующего булевого объекта.

При навигации по булевому дереву в Track View необходимо помнить, что в нем отражаются только объекты с параметрами, с которыми можно выполнить анимацию. Если булев объект создан из необработанного каркаса или лоскута, показываются только трансформации операнда, поскольку у него нет параметров создания, которые нужно настраивать. Когда для этого же объекта задается модификатор, для модифицированного объекта создается новый вход. То, что у операнда такая же метка, что и у Transform (с голубым кружком модификатора вместо зеленого треугольника контроллера) может привести к замешательству. При глубоком погружении в дерево, изображенное ранее на рисунке 11.4, следите за голубыми кружками Operand. Только самый глубокий операнд А содержит определение объекта; определения всех других объектов находятся внутри предыдущих операндов В.

СОВЕТ При использовании в качестве операндов примитивов Track View перечисляет их параметры под общим заголовком Operand. Задани]е для примитива модификатора, например Material, перемещает параметры создания в сферу модифицированного объекта, расположенную под операндом, вместе с меткой, обозначающей тип объекта.

Булевы характеристики

При создании булевого объекта сохраняются сглаживающие группы и идентификаторы материалов отдельных объектов. К сожалению, проецирование (mapping) полностью удаляется и его необходимо применить после получения окончательного булевого результата. В случае, если объекту присвоено проецирование через модификаторы UVW, его можно восстановить. Если создается копия, но не экземпляр, первоначального объекта или модификатора, присвойте новый UVW Mapping после выполнения булевой операции, и для восстановления проецирования используйте функцию Acquire (приобрести) модификатора. Отметим, что эта операция не работает для процедурных присвоении проецирования.

Координаты проецирования удаляются, поскольку вершины булевого результата всегда объединены. При этом если имеется намерение после выполнения булевой операции разделить первоначальные операнды, для их отсоединения следует использовать Edit Mesh. Если операнд имеет уникальный материал или сглаживающие группы, это значительно помогает в выборке на уровне грани для отсоединения.

Идентификаторы материалов, вероятно, являются самым ценным инструментом при управлении окончательными результатами для поверхности булевого объекта. Задание для каждого операнда модификатора Material с отдельным идентификатором означает, что имеется гарантированный метод выбора граней после завершения булевых операций. Несмотря на то, что для подобъекта присвоения материала весьма полезно, сохранение операндов в виде выборок граней также имеет значение при выборке граней для присвоения сглаживающих групп и модификаторов UVW Mapping с целью восстановления утерянного покрытия.

Иногда булев результат содержит дефекты в виде петель и искажений. Эти дефекты часто вызваны тем, что аналогичные сглаживающие группы действуют друг на друга методами, которые не должны применяться, или вершины объединяются так, что сглаживание произойти не может. Если такого рода дефекты видны, примените модификатор Edit Mesh, выберите все вершины и выполните Weld Selected (объединить выбранные). Если дефекты не исчезают, необходимо проанализировать присвоения сглаживающих групп (перед булевой операцией или после нее).

В большинстве случаев гораздо проще выбрать критические области перед тем, как они станут частью булевой операции. Если известно, какая часть модели потребует уникального сглаживания (например, закругление на рисунке 11.5), присвойте этим граням уникальную сглаживающую группу или идентификатор материала так, чтобы после булевой операции у них оказалось корректное сглаживание.

Последнее обсуждение может оказаться таким, как будто необходимо проделать тщательные размышления и планирование перед переходом к выполнению булевой операции, хотя фактически Modifier Stack позволяет сделать этот процесс значительно менее структурированным. На практике общим приемом является быстрое создание булевых объектов и затем возвращение к предыдущему операнду в истории операндов с целью произвести при необходимости присвоения сглаживания и материала. Отметим, что это значительно проще сделать, если есть объекты-экземпляры перед тем, как они станут операндами.

Соображения по улучшению булевых операций

Булев код в 3DS МАХ очень обобщен и позволяет работать с произвольными поверхностями. Однако подобное обобщение означает, что не каждый объект образует действительный булев объект и что некоторые "действительные" результаты могут иметь артефакты (например, длинные грани планки) или содержать нежелательные результаты. Ниже приведен контрольный перечень, который поможет при поиске неисправностей и создании моделей, дружественных для булевых операций:

• Нормали для всей поверхности должны быть унифицированы без всяких ложных граней, указывающих в неправильном направлении. Нормали граней используются в определении направления поверхности и результирующего булевого объекта.
• Каркас должен быть построен правильно; это означает, что грани, совместно использующие ребро, должны совместно использовать две вершины, а ребро может совместно использоваться только двумя гранями. (Внутренние основные грани вершин объекта вращения для последнего правила являются типичным кошмаром.)
• Обеспечивайте объединение всех вершин. Может потребоваться объединение всех вершин вручную с помощью Edit Mesh даже для последовательных булевых операций.
• Копланарные грани, в особенности те, которые находятся внутри одного и того же объекта, причиняют беспокойство и их следует избегать. Одним из наихудших случаев являются копланарные грани, расположенные тыльными сторонами друг к другу (они легко создаются путем построения примитива с нулевой высотой).
• Булевы операции надежно работают только с одиночными элементами. Если любой из операндов состоит из множества элементов (например, Teapot или Hedra), в каждый момент времени может успешно работать только один элемент.
• Если операция не удается, выключите опцию Optimize Result (оптимизировать результат) в нижней части свитка так, чтобы последний проход, контролирующий компланарные грани, не вычислялся. Включенная опция Optimize Result часто может быть причиной получения некорректных результатов.
• Если операция по-прежнему не удается или создает расщепленные грани, попытайтесь выполнить небольшую настройку операндов.
• Изменяйте уровень детализации операнда, в особенности возле области, которая является локальной для действующей булевой операции.

Не допускайте того, чтобы этот контрольный перечень испугал вас и заставил избегать булевых операций. Большинство этих опций работает с первой попытки, в особенности если геометрия подчиняется первым трем правилам, а это, скорее всего, будет выполняться при создании геометрии в рамках 3DS МАХ.

