Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия примеры с решением. Будьте всегда в настроении
Геометрическая прогрессия, наряду с арифметической, является важным числовым рядом, который изучается в школьном курсе алгебры в 9 классе. В данной статье рассмотрим знаменатель геометрической прогрессии, и то, как его значение влияет на ее свойства.
Определение прогрессии геометрической
Для начала приведем определение этого числового ряда. Прогрессией геометрической называют такой ряд рациональных чисел, который формируется путем последовательного умножения его первого элемента на постоянное число, носящее название знаменателя.
Например, числа в ряду 3, 6, 12, 24, ... - это прогрессия геометрическая, поскольку если умножить 3 (первый элемент) на 2, то получим 6. Если 6 умножить на 2, то получим 12, и так далее.
Члены рассматриваемой последовательности принято обозначать символом ai, где i - это целое число, указывающее на номер элемента в ряду.
Приведенное выше определение прогрессии можно записать на языке математики следующим образом: an = bn-1 * a1, где b - знаменатель. Проверить эту формулу легко: если n = 1, то b1-1 = 1, и мы получаем a1 = a1. Если n = 2, тогда an = b * a1, и мы снова приходим к определению рассматриваемого ряда чисел. Аналогичные рассуждения можно продолжить для больших значений n.
Знаменатель прогрессии геометрической
Число b полностью определяет, какой характер будет носить весь числовой ряд. Знаменатель b может быть положительный, отрицательный, а также иметь значение больше единицы или меньше. Все перечисленные варианты приводят к разным последовательностям:
- b > 1. Имеет место возрастающий ряд рациональных чисел. Например, 1, 2, 4, 8, ... Если элемент a1 будет отрицательным, тогда вся последовательность будет возрастать только по модулю, но убывать с учетом знака чисел.
- b = 1. Часто такой случай не называют прогрессией, поскольку имеет место обычный ряд одинаковых рациональных чисел. Например, -4, -4, -4.
Формула для суммы
Перед тем как перейти к рассмотрению конкретных задач с использованием знаменателя рассматриваемого вида прогрессии, следует привести важную формулу для суммы ее первых n элементов. Формула имеет вид: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Получить это выражение можно самостоятельно, если рассмотреть рекурсивную последовательность членов прогрессии. Также заметим, что в приведенной формуле достаточно знать только первый элемент и знаменатель, чтобы найти сумму произвольного числа членов.
Бесконечно убывающая последовательность
Выше было дано пояснение, что она собой представляет. Теперь, зная формулу для Sn, применим ее к этому числовому ряду. Так как любое число, модуль которого не превышает 1, при возведении в большие степени стремится к нулю, то есть b∞ => 0, если -1
Поскольку разность (1 - b) всегда будет положительной, независимо от значения знаменателя, то знак суммы убывающей бесконечно прогрессии геометрической S∞ однозначно определяется знаком ее первого элемента a1.
Теперь рассмотрим несколько задач, где покажем, как применять полученные знания на конкретных числах.
Задача № 1. Вычисление неизвестных элементов прогрессии и суммы
Дана прогрессия геометрическая, знаменатель прогрессии 2, а ее первый элемент 3. Чему будут равны ее 7-й и 10-й члены, и какова сумма ее семи начальных элементов?
Условие задачи составлено достаточно просто и предполагает непосредственное использование вышеназванных формул. Итак, для вычисления элемента с номером n используем выражение an = bn-1 * a1. Для 7-го элемента имеем: a7 = b6 * a1, подставляя известные данные, получаем: a7 = 26 * 3 = 192. Аналогичным образом поступаем для 10-го члена: a10 = 29 * 3 = 1536.
Воспользуемся известной формулой для суммы и определим эту величину для 7-ми первых элементов ряда. Имеем: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Задача № 2. Определение суммы произвольных элементов прогрессии
Пусть -2 равен знаменатель прогрессии в геометрической прогрессии bn-1 * 4, где n - целое число. Необходимо определить сумму с 5-го по 10-й элемент этого ряда включительно.
Поставленная проблема не может быть решена непосредственно с использованием известных формул. Решить ее можно 2-мя различными методами. Для полноты изложения темы приведем оба.
Метод 1. Идея его проста: необходимо рассчитать две соответствующие суммы первых членов, а затем вычесть из одной другую. Вычисляем меньшую сумму: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Теперь вычисляем большую сумму: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Отметим, что в последнем выражении суммировались только 4 слагаемых, поскольку 5-е уже входит в сумму, которую требуется вычислить по условию задачи. Наконец, берем разницу: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Метод 2. Перед тем, как подставлять цифры и считать, можно получить формулу для суммы между членами m и n рассматриваемого ряда. Поступаем абсолютно так же, как в методе 1, только работаем сначала с символьным представлением суммы. Имеем: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). В полученное выражение можно подставлять известные числа и вычислять конечный результат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Задача № 3. Чему равен знаменатель?
Пусть a1 = 2, найдите знаменатель прогрессии геометрической, при условии, что ее бесконечная сумма составляет 3, и известно, что это убывающий ряд чисел.
По условию задачи нетрудно догадаться, какой формулой следует пользоваться для ее решения. Конечно же, для суммы прогрессии бесконечно убывающей. Имеем: S∞ = a1 / (1 - b). Откуда выражаем знаменатель: b = 1 - a1 / S∞. Осталось подставить известные значения и получить требуемое число: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333(3). Можно качественно проверить этот результат, если вспомнить, что для этого типа последовательности модуль b не должен выходить за пределы 1. Как видно, |-1 / 3|
Задача № 4. Восстановление ряда чисел
Пусть даны 2 элемента числового ряда, например, 5-й равен 30 и 10-й равен 60. Необходимо по этим данным восстановить весь ряд, зная, что он удовлетворяет свойствам прогрессии геометрической.
Чтобы решить задачу, необходимо для начала записать для каждого известного члена соответствующее выражение. Имеем: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Теперь разделим второе выражение на первое, получим: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Отсюда определяем знаменатель, взяв корень пятой степени от отношения известных из условия задачи членов, b = 1,148698. Полученное число подставляем в одно из выражений для известного элемента, получаем: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Таким образом, мы нашли, чему равен знаменатель прогрессии bn, и геометрическую прогрессию bn-1 * 17,2304966 = an, где b = 1,148698.
Где применяются прогрессии геометрические?
Если бы не существовало применения этого числового ряда на практике, то его изучение сводилось бы к чисто теоретическому интересу. Но такое применение существует.
Ниже перечислены 3 самых знаменитых примера:
- Парадокс Зенона, в котором ловкий Ахиллес не может догнать медленную черепаху, решается с использованием понятия убывающей бесконечно последовательности чисел.
- Если на каждую клетку шахматной доски класть зерна пшеницы так, что на 1-ю клетку положить 1 зерно, на 2-ю - 2, на 3-ю - 3 и так далее, то чтобы заполнить все клетки доски понадобится 18446744073709551615 зерен!
- В игре "Башня Ханоя", чтобы переставить диски с одного стержня на другой, необходимо выполнить 2n - 1 операций, то есть их число растет в геометрической прогрессии от количества используемых дисков n.
Инструкция
10, 30, 90, 270...
Требуется найти знаменатель геометрической прогрессии.
Решение:
1 вариант. Возьмем произвольный член прогрессии (например, 90) и разделим его на предыдущий (30): 90/30=3.
Если известна сумма нескольких членов геометрической прогрессии или сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то для нахождения знаменателя прогрессии воспользуйтесь соответствующими формулами:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии и
S = b1/(1-q), где S – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (сумма всех членов прогрессии со знаменателем меньшим единицы).
Пример.
Первый член убывающей геометрической прогрессии равен единице, а сумма всех ее членов равна двум.
Требуется определить знаменатель этой прогрессии.
Решение:
Подставьте данные из задачи в формулу. Получится:
2=1/(1-q), откуда – q=1/2.
Прогрессия представляет собой последовательность чисел. В геометрической прогрессии каждый последующий член получается умножением предыдущего на некоторое число q, называемое знаменателем прогрессии.
Инструкция
Если известно два соседних члена геометрической b(n+1) и b(n), чтобы получить знаменатель, надо число с большим разделить на предшествующее ему: q=b(n+1)/b(n). Это следует из определения прогрессии и ее знаменателя. Важным условием является неравенство нулю первого члена и знаменателя прогрессии, иначе считается неопределенной.
Так, между членами прогрессии устанавливаются следующие соотношения: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. По формуле b(n)=b1 q^(n-1) может быть вычислен любой член геометрической прогрессии, в которой известен знаменатель q и член b1. Также каждый из прогрессии по модулю равен среднему своих соседних членов: |b(n)|=√, отсюда прогрессия и получила свое .
Аналогом геометрической прогрессии является простейшая показательная функция y=a^x, где x стоит в показателе степени, a – некоторое число. В этом случае знаменатель прогрессии совпадает с первым членом и равен числу a. Под значением функции y можно понимать n-й член прогрессии, если аргумент x принять за натуральное число n (счетчик).
Существует для суммы первых n членов геометрической прогрессии: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Данная формула справедлива при q≠1. Если q=1, то сумма первых n членов вычисляется формулой S(n)=n b1. Кстати, прогрессия будет называться возрастающей при q большем единицы и положительном b1. При знаменателе прогрессии, по модулю не превышающем единицы, прогрессия будет называться убывающей.
Частный случай геометрической прогрессии – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (б.у.г.п.). Дело в том, что члены убывающей геометрической прогрессии будут раз за разом уменьшаться, но никогда не достигнут нуля. Несмотря на это, можно найти сумму всех членов такой прогрессии. Она определяется формулой S=b1/(1-q). Общее количество членов n бесконечно.
Чтобы наглядно представить, как можно сложить бесконечное количество чисел и не получить при этом бесконечность, испеките торт. Отрежьте половину этого . Затем отрежьте 1/2 от половины, и так далее. Кусочки, которые у вас будут получаться, являют собой не что иное, как члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 1/2. Если сложить все эти кусочки, вы получите исходный торт.
Задачи по геометрии - это особая разновидность упражнений, требующая пространственного мышления. Если у вас не получается решить геометрическую задачу , попробуйте следовать нижеприведенным правилам.
Инструкция
Прочитайте очень внимательно условие задачи, если что-то не запомнили или не поняли, перечитайте еще раз.
Постарайтесь определить, к какому виду геометрических задач она , так, например: вычислительные, когда нужно узнать какую-нибудь величину, задачи на , требующие логической цепочки рассуждений, задачи на построение при помощи циркуля и линейки. Еще задачи смешанного типа. Когда вы выяснили тип задачи, постарайтесь рассуждать логически.
Примените необходимую теорему для данной задачи, если же есть сомнения или вообще отсутствуют варианты, то постарайтесь вспомнить теорию, которую вы проходили по соответствующей теме.
Оформите решение задачи также на черновике. Попытайтесь применить известные способы проверки верности вашего решения.
Оформите решение задачи аккуратно в тетради, без помарок и зачеркиваний, а главное - .Возможно, на решение первых геометрических задач уйдет сил и времени. Однако, как только вы освоите этот процесс - начнете щелкать задачи по , как орешки, получая от этого удовольствие!
Геометрическая прогрессия - это такая последовательность чисел b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), что b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n)=b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Иными словами, каждый член прогрессии получается из предыдущего умножением его на некоторый ненулевой знаменатель прогрессии q.
Инструкция
Задачи на прогрессии чаще всего решаются составлением и последующим системы относительно первого члена прогрессии b1 и знаменателя прогрессии q. Для составления уравнений полезно помнить некоторые формулы.
Как выразить n-й член прогрессии через первый член прогрессии и знаменатель прогрессии:b(n)=b1*q^(n-1).
Рассмотрим отдельно случай |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия не менее важная в математике по сравнению с арифметической. Геометрической прогрессией называют такую последовательность чисел b1, b2,..., b[n] каждый следующий член которой, получается умножением предыдущего на постоянное число. Это число, которое также характеризует скорость роста или убывания прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают
Для полного задания геометрической прогрессии кроме знаменателя необходимо знать или определить первый ее член. Для положительного значения знаменателя прогрессия является монотонной последовательностью, причем если это последовательность чисел является монотонно убывающей и при монотонно возрастающей. Случай, когда знаменатель равен единице на практике не рассматривается, поскольку имеем последовательность одинаковых чисел, а их суммирование не вызывает практического интереса
Общий член геометрической прогрессии вычисляют по формуле
Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяют по формуле
Рассмотрим решения классических задач на геометрическую прогрессию. Начнем для понимания с простейших.
Пример 1. Первый член геометрической прогрессии равен 27, а ее знаменатель равен 1/3. Найти шесть первых членов геометрической прогрессии.
Решение: Запишем условие задачи в виде
Для вычислений используем формулу n-го члена геометрической прогрессии
На ее основе находим неизвестные члены прогрессии
Как можно убедиться, вычисления членов геометрической прогрессии несложные. Сама прогрессия будет выглядеть следующим образом
Пример 2. Даны три первых члена геометрической прогрессии : 6; -12; 24. Найти знаменатель и седьмой ее член.
Решение: Вычисляем знаменатель геомитрической прогрессии исходя из его определения
Получили знакопеременную геометрическую прогрессию знаменатель которой равен -2. Седьмой член вычисляем по формуле
На этом задача решена.
Пример 3.
Геометрическая прогрессия задана двумя ее членами 
. Найти десятый член прогрессии.
Решение:
Запишем заданные значения через формулы
По правилам нужно было бы найти знаменатель, а затем искать нужное значение, но для десятого члена имеем
Такую же формулу можно получить на основе нехитрых манипуляций с входными данными. Разделим шестой член ряда на другой, в результате получим
Если полученное значение умножить на шестой член, получим десятый
Таким образом, для подобных задач с помощью несложных преобразований в быстрый способ можно отыскать правильное решение.
Пример 4. Геометрическая прогрессия задано рекуррентными формулами
Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести членов.
Решение:
Запишем заданные данные в виде системы уравнений
Выразим знаменатель разделив второе уравнение на первое
Найдем первый член прогрессии из первого уравнения
Вычислим следующие пять членов для нахождения суммы геометрической прогрессии
Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Вот, например, задача из папируса Райнда: «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»
 |
|
Рис. 1. Древнеегипетская задача о геометрической прогресии |
Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Эту формулу можно доказать, например, так: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 .
Добавим к S n число b 1 q n и получим:
|
Отсюда S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) , и мы получаем необходимую формулу.
Уже на одной из глиняных табличек Древнего Вавилона, относящейся к VI в. до н. э., содержится сумма 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Правда, как и в ряде других случаев мы не знаем, откуда этот факт был известен вавилонянам.
Быстрое возрастание геометрической прогрессии в ряде культур, – в частности, в индийской, – неоднократно используется как наглядный символ необозримости мироздания. В известной легенде о появлении шахмат властелин предоставляет их изобретателю возможность самому выбрать награду, и тот просит такое количество пшеничных зерен, которое получится, если одно положить на первую клетку шахматной доски, два – на вторую, четыре – на третью, восемь – на четвертую и т. д., всякий раз число увеличивается вдвое. Владыка думал, что речь идет, самое большое, о нескольких мешках, но он просчитался. Нетрудно видеть, что за все 64 клетки шахматной доски изобретатель должен был бы получить (2 64 – 1) зерно, что выражается 20-значным числом; даже если засевать всю поверхность Земли, потребовалось бы не менее 8 лет, чтобы собрать необходимое количество зерен. Эту легенду иногда интерпретируют как указание на практически неограниченные возможности, скрытые в шахматной игре.
То, что это число действительно 20-значное, увидеть нетрудно:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (более точный расчет дает 1,84∙10 19). А вот интересно, сможете ли вы узнать, какой цифрой оканчивается данное число?
Геометрическая прогрессия бывает возрастающей, если знаменатель по модулю больше 1, или убывающей, если он меньше единицы. В последнем случае число q n при достаточно больших n может стать сколь угодно малым. В то время как возрастающая геометрическая прогрессия возрастает неожиданно быстро, убывающая столь же быстро убывает.
Чем больше n , тем слабее число q n отличается от нуля, и тем ближе сумма n членов геометрической прогрессии S n = b 1 (1 – q n ) / (1 – q ) к числу S = b 1 / (1 – q ) . (Так рассуждал, например, Ф. Виет). Число S называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тем не менее, долгие века вопрос о том, какой смысл имеет суммирование ВСЕЙ геометрической прогрессии, с ее бесконечным числом членов, не был достаточно ясен математикам.
Убывающую геометрическую прогрессию можно видеть, например, в апориях Зенона «Деление пополам» и «Ахиллес и черепаха». В первом случае наглядно показывается, что вся дорога (предположим, длины 1) является суммой бесконечного числа отрезков 1/2, 1/4, 1/8 и т. д. Так оно, конечно, и есть с точки зрения представлений о конечной сумме бесконечной геометрической прогрессии. И все же – как такое может быть?
|
Рис. 2. Прогрессия с коэффициентом 1/2 |
В апории про Ахиллеса ситуация чуть более сложная, т. к. здесь знаменатель прогрессии равен не 1/2, а какому-то другому числу. Пусть, например, Ахиллес бежит со скоростью v , черепаха движется со скоростью u , а первоначальное расстояние между ними равно l . Это расстояние Ахиллес пробежит за время l /v , черепаха за это время сдвинется на расстояние lu /v . Когда Ахиллес пробежит и этот отрезок, дистанция между ним и черепахой станет равной l (u /v ) 2 , и т. д. Получается, что догнать черепаху – значит найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом l и знаменателем u /v . Эта сумма – отрезок, который в итоге пробежит Ахиллес до места встречи с черепахой – равен l / (1 – u /v ) = lv / (v – u ) . Но, опять-таки, как надо интерпретировать этот результат и почему он вообще имеет какой-то смысл, долгое время было не очень ясно.
|
Рис. 3. Геометрическая прогрессия с коэффициентом 2/3 |
Сумму геометрической прогрессии использовал Архимед при определении площади сегмента параболы. Пусть данный сегмент параболы отграничен хордой AB и пусть в точке D параболы касательная параллельна AB . Пусть C – середина AB , E – середина AC , F – середина CB . Проведем прямые, параллельные DC , через точки A , E , F , B ; пусть касательную, проведенную в точке D , эти прямые пересекают в точках K , L , M , N . Проведем также отрезки AD и DB . Пусть прямая EL пересекает прямую AD в точке G , а параболу в точке H ; прямая FM пересекает прямую DB в точке Q , а параболу в точке R . Согласно общей теории конических сечений, DC – диаметр параболы (то есть отрезок, параллельный ее оси); он и касательная в точке D могут служить осями координат x и y , в которых уравнение параболы записывается как y 2 = 2px (x – расстояние от D до какой-либо точки данного диаметра, y – длина параллельного данной касательной отрезка от этой точки диаметра до некоторой точки на самой параболе).
В силу уравнения параболы, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , а поскольку DK = 2DL , то KA = 4LH . Т. к. KA = 2LG , LH = HG . Площадь сегмента ADB параболы