Вычитание десятичных дробей, правила, примеры, решения

Как и сложение, вычитание десятичных дробей зависит от правильной записи чисел.

Правило вычитания десятичных дробей

1) ЗАПЯТАЯ ПОД ЗАПЯТОЙ!

Эта часть правила самая важная. При вычитании десятичных дробей их следует записать так, чтобы запятые уменьшаемого и вычитаемого находились строго одна под другой.

2) Уравниваем количество цифр после запятой. Для этого в том числе, где количество цифр после запятой меньше, дописываем после запятой в конце нули.

3) Вычитаем числа, не обращая внимания на запятую.

4) Сносим запятую под запятыми.

Примеры на вычитание десятичных дробей .

Чтобы найти разность десятичных дробей 9,7 и 3,5, запишем их так, чтобы запятые в обоих числах находились строго одна под другой. Затем вычитаем, не обращая внимания на запятую. В полученном результате запятую сносим, то есть записываем под запятыми уменьшаемого и вычитаемого:

2) 23,45 — 1,5

Чтобы из одной десятичной дроби вычесть другую, надо записать их так, чтобы запятые располагались точно одна под другой. Так как у 23,45 после запятой две цифры, а у 1,5 — только одна, дописываем в 1,5 нуль. После этого ведем вычитания, не обращая внимания на запятую. В результат сносим запятую под запятыми:

23,45 — 1,5=21,95.

Вычитание десятичных дробей начинаем с их записи так, чтобы запятые были расположены ровно одна под одной. В первом числе после запятой одна цифра, во втором — три, поэтому на место недостающих двух цифр в первом числе записываем нули. Затем вычитаем числа, не обращая внимания на запятую. В полученном результате сносим запятую под запятыми:

63,5-8,921=54,579.

4) 2,8703 — 0,507

Чтобы вычесть эти десятичные дроби, записываем их так, чтобы запятая второго числа расположилась точно под запятой первого. В первом числе после запятой четыре цифры, во втором — три, поэтому второе число дополняем после запятой нулем в конце. После этого вычитаем эти числа, как обычные натуральные, не учитывая запятую. В полученном результате записываем запятую под запятыми:

2,8703 — 0,507 = 2,3663.

5) 35,46 — 7,372

Вычитание десятичных дробей начинаем с записи чисел таким образом, чтобы запятые находились одна под другой. Дополняем нулем после запятой первое число, чтобы в обоих дробях после запятой было по три цифры. Затем вычитаем, не обращая внимания на запятую. В ответе сносим запятую под запятыми:

35,46 — 7,372 = 28,088.

Чтобы из натурального числа вычесть десятичную дробь, в его записи в конце ставим запятую и приписываем необходимое количество нулей после запятой. Зачем вычитаем, не беря во внимание запятую. В ответ сносим запятую ровно под запятыми:

45 — 7,303 = 37,698.

7) 17,256 — 4,756

Этот пример на вычитание десятичных дробей выполняем аналогично. В результате получили число с нулями после запятой в конце. Их в ответе не пишем: 17,256 — 4,756 =12,5.

Дробью будем называть одну или несколько равных между собой долей одного целого. Дробь записывается с помощью двух натуральных чисел, которые разделены между собой чертой. Например, 1 / 2 , 14 / 4 , ¾, 5 / 9 и т.д.

Цифра, которая записана сверху над чертой, называется числителем дроби, а цифра записанная под чертой, называется знаменателем дроби.

Для чисел, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000, и т.д. условились записывать число без знаменателя. Для этого сначала пишут целую часть числа, ставят запятую и пишут дробную часть этого числа, то есть числитель дробной части.

Например, вместо 6(7 / 10) пишут 6,7. Такую запись принято называть десятичной дробью .

Разберемся, как выполнять простейшие арифметические действия с десятичными дробями.

Сложение десятичных дробей в смешанной форме

Допустим нам нужно сложить десятичные дроби 2,7 и 1,651.

Первым делом необходимо уравнять количество цифр после запятой. Для этого нужно приписать к десятичной дроби 2,7 справа два нуля, получим: 2,7 = 2,700.

• 2,700 = 2 * (700 / 1000);
• 1,651 = 1 * (651 / 1000).

Для сложения воспользуемся правилом, целые части складываем отдельно, дробные отдельно, и результаты складываем между собой.

• 2 + 1 = 3;
• 700 / 1000 + 651 / 1000 = 1351 / 1000 = 1 * (351 / 1000);
• 3 + 1 * (351 / 1000) = 4 * (351 / 1000).

А теперь, записываем это число в десятичной форме, имеем: 4,351.

Получаем в итоге, 2,7 + 1,651.= 4,351.

Сложение десятичных дробей в столбик

Еще одним способом сложения десятичных дробей, является сложение чисел в столбик.

Снова, уравниваем количество цифр после запятой, приписывая нули. Записываем одно число над другим и складываем.

3,700
+
2,651
_____
6,351

Со сложением разобрались, теперь найдем разность тех же чисел.

Вычитание десятичных дробей в смешанной форме

Опять, же повторяем первый пункт и уравниваем количество цифр после запятой, дописывая нули.

• 2,7 = 2,700.

Запишем эти числа в смешанной форме.

• 2,700 = 2 * (700 / 1000);
• 1,651 = 1 * (651 / 1000).

Для нахождения разности воспользуемся правилом, работаем отдельно с целыми и с дробными частями, а потом складываем полученные результаты.

• 2 - 1 = 1;
• 700 / 1000 - 651 / 1000 = 49 / 1000 = 49 / 1000 ;
• 1 + 49 / 1000 = 1 * (49 / 1000).

А теперь, записываем это число в десятичной форме, имеем: 1,049.

Получаем в итоге, 2,7 - 1,651.= 1,049.

Вычитание десятичных дробей в столбик

Такой же результат моно было бы получить и при вычитании столбиком.

3,700
-
2,651
_____
1,049

Общее правило сложения и вычитания десятичных дробей

1. Уравнять в дробях количество знаков после запятой

Такие арифметические вычислительные действия, как сложение и вычитание десятичных дробей , необходимы для того, чтобы, оперируя дробными числами получать искомый результат. Особая важность проведения этих операций состоит в том, что во многих сферах деятельности человека меры многих сущностей представлены именно десятичными дробями . Поэтому для осуществления определенных действий со многими предметами материального мира требуется складывать или вычитать именно десятичные дроби . Следует заметить, что на практике эти операции используются практически повсеместно.

Процедуры сложения и вычитания десятичных дробей по своей математической сути осуществляется практически точно так же, как аналогичные операции для целых чисел. При ее осуществлении значение каждого разряда одного числа нужно записывать под значением аналогичного разряда другого числа.

Подчиняется следующим правилам:

Сначала необходимо произвести уравнивание количество тех знаков, что располагаются после запятой;

Затем нужно произвести запись десятичных дробей друг под другом таким образом, чтобы содержащиеся в них запятые располагались строго друг под другом;

Осуществить процедуру вычитания десятичных дробей в полном соответствии с теми правилами, которые действуют для вычитания целых чисел. При этом не нужно обращать никакого внимания на запятые;

После получения ответа запятую в нем нужно поставить строго под теми, которые имеются в исходных числах.

Операция сложения десятичных дробей осуществляется в соответствии с теми же правилами и алгоритмом, которые описаны выше для процедуры вычитания.

Пример сложения десятичных дробей

Две целых две десятых плюс одна сотая плюс четырнадцать целых девяносто пять сотых равняется семнадцать целых шестнадцать сотых.

2,2 + 0,01 + 14,95 = 17,16

Примеры сложения и вычитания десятичных дробей

Математические операции сложения и вычитания десятичных дробей на практике используются чрезвычайно широко, причем они нередко касаются многих предметов окружающего нас материального мира. Ниже приводится несколько примеров таких вычислений.

Пример 1

Согласно проектно-сметной документации, для строительства небольшого производственного объекта требуется десять целых пять десятых кубометров бетона. Используя современные технологии возведения зданий, подрядчикам без ущерба для качественных характеристик сооружения удалось использовать для проведения всех работ всего девять целых девять десятых кубометров бетона. Размер экономии составляет:

Десять целых пять десятых минус девять целых девять десятых равно ноль целых шесть десятых кубометра бетона.

10,5 – 9,9 = 0,6 м 3

Пример 2

Двигатель, устанавливаемый на старую модель автомобиля, потребляет в городском цикле восемь целых две десятых литра топлива на сто километров пробега. Для нового силового агрегата этот показатель составляет семь целых пять десятых литров. Размер экономии составляет:

Восемь целых две десятых литра минус семь целых пять десятых литра равно ноль целых семь десятых литра на сто километров пробега в городском режиме движения.

8,2 – 7,5 = 0,7л

Операции сложения и вычитания десятичных дробей применяются чрезвычайно широко, и их осуществление не составляет никаких проблем. В современной математике эти процедуры отработаны практически идеально, и ими практически все хорошо владеют еще со школьной скамьи.

Цели урока:

• формирование знаний о правилах сложения и вычитания десятичных дробей и умения применять их в простейших случаях;
• развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;
• воспитание самостоятельности при выполнении заданий.

Оборудование: компьютер, проектор, магнитные доски для учащихся, индивидуальные разноуровневые карточки.

Структура урока:

1. Организационный момент.
2. Активизация ранее полученных знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Первичное закрепление изученного материала.
5. Тест.
6. Постановка домашнего задания.
7. Подведение итогов урока.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Проверяется готовность класса к уроку. Отмечается, что учащиеся недавно познакомились с понятием «десятичная дробь», научились читать и сравнивать десятичные дроби. На уроке будет рассмотрен вопрос о том, как складывать и вычитать десятичные дроби. Записывается тема урока. Слайд 1.

II. Активизация ранее полученных знаний

Коль скоро речь сегодня пойдет о десятичных дробях, давайте вспомним:

• Какие из этих дробей можно записать в виде десятичных:

Слайд 2. (Учащиеся называют дроби).

Представьте дроби в виде десятичных. (Учащиеся показывают на магнитных досках) .
Еще раз вспомним, какие дроби можно записать в виде десятичных. (Ученики дают ответ).

Представьте в виде десятичных дробей:

Слайд 3. (На магнитных досках учащиеся показывают записи).

• Читаем числа:

0,62; 7,321; 21,0001; 63,01246. Слайд 4.

III. Изучение нового материала

– Ребята, а какой из приведенных примеров касается сегодняшней темы. (Учащиеся отвечают, что последний).
– Давайте запишем этот пример в тетрадь и найдем сумму.

Давайте запишем этот пример в виде десятичных дробей.

Тот же самый результат мы получим, складывая числа в столбик.

– Что мы с вами получили? (Сумму десятичных дробей).
– Давайте проговорим, как мы это сделали. Слайд 6.

– Хорошо!

Ученикам предлагается найти сумму десятичных дробей, у которых разное количество цифр после запятой 6,23 + 173,3. Учащимся задается вопрос: «Как действовать в этом случае?». (Учащиеся отвечают, что в слагаемых разное количество знаков после запятой).

– Как же быть? (Нужно уравнять, дописав нуль справа у второго слагаемого).

6,32 + 173,7 = 6,32 + 173,70

А теперь можно записать числа в столбик и найти сумму.

Алгоритм сложения десятичных дробей дополняется и выглядит следующим образом:

– А как найти разность двух десятичных дробей? (Точно так же).

Алгоритм дополняется и выглядит так:

– Итак, как сложить или вычесть десятичные дроби?

Алгоритм повторяется учащимися и появляется на экране.

IV. Первичное закрепление полученных знаний

1. Вычислим устно (примеры учащимся предлагаются на табличках, а ответы – на магнитных досках):

2. Решение упражнений.

№1213 (а, г, б), №1214 (а, д, е), №1219 (в, е, л).

Примеры решаются у доски с комментариями . Слайд 7.

V. Тест

– Итак, а сейчас мы проверим, как вы запомнили правила сложения и вычитания десятичных дробей.
Устно повторяется еще раз алгоритм.
Учащимся предлагаются карточки трех типов (Приложение 3 )
Ответы учащиеся демонстрируют на табличках. При успешном выполнении заданий у всех учащихся на табличках должно быть написано слово «плюс». Слайд 8.

VI. Подведение итогов урока

– Что вам понравилось на сегодняшнем уроке?
– Что не понравилось?
– Чему мы с вами научились на уроке? (Складывать и вычитать десятичные дроби).
– Какой способ нам позволит это сделать быстро? (Сложение и вычитание «в столбик»).
– А как это сделать?

Учащиеся проговаривают алгоритм.

VII. Постановка домашнего задания

– Пользуясь этим алгоритмом дома, вы выполните следующие задания: № 1255 (а, г, е), №1256 (е, з), а также ознакомитесь с пунктом параграфом 32 учебника. Сравните алгоритм, предложенный в учебнике, с нашим.
– Урок окончен.

• Для начала нужно уравнять число знаков после запятой.
• Дальше необходимо записать десятичные дроби друг под другом таким образом, чтобы запятые были друг под другом. Это самая важная часть!
• Далее, выполнить вычитание десятичных дробей, без учета запятых, по правилам вычитания в столбик натуральных чисел.
• И последнее, поставить в ответе запятую под запятыми.

Второй вариант вычитания десятичных дробей :

Если вы хорошо разбираетесь в десятичных дробях, в том, что такое десятые, сотые и др., то вам будет интересен этот вариант.

Правила вычитания десятичных дробей в строчку:

• Вычитаем десятичные дроби справа налево. Т.е., начиная с крайнего правого числа после запятой.
• Вычитаем поразрядно. Целые из целых, десятые из десятых, сотые из сотых, тысячные из тысячных и так далее.
• При вычитании большей цифры из меньшей, у соседа слева меньшей цифры занимаем десяток.

Например:

Крайняя правая цифра в заданных дробях - сотого разряда. 1 - 1 = 0 . Получаем ноль, то есть, в разряде сотых разности записываем 0 .

Десятые вычитаем из десятых. 2 - в уменьшаемом, 3 - вычитаемом. Т.к. из 2 (меньшего) нельзя вычитать 3 (большее), то нужно занять десяток у левой цифры для 2. Здесь это 5. 2 + 10 = 12. Таким образом, 3 вычитаем не из 2 , а из 12 .

12 - 3 = 9

Записываем 9 в разность. Так как мы из 5 вычли 1 десяток, в уменьшаемом остается не 15 , а 14 , чтобы это не забыть ставим над 5 пустой кружок или точку, как удобнее.

Вычитаем из 14 8:

14 - 8 = 6

Обратите внимание! Десятые можно вычитать только из десятых, сотые из сотых, тысячные из тысячных и так далее. Если в одной из дробей, отсутствует цифра соответствующего разряда, вместо неё записываем 0 .

Во втором числе крайняя правая цифра это два (сотый разряд), а в первом числе сотых не видно. Значит, к первому числу справа от 9 дописываем 0 и далее производим вычитание опираясь на основные правила.

Третий вариант вычитания десятичных дробей :