При выполнении анимации с булевыми операциями можно столкнуться с внезапной "вспышкой" или "подрагиванием" в одном или двух кадрах - вероятнее всего, это результат того, что булева операция не выполнилась, или в этом одном кадре созданы странные грани. Учитывая вред и влияние булевой операции с анимацией, стоит потратить время на продвижения от кадра к кадру для анализа булевого результата. Если возникает состояние, при котором происходит ошибка визуализации, немного отрегулируйте геометрию этого кадра с целью улучшения результата и продолжите работу. Если требуется произвести множество настроек, лучше присвоить дорожке положения операнда контроллер Linear и настроить практически каждый кадр.

Вырезание при помощи булевого вычитания

Булевы операции вычитания - это наиболее используемые типы операции и поэтому являются операциями по умолчанию. Операции вычитания можно рассматривать как операции "откусить кусок от", "создать скульптуру", "вырезать", "удалить из", "просверлить", "отштамповать" - выбирайте аналогию с наибольшим смыслом.

Успешное создание скульптуры посредством булевой операции начинается с понимания того, какой должна быть конечная вычитаемая форма. Это приводит к мысли о том, какая геометрия потребуется для выполнения того или иного шаблона. После частого выполнения операций вычитания объект имеет мало сходства с окончательным результатом; объект просто принимает форму режущего ножа, который делит поверхность на пластины. Второй операнд можно считать "стамеской" или "кусочком фасонной фрезы", которая создает конкретный "желобок" на первом объекте. Операция булевого вычитания также является хорошим, если не основным, методом для создания закруглений и углублений на существующих объектах.

ПРИМЕЧАНИЕ Может оказаться полезным обеспечить выбор "режущих инструментов" в виде кривых Безье, которые для целей операций булевого вычитания можно вытягивать, выполнять с ними операцию лофтинга или вращать. Более сложные булевы режущие формы при необходимости можно сохранить в виде каркаса или в слитом виде.

Создание посредством булевого пересечения углублений в новых объектах

Булево пересечение создает объект, который иначе следовало бы "вырезать" при помощи операции булевого вычитания. Результат иногда трудно визуализировать, но он может создать геометрию, которую иначе трудно промоделировать (см. рис. 11.6). Здесь второй операнд действует в качестве разреза в шести направлениях.

Одно из основных применений булевого пересечения заключается в восстановлении того, что "отбирается" при операции булевого вычитания. Иногда может потребоваться использовать часть, которая "упала на пол" в анимации. Может потребоваться показать часть, которая отштампована, например, из металлической заготовки. Для этого скопируйте первоначальные объекты и выполните две булевы операции, создав таким образом "разрезанный" объект и то, что было "вырезано".

Моделирование при помощи булевого объединения

Операция булевого объединения объединяет два операнда и удаляет любую перекрывающуюся геометрию. Перед выполнением объединения следует тщательно рассмотреть саму необходимость создания объединения. Если основное пересечение можно видеть, использование объединения является правильным выбором. Если пересечение двух объектов скрыто, лучше разрешить объектам просто пересечься. В общем случае используйте объединение, если необходимо продолжить сглаживающие группы через сочленение. В этом случае булево объединение является просто первым шагом в более сложной последовательности моделирования.

Булево объединение более всего используется для объектов, которые должны выглядеть "сплошными". Поверхность закрыта, исследовать внутреннюю структуру не требуется, поэтому объект имеет толщину всего в одну грань. Во многих случаях булево объединение выполняется для достижения эффекта вычитания. Один операнд накладывается на другой, что разрешает использовать последний для других целей, не нанося вреда операнду, который накладывается. Такая операция может оказаться полезной, когда накладываемый объект имеет конкретную форму, которую необходимо связать с другим объектом.

Булево объединение также применяется для создания двух элементов, которые можно отделить от других при помощи функции Detach в Edit Mesh. Если операция булевого объединения используется для редактирования объектов там, где геометрия перекрывается однократно, каркас не образуется. Когда результирующие объекты разделяются, в каркасе появляется отверстие в месте соединения объектов. Для эффективного использования этого метода лучше всего присвоить каждому операнду уникальный идентификационный номер материала (Material ID#) так, чтобы можно было легко выбирать грани по Material ID# из Edit Mesh при выполнении отсоединения.

Над телами, как и над другими геометрическими объектами, можно выполнять операции - совокупность действий над одним или несколькими исходными телами, которая приводит к рождению нового тела. Одними из основных операций для двух тел являются булевы операции.

Булевыми операциями называют операции объединения, пересечения и вычитания тел, так как они выполняют одноименные операции над внутренними объемами тел (над множествами точек пространства, находящимися внутри тел). Булеву операцию объединения тел будем обозначать формулой , где - исходные тела, S - результирующее тело. Булеву операцию пересечения тел будем обозначать формулой . Булеву операцию вычитания тел будем обозначать формулой . В порядке следования тел-операндов будем называть их первым телом и вторым телом.

Рис. 6.6.1. Два исходных тела

Рис. 6.6.2. Объединение тел

Результатом операции объединения двух тел является тело, которое содержит точки, принадлежащие внутреннему объему или первого, или второго тела. Результатом операции пересечения двух тел является тело, которое содержит точки, принадлежащие внутреннему объему как первого, так и второго тела.

Результатом операции вычитания двух тел является тело, которое содержит точки, принадлежащие внутреннему объему первого, но не принадлежащие внутреннему объему второго тела.

На рис. 6.6.1 приведены исходные для булевой операции тела. На рис. 6.6.2 приведен результат операции объединения тел, на рис. 6.6.3 приведен результат операции пересечения, на рис. 6.6.4 и 6.6.5 приведены результаты операции вычитания тел.

Операцию вычитания тел можно свести к операции пересечения тел; для этого нужно вывернуть второе тело наизнанку и найти точки его объема, одновременно принадлежащие и объему первого тела. Вывернутое наизнанку тело S будем обозначать

Рис. 6.6.3. Пересечение тел

Рис. 6.6.4. Разность тел

Рис. 6.6.5. Разность тел

При выворачивании тела наизнанку внутренние стороны граней становятся наружными сторонами, а наружные - внутренними и изменяются направления циклов на противоположные, в результате чего внутренним объемом тела становится та часть пространства, которая до этого находилась снаружи тела. Математически операция вычитания сводится к операции пересечения тел Конструктор при проектировании использует операции объединения и вычитания (они могут называться по-другому, например, операции сварки и сверления), а математический аппарат выполняет соответственно операции объединения и пересечения. Все булевы операции содержат много общего и выполняются по единому алгоритму.

Объединение тел.

Рассмотрим булеву операцию объединения тел. Кратко суть операции можно описать следующим образом: нужно найти линии пересечения граней тел, удалить ту часть первого тела, которая попала внутрь второго тела и ту часть второго тела, которая попала внутрь первого тела, а из всего остального построить новое тело. Операцию условно разобьем на три этапа. На первом этапе построим линии пересечения поверхностей граней и на их базе - новые ребра. Построенные новые ребра будем называть ребрами пересечения, а ребра тел будем называть старыми ребрами. На втором этапе определим точки пересечения новых ребер со старыми ребрами и в этих точках разрежем старые ребра на несколько ребер. На третьем этапе операции перестроим циклы пересекшихся граней. После этого добавим к пересекшимся граням тел грани, топологически связанные ними. Рассмотрим этапы построения тела более подробно.

Первый этап операции объединения тел начнем с того, что построим линии пересечения каждой грани первого тела с каждой гранью второго тела, если таковые имеются. Для этого используем алгоритм пересечения поверхностей граней.

Пусть грани первого тела описываются поверхностями

а грани второго тела описываются поверхностями

На базе линий пересечения граней первого и второго тел

(6.6.3)

построим ребра пересечения. При этом ребрам пересечения дадим направление векторного произведения нормали грани первого тела с нормалью грани второго тела: Направление ребра определяется признаком совпадения направления производной линии пересечения с требуемым направлением ребра. За положительное направление нормали грани примем направление наружу тела. Нормаль грани может совпадать с нормалью ее поверхности или иметь противоположное направление в зависимости от признака их совпадения. На рис. 6.6.6 показаны направления ребер пересечения грани первого тела с двумя гранями второго тела.

Ребра пересечения должны быть построены так, чтобы они полностью лежали внутри циклов граней исходных тел. Ребра пересечения могут подходить к границам грани только своими концами. В точках А, В и С (рис. 6.6.6) старые ребра граней должны быть разбиты каждое на два ребра, так как в результирующее тело войдет только часть исходной грани.

На втором этапе разрежем старые ребра тела, к которым подходят ребра пересечения. Резка старого ребра осуществляется путем рассечения кривой, на которой базируется ребро. Из одной кривой получим две кривые, в совокупности заменяющие исходную кривую ребра. Одна из этих кривых останется геометрическим носителем разрезаемого ребра, а на базе второй построим новое ребро, которое получит от исходного ребра всю необходимую информацию. Как было сказано, каждое ребро строится на базе кривой пересечения поверхностей (6.1.1). Кривую пересечения поверхностей составляют две поверхности и две соответствующие им двухмерных кривые. Рассечению подлежат именно двухмерные кривые на двух разных поверхностях. Как до, так и после рассечения эти кривые должны иметь одинаковые области определения параметров и соответствие точек при всех значениях параметра.

Точки пересечения нового ребра со старым ребром грани ищутся как точки пересечения двухмерных кривых, заданных на общей для них плоскости параметров. От каждого ребра в формуле (4.8.6) точек пересечения линий участвует по одной двухмерной кривой, входящей в линию пересечения.

Параметры точек пересечения ребер и сами координаты кривых, являющиеся параметрами поверхности, должны быть определены с заданной точностью.

Если разрезаемое ребро базируется на кривой пересечения, заданной отдельными точками (двухмерные линии являются ломаными и точно совпадают в пространстве только в характеристических точках), то прежде чем разрезать такую кривую, нужно в обе линии вставить дополнительные точки, соответствующие точки пересечения трех поверхностей - двух поверхностей, лежащих по обе стороны разрезаемого ребра, и поверхности грани другого исходного тела. Например, если режется линия пересечения поверхностей поверхностью , то в линии нужно вставить дополнительные двухмерные характеристические точки, соответствующие пересечению поверхностей . Задача пересечения трех поверхностей сводится к решению системы шести скалярных уравнений (4.12.5) относительно шести параметров . Начальное приближение решения известно достаточно точно.

Так как каждое ребро исходных тел входит в циклы двух смежных граней, то после резки ребер исходных тел необходимо произвести корректировку этих циклов с учетом разрезанных ребер.

После первых двух этапов мы получили совокупность ребер пересечения, ориентированных определенным образом, стыкующихся друг с другом и с ребрами исходных тел только в вершинах. Далее необходимо перестроить циклы пересекшихся граней.

Третий этап завершает булеву операцию. Для того чтобы каждую из показанных на рис. 6.6.6 граней разрезать на части, нужно перестроить ее циклы и в соответствии с циклами изменить контуры, описывающие область определения параметров поверхности грани. На рис. 6.6.7 показаны две пересекшиеся грани (тонкими линиями со стрелками показано направление циклов граней исходных тел) и ребро пересечения. На рис. 6.6.8 показаны те части граней, которые войдут в объединение тел.

Рис. 6.6.7. Исходные грани тела

Рис. 6.6.8. Обрезанные грани

Стрелками показано направление перестроенных циклов граней тел. Каждый цикл представляет собой список ребер в порядке их следования и список флагов ориентации этих ребер в цикле.

Из рисунка видно, что при принятой ориентации ребер пересечения () в циклы граней первого тела они войдут с отрицательным флагом, а в циклы граней второго тела они войдут с положительным флагом.

Старые ребра исходных тел, которые сохранятся в результирующем теле, войдут в перестроенные циклы, сохранив свои флаги. При перестройке циклов пересекшихся граней будем использовать следующий алгоритм.

Рассмотрим одну из двух пересекшихся граней, принадлежащих первому телу. Берем любое ребро пересечения рассматриваемой грани и начинаем с него составлять список ребер цикла. Ребро пересечения должно войти в цикл грани первого тела с отрицательным флагом, следовательно, цикл будет иметь направление, противоположное первому ребру. Для продолжения цикла среди ребер пересечения и среди старых ребер грани ищем все ребра, стыкующиеся с данным ребром в его начальной вершине. Среди найденных ребер выберем то, которое лежит слева от остальных (заворачивает влево на больший угол по сравнению с другими найденными ребрами, если смотреть вдоль цикла с наружной стороны грани). Выбранное ребро ставим в список цикла. Если выбранное ребро является старым, то оно сохраняет свой флаг в цикле. Если выбранное ребро есть ребро пересечения, то оно получит отрицательный флаг. Ребра пересечения обладают преимущественным правом по отношению к старым ребрам быть выбранными. То есть, если левее других оказались два совпадающих ребра, одно из которых является старым, а другое - ребром пересечения, то для продолжения цикла должно быть выбрано ребро пересечения.

Процесс перестроения цикла грани будем продолжать до тех пор, пока цикл не замкнется. На этом построение очередного цикла заканчивается. Если у рассматриваемой грани при построении цикла использованы не все ребра пересечения, то с любого из оставшихся ребер пересечения начинаем строить еще один цикл грани. Циклы перестраиваем до тех пор, пока не используем все ребра пересечения. Таким способом мы построим в общем случае несколько новых циклов рассматриваемой грани первого тела.

Поиск стыкующихся ребер и определение угла поворота в точке стыка удобно выполнять по двухмерным кривым ребер грани. При этом можно работать даже с такими ребрами, которые в пространстве стянуты в точку (например, ребро в вершине конуса или полюсе сферы). На рис. 6.6.9 показано, что с новым ребром В А в точке А стыкуются несколько ребер. В данном случае для продолжения цикла, начатого с ребра пересечения В А, следует выбрать ребро АС.

Вновь построенные циклы рассортируем по группам, каждая из которых состоит из внешнего цикла и входящих в него внутренних циклов. У рассматриваемой грани могут остаться нетронутыми один или несколько старых циклов. Нетронутыми мы будем называть старые циклы грани, ни одно ребро которых не вошло в перестроенные циклы. Среди старых нетронутых циклов отберем те, которые необходимо включить в состав описания перестроенной грани. Ими являются старые внутренние циклы грани, лежащие внутри новых внешних циклов. Еще нужно определить, не потребуется ли включить в результат старый внешний цикл грани, если он остался нетронутым. Это необходимо сделать, если для некоторых новых внутренних циклов не найден новый внешний цикл и они лежат внутри старого внешнего цикла. Сортировку циклов удобно выполнять с помощью двухмерных контуров, соответствующих каждому циклу.

Если в результате сортировки внешних циклов получилось больше одного, то это означает, что из исходной грани в результате операции образовалось несколько граней. На рис. 6.6.10 а - 6.6.13 а приведены варианты исходных граней первого тела.

На рис. 6.6.10 б-6.6.13 б. приведены грани с добавлением ребер пересечения (ребра пересечения выделены). На рис. 6.6.10 в-6.6.13 в приведены грани, которые получились в результате операции.

Рис. 6.6.10. Исходная грань (а), грань с. добавлением ребер пересечения (б), результат операции (б)

Рис. 6.6.11. Исходная грань (а), грань с добавлением ребер пересечения (б), результат операции (в)

Рис. 6.6.12. Исходная грань (а), грань с добавлением ребер пересечения (б), результат операции (в)

Рис. 6.6.13. Исходная грань (а), грань с добавлением ребер пересечения (б), результат операции (в)

На рис. 6.6.10 грань с двумя циклами была разрезана и получилась одна грань с одним циклом. На рис. 6.6.11 грань с двумя циклами дала две грани. В примере, приведенном на рис. 6.6.12, потребовалось использовать старый внешний и внутренний циклы. На рис. 6.6.13 из одной грани получено две грани, причем для одной из них потребовалось использовать старый внешний цикл.

Описанное перестроение циклов выполняется для каждой пересекшейся грани первого тела.

С пересекшимися гранями второго тела поступим аналогично тому, как мы поступили с гранями первого тела, но с одной небольшой разницей. Ребра пересечения должны войти в перестроенные циклы граней второго тела с положительным флагом (в перестроенные циклы граней первого тела они вошли с отрицательным флагом). В этом состоит отличие перестроения циклов граней второго тела. Все остальные действия над гранями первого и второго объединяемых тел одинаковы.

Мы перестроили пересекшиеся грани объединяемых тел. Все их включим в оболочку результирующего тела. Для получения результирующего тела остается к этим граням в оболочку тела добавить не пересекшиеся в операции грани, которые топологически связаны с пересекшимися гранями. Для этого будем брать последовательно ребра, входящие в оболочку нового тела, и включать в оболочку смежные грани ребер (если они там отсутствуют). Продолжив эти действия для ребер всех добавленных граней, получим оболочку результирующего тела.

Пересечение тел.

Коротко суть булевой операции пересечения тел можно описать следующим образом: нужно найти линии пересечения тел, удалить ту часть первого тела, которая не попала внутрь второго, и ту часть второго тела, которая не попала внутрь первого, а из всего остального построить новое тело.

Эта операция имеет много общего с операцией объединения тел. Вернемся к рис. 6.6.6. На нем приведены пересекающиеся грани: одна грань первого тела и две грани второго тела. Грани режут друг друга, так что в результирующую оболочку войдут только части этих граней.

В пересечение тел войдет часть грани первого тела, лежащая внутри второго тела, и часть грани второго тела, лежащая внутри первого тела (рис. 6.6.14) (в объединение тел вошла часть грани первого тела, лежащая вне второго тела, и часть грани второго тела, лежащая вне первого тела).

Рис. 6.6.14. Исходные грани

Рис. 6.6.15. Перестроенные грани пересечения тел

В этом и состоит основное отличие операций объединения и пересечения тел.

Операцию разобьем на три этапа. Первый и второй этапы операции пересечения тел полностью совпадают с соответствующими этапами операции объединения тел.

Третий этап операции пересечения тел выполняется аналогично третьему этапу операции объединения тел, но имеет одно отличие в том, с каким флагом входят в циклы ребра пересечения. Ребра пересечения входят в перестроенные циклы граней первого тела с положительным флагом, а в перестроенные циклы граней второго тела - с отрицательным флагом (в объединении тел флаги ребер пересечения в циклах имеют противоположное значение). Все остальные действия над гранями обоих тел в обеих операциях одинаковы.

Разность тел.

Коротко суть булевой операции вычитания тел можно описать следующим образом: нужно найти линии пересечения тел, удалить ту часть первого тела, которая попала внутрь второго, и ту часть второго тела, которая не попала внутрь первого, а из всего остального построить новое тело.

Булева операция вычитания тел сводится к булевой операции пересечения уменьшаемого тела и вывернутого наизнанку вычитаемого тела. Вывернутое наизнанку тело мы получим из исходного тела путем переориентации направлений нормалей граней и направлений циклов граней. Переориентация направления нормали грани производится изменением признака совпадения нормали поверхности и нормали ее грани. Переориентация направления цикла грани производится перестроением списка ребер (изменением на обратный порядок следования ребер в списке) и заменой на противоположные флагов ребер в списках. Для вывернутого тела внутренним объемом является часть пространства, находящаяся вне его оболочки. Поэтому при пересечении уменьшаемого тела и вывернутого наизнанку вычитаемого тела результирующая оболочка будет содержать ту часть объема уменьшаемого тела, которая лежит вне вычитаемого тела.

Пересекающиеся ребра.

Наиболее трудоемким и требующим определенной точности в процессе выполнения булевых операций является построение ребер пересечения. Ребра пересечения не должны иметь выступающих за пределы грани частей, они должны обязательно стыковаться или друг с другом или со старыми ребрами граней. При корректном выполнении операции пересечения поверхностей эти условия обеспечиваются. Ребра пересечения не должны пересекать друг друга вне крайних точек.

В большинстве случаев новые ребра не пересекают друг друга, но в некоторых частных случаях это возможно. На рис. 6.6.16 показаны два цилиндрических тела одинакового диаметра, оси которых пересекаются - крест из цилиндров. При булевом объединении этих тел возможна ситуация, когда будут построены всего два замкнутых ребра пересечения. Такие ребра имеют две точки пересечения: А и В, по крайней мере, одна из которых не будет совпадать с вершинами ребер, а будет лежать где-то на ребре. Точки пересечения ребер лежат в точках касания цилиндров. Эти ребра должны быть разрезаны в точках А и В и у их частей должна быть уточнена ориентация, так как при прохождении точки касания поверхностей в данном случае векторное произведение нормалей к ним, по которому ориентируются новые ребра, меняет свое направление на противоположное. Обнаружить пересечение новых ребер можно по пересечению кривых на поверхностях, из которых состоит линия пересечения.

Рис. 6.6.16. В точках А и В нормали граней совпадают

Совпадающие ребра.

Описанный алгоритм выполнения булевых операций работает корректно, если ребра пересечения не совпадают с ребрами исходных тел. В противном случае он нуждается в уточнении. Рассмотрим примеры.

В булевых операциях возможен случай, когда какая-либо грань одного тела пересекает другое тело по его ребру. Возможен также случай, когда при построении ребер пересечения граней одного тела с гранями другого тела мы получим два новых ребра, совпадающих в пространстве друг с другом и с ребром одного из тел. Все ребра являются разными, так как в них стыкуются разные грани. На рис. 6.6.17 приведены два тела, при выполнении булевой операции над которыми, ребра пересечения совпадут с ребрами меньшего тела. Следуя общему алгоритму, мы в данном случае получим восемь ребер пересечения, половина из которых должна быть опущена (или не должна быть построена).

Правило для ребер пересечения.

При наличии ребер пересечения, совпадающих с ребрами граней исходных тел, и в некоторых других случаях будем выполнять следующую проверку. Построим в плоскости каждой из двух пересекаемых граней по два вектора, ортогональные ребру пересечения. На рис. 6.6.18 это векторы для грани с нормалью и векторы для грани с нормалью . Векторы поворачивают влево от ребра пересечения в соответствующих плоскостях, а векторы поворачивают вправо от ребра пересечения в соответствующих плоскостях.

Рис. 6.6.17. Совпадение ребер пересечения с ребрами меньшего тела

Рис. 6.6.18. Пересечение граней

Рис. 6.6.19. Пересечение граней по ребру

Если грань не имеет продолже ния за ребро пересечения (ребро пересечения частично или полностью совпадает с ребром тела), то соответствующий вектор положим равным нулю (рис. 6.6.19). Используя векторы и нормали мы можем определить, будет ли данное ребро пересечения использовано в операции или оно должно быть опущено. Обратим внимание на следующее обстоятельство.

В операции объединения тел грань первого тела мы сможем перестроить, еслиона имеет продолжение справа от ребра пересечения вне второго тела, а грань второго тела мы сможем перестроить, если она имеет продолжение слева от ребра пересечения вне первого тела.

Таким образом, в булевой операции объединения тел для ребра пересечения должны быть выполнены условия

В противном случае рассматриваемое ребро пересечения в булевой операции объединения тел строить не следует (если оно построено, то должно быть опущено).

В булевой операции пересечения тел грань первого тела мы сможем перестроить, если она имеет продолжение слева от ребра пересечения внутрь второго тела, а грань второго тела мы сможем перестроить, если она имеет продолжение справа от ребра пересечения внутрь первого тела. Таким образом, в булевой операции пересечения тел для ребра пересечения должны быть выполнены условия

В противном случае рассматриваемое ребро пересечения в булевой операции пересечения тел строить не следует (если оно построено, то должно быть опущено).

Как уже было сказано, ребра пересечения обладают преимущественным правом по отношению к старым ребрам тела быть включенными в перестраиваемый цикл.

То точка принадлежит внутреннему пространству тела. В противном случае - нет.

Перекрывающиеся грани.

В булевых операциях довольно часто можно встретить случаи частичного совпадения некоторых граней двух исходных тел. На рис. 6.6.20 приведены два тела, некоторые грани которых частично перекрывают друг друга.

Рис. 6.6.20. Совпадающие грани тел

Рис. 6.6.21. Объединение тел

В данном случае не все ребра пересечения граней войдут в булев результат; некоторые ребра должны быть опущены (или не должны строиться). Результат объединения тел приведен на рис. 6.6.21.

Аналогичная ситуация возникает при выполнении булевой операции над двумя соосными цилиндрами одинакового радиуса и еще во многих случаях. Грани могут перекрываться полностью, частично или всего лишь по одной линии.. Нормали частично перекрывающихся граней должны быть одинаково направлены в общих точках. Перекрывающимися являются грани, которые можно перенести на одну общую поверхность. Таких граней может быть больше двух. При наличии у тел-операндов перекрывающихся граней все ребра пересечения этих граней должны быть проверены на предмет присутствия их в булевом результате. В операции объединения тел нам потребуются только те ребра пересечения перекрывающихся граней, смежные грани которых имеют продолжение вне одного из тел. В операции пересечения тел нам потребуются только те ребра пересечения перекрывающихся граней, смежные грани которых имеют продолжение внутрь одного из тел.

Циклы перекрывающихся граней тел должны быть перестроены по несколько иному алгоритму, чем для остальных граней. Прежде всего, все ребра этих граней должны быть приведены к одному общему носителю (к поверхности одной из перекрывающихся граней). В операции объединения тел старые ребра перекрывающихся граней первого тела, лежащие внутри второго тела, и старые ребра перекрывающихся граней второго тела, лежащие внутри первого тела, не войдут в результирующее тело. В операции пресечения тел старые ребра перекрывающихся граней первого тела, лежащие вне второго тела, и старые ребра перекрывающихся граней второго тела, лежащие вне первого тела, также не войдут в результирующее тело.

Построение некоторого цикла перекрывающихся граней начнем с ребра, которое точно должно войти в результат. Для продолжения цикла среди ребер пересечения и среди старых оставшихся ребер грани найдем все ребра, стыкующиеся с данным ребром в его соответствующей вершине. Среди найденных ребер выберем то, которое лежит справа от остальных (заворачивает вправо на больший угол по сравнению с другими найденными ребрами, если смотреть вдоль цикла с наружной стороны грани). Выбранное ребро ставим в список цикла. Отличие алгоритма состоит в том, что при продолжении цикла мы выбираем самое правое (а не самое левое) ребро.

Тела с несколькими оболочками.

Если какое-либо из тел-операндов имеет пустоты и, соответственно, описывается несколькими оболочками, то нетронутые операцией внутренние (внешние) оболочки должны быть проверены на вхождение в оболочку булева результата. В общем случае результирующее тело также может иметь несколько оболочек.

Дерево построения тел.

Булевы операции над телами показывают необходимость привлечения топологических понятий для построения тел.

Рассмотренные в предыдущих параграфах тела будем называть простыми, в отличие от тел, полученных в результате операций, которые будем называть сложными. Структура данных простых тел содержит минимум информации, по которой могут быть построены все грани тела. В структуре данных тела, полученного в результате булевой операции, положим структуры данных исходных тел и тип булевой операции. Оболочки тела всегда могут быть построены по этой информации. Таким образом, структура данных тела, полученного в результате многократного выполнения булевых операций, будет содержать дерево построения. Результирующее тело находится в корне дерева, а его ветви начинаются в простых телах.

Пример дерева приведен на рис. 6.6.22. В узлах дерева находятся тела. Дерево имеет несколько ярусов. Операции между телами обозначены соответствующими знаками. Операции выполняются между телами одного яруса.

Рис. 6.6.22. Дерево построения тела

Структура данных тела в виде дерева построения может быть использована для всех тел - как для тел, полученных в результате некоторой операции, так и для простых тел.

Создавая объект в сцене, необходимо учитывать особенности его геометрии. Несмотря на то что один и тот же трехмерный объект всегда можно смоделировать несколькими способами, как правило, существует один, который является наиболее быстрым и удобным.

Опытный аниматор с первого взгляда на эскиз будущей модели определяет способ моделирования объекта, однако начинающему пользователю это не всегда под силу.

Одним из наиболее удобных и быстрых способов моделирования является создание трехмерных объектов при помощи булевых операций.

Например, если два объекта пересекаются, на их основе можно создать третий объект, который будет представлять собой результат сложения, вычитания или пересечения исходных объектов.

Модели, создаваемые в трехмерной графике, можно условно разделить на две группы - органические и неорганические. К первой категории относятся объекты живой природы, такие как растения, животные, люди, ко второй - элементы архитектуры, а также предметы, созданные человеком (автомобили, техника и др.).

Разница подходов к моделированию объектов первой и второй группы столь велика, что в зависимости от конкретных задач для реализации проекта могут использоваться различные пакеты для работы с трехмерной графикой.

Поскольку в 3ds max основной акцент делается на моделирование неорганических объектов, то есть архитектурную визуализацию и разработку компьютерных игр, то булевыe операции - это незаменимый инструмент для каждого пользователя 3ds max.

С другой стороны, они совсем не подходят для создания большинства органических объектов. Например, смоделировать лицо человека при помощи булевых операций практически невозможно.

Рассмотрим булевыe операции. На рис. 3.51 представлено исходное изображение. В 3ds max 7 доступны четыре типа булевых операций.

• Union (Сложение). Результатом булевого сложения двух объектов будет служить поверхность, образованная поверхностями объектов, участвующих в данной операции (рис. 3.52).
• Intersection (Пересечение). Результатом булевого пересечения двух объектов будет поверхность, состоящая из общих участков этих объектов (рис. 3.53).
• Subtraction (Исключение). Результатом булевого исключения двух объектов будет поверхность, состоящая из поверхностей первого и второго объектов, но не включающая в себя общие участки этих объектов (рис. 3.54).

Рис. 3.51. Расположение объектов перед выполнением булевых операций

Рис. 3.52. Объекты после выполнения булевой операции Union (Сложение)

Рис. 3.53. Объекты после выполнения булевой операции Intersection (Пересечение)

Рис. 3.54. Объекты после выполнения булевой операции Subtraction (Исключение)

• Cut (Вычитание). Результатом булевого вычитания двух объектов будет служить поверхность, образованная исключением из поверхности одного объекта участков, занятых вторым объектом (рис. 3.55).

Рис. 3.55. Объекты после выполнения булевой операции Cut (Вычитание)

Булевы операции выполняются следующим образом.

1. Выделите первый объект, который будет участвовать в образовании конечной модели.

2. Перейдите на вкладку Create (Создание) командной панели, выберите в категории Geometry (Геометрия) строку Compound Objects (Составные объекты) и нажмите кнопку Boolean (Булева операция) (рис. 3.56).

3. Установите параметры булевой операции.

4. Воспользуйтесь кнопкой Pick Operand В (Выбрать операнд), чтобы выбрать второй объект, который будет участвовать в операции.

Рис. 3.56. Настройки объекта Boolean (Булева операция)

ПРИМЕЧАНИЕ

Несмотря на то что булевыe операции 3ds max 7 широко применяются при создании трехмерных проектов, они имеют ряд недостатков, и построение оболочки результирующей модели нередко происходит с ошибками. По этой причине многие разработчики трехмерной графики используют в своих проектах дополнительный модуль Power Booleans . Он позволяет создавать модели с более точной геометрией, чем те, которые можно получить, используя стандартные средства, а также быстрее строит полигональную сетку. Это особенно заметно при работе с объектами, имеющими большое количество полигонов.

Моделирование с использованием булевых операций подробно рассмотрено в разд. «Урок 6. Моделирование винта».

Булевы операции и математическая логика

Булевы операции очень близки (хотя и не тождественны) логическим связкам в классической логике . Бит можно рассматривать как логическое суждение - его значениями являются 1 «истина» и 0 «ложь». При такой интерпретации известные в логике связки конъюнкции , дизъюнкции , импликации , отрицания и другие имеют представление на языке битов. И наоборот, битовые операции легко описываются на языке исчисления высказываний .

Однако, связкам математической логики более соответствуют логические операции в т.ч. в программировании, нежели собственно битовые операции.

Булевы операции как основа цифровой техники

Булевы операции лежат в основе обработки цифровых сигналов . А именно, посредством них мы можем из одного или нескольких сигналов на входе получить новый сигнал, который в свою очередь может быть подан на вход одной или нескольким таким операциям. По сути, именно булевы операции в сочетании с запоминающими элементами (напр. триггерами) реализуют всё богатство возможностей современной цифровой техники.

Список битовых операций

И

«(Логическое) И» (and) - аналог конъюнкции в логике. Иногда называется логическим умножением.

Выдаёт 1 если оба входа равны 1, в противном случае 0. Если один из аргументов равен 1, то результат «И» равен другому. Если один из аргументов равен 0, то результат «И» равен 0 независимо от значения другого аргумента.

НЕ

«(Логическое) НЕ» (not), инвертирование - аналог отрицания в логике.

Данная унарная операция (с одним входом) заменяет 0 на 1 и наоборот. Реализующий её элемент называется инвертором .

ИЛИ

«(Логическое) ИЛИ» (or) - аналог дизъюнкции в логике.

Выдаёт 1 если и только если хотя бы один из входов равен 1. Операция, двойственная AND: при инвертировании выхода и всех входов (т.е. при замене 0 и 1 местами) «И» и «ИЛИ» взаимно превращается друг в друга.

Исключающее ИЛИ

«Исключающее ИЛИ» (xor), «сложение по модулю 2» - аналог исключающего ИЛИ в логике.

Если один из аргументов равен 0, то результат равен другому. Если один из аргументов равен 1, то результат равен отрицанию другого аргумента. Первое русское название операции обусловлено тем, что результат данной операции отличается от результата «ИЛИ» только в одном случае из 4 случаев входа - обоих 1 (случай одновременной истинности аргументов «исключается»). Ещё в русской грамматике значение данной логической связки передаётся союзом «либо».

Второе название - тем, что действительно является сложением в кольце вычетов по модулю 2, из чего следуют некоторые интересные свойства. Например, в отличие от вышеописанных «И» и «ИЛИ» данная операция является обратимой, или инволютивной: .

Операции от многих аргументов

Операции «И», «ИЛИ» и «исключающее ИЛИ» являются не только коммутативными, но и ассоциативными , и потому легко обобщаются на случай нескольких аргументов (входов).

Прочие бинарные операции

Стрелка Пирса является результатом инвертирования результата «ИЛИ» своих аргументов, выдаёт значение 1 только когда оба входа 0.

«И-НЕ» (nand), или «штрих Шеффера» .

Двойственная стрелке Пирса операция: является результатом инвертирования результата «И» своих аргументов, выдаёт значение 0 только когда оба входа 1. Известна простотой реализации в ТТЛ .

Импликация («если-то») - аналог импликации в логике.

Совпадает с «ИЛИ» с инвертированным первым аргументом, выдаёт значение 0 только когда первый вход 1 а второй - 0. Данная операция не является коммутативной , в отличие от всех вышеописанных бинарных операций. Её можно понимать как арифметическое (меньше или равно).

Эквиваленция . Выдаёт 1 если и только если оба аргумента равны между собой. Является результатом инвертирования результата «исключающего ИЛИ» своих аргументов. Она же и двойственна исключающему «ИЛИ» в вышеописанном смысле.

Сводная таблица истинности булевых операций

Название→ Аргументы			И (AND)	НЕ (NOT)	ИЛИ (OR)	искл. ИЛИ(XOR)	импликация	стрелка Пирса	штрих Шеффера
x	y		() (x&y)	() (~x)	() (x|y)	() (x^y)	() ((~x)|y)	((~x)&(~y))	(~(x&y))
0	0		0	1	0	0	1	1	1
0	1		0	1	1	1	1	0	1
1	0		0	0	1	1	0	0	1
1	1		1	0	1	0	1	0	0

Операции над битовыми векторами

Обобщение операций на булеву алгебру

Вместо одиночных битов мы можем рассмотреть векторы из фиксированного количества битов (в программировании их называют регистрами), например, байты . В программировании регистры рассматривают как двоичное разложение целого числа: b = b 0 + 2b 1 + 2 2 b 2 + ... + 2 N − 1 b N − 1 , где N - количество битов в регистре.

Тем не менее, ничто не мешает рассматривать эти регистры именно как битовые векторы и проводить булевые операции покомпонентно (бит номер k значения есть результат операция от битов номер k аргументов). Кстати, математически говоря, булевы операции распространяются таким образом на произвольную булеву алгебру . Таким образом мы получаем операции побитового И, ИЛИ, НЕ, искл. ИЛИ и т. д. Как арифметические, данные операции не обладают хорошими свойствами за исключением побитового НЕ, которое для чисел в дополнительном коде совпадает с вычитанием из −1 (~x == -1-x). Однако, они очень полезны в программировании.

Битовые сдвиги

К битовым операциям также относят битовые сдвиги. При сдвиге значения битов копируются в соседние по направлению сдвига. Различают несколько видов сдвигов - логический , арифметический и циклический , в зависимости от обработки крайних битов.

Также различают сдвиг влево (в направлении от младшего бита к старшему) и вправо (в направлении от старшего бита к младшему).

Арифметический сдвиг (правый)

Циклический сдвиг

Циклический сдвиг через перенос

Логический сдвиг

При логическом сдвиге значение последнего бита по направлению сдвига теряется (копируясь в бит переноса), а первый приобретает нулевое значение.

Логические сдвиги влево и вправо используются для быстрого умножения и деления на 2, соответственно.

Арифметический сдвиг

Арифметический сдвиг аналогичен логическому, но значение слова считается знаковым числом представленному дополнительным кодом. Так при правом сдвиге старший бит сохраняет свое значение. Левый арифметический сдвиг идентичен логическому.

Циклический сдвиг

При циклическом сдвиге, значение последнего бита по направлению сдвига копируется в первый бит (и копируется в бит переноса).

Также различают циклический сдвиг через бит переноса - при нем первый бит по направлению сдвига получает значение из бита переноса, а значение последнего бита сдвигается в бит переноса.

2-адическая интерпретация

Целое число, записанное (в дополнительном коде) в бесконечный (в сторону положительных степеней двойки) двоичный регистр является естественным объектом для теории p-адических чисел при p = 2 . Множество целых 2-адических чисел (т.е. произвольных бесконечных битовых последовательностей) может быть рассмотрено как булева алгебра точно так же как и множество значений битового регистра конечной длины. Все вышеперечисленные битовые операции оказываются непрерывными отображениями . Хотя практическое программирование не располагает регистрами бесконечной длины, это не мешает использовать данный теоретический факт в криптографии для создания быстродействующих алгоритмов шифрования.

Практические применения

Физическая реализация битовых операций

Реализация битовых операций может в принципе быть любой: механической, электромеханической , гидравлической, пневматической, оптической и даже химической.

В пожароопасных и взрывоопасных условиях до сих пор применяют пневматические логические устройства (пневмоника).

Наиболее распространены электронные реализации битовых операций при помощи транзисторов , например резисторно-транзисторная логика (РТЛ), диодно-транзисторная логика (ДТЛ), эмиттерно-связанная логика (ЭСЛ), транзисторно-транзисторная логика (ТТЛ), N-МОП логика, КМОП логика и др..

В квантовых вычислениях из перечисленных булевых операций реализуются только НЕ и искл. ИЛИ (с некоторыми оговорками). Квантовых аналогов И, ИЛИ и т.д. не существует.

Схемы аппаратной логики

Результат операции ИЛИ-НЕ или ИЛИ ото всех битов двоичного регистра проверяет, равно ли значение регистра нулю; то же самое взятое от выхода искл. ИЛИ двух регистров проверяет равенство их значений между собой.

Битовые операции применяются в знакогенераторах и графических адаптерах ; особенно велика была их роль в адаптере графический ускоритель.

Использование в программировании

Благодаря реализации в арифметическом логическом устройстве (АЛУ) процессора многие их регистровые битовые операции аппаратно доступны в языках низкого уровня . В большинстве процессоров реализованы в качестве инструкции регистровый НЕ; регистровые двухаргументные И, ИЛИ, исключающее ИЛИ; проверка равенства нулю (см. выше); три типа битовых сдвигов, а также циклические битовые сдвиги.

Регистровая операция И используется для сброса конкретных битов по битовой маске, ИЛИ - для установки, исключающее ИЛИ - для инвертирования битов регистра по маске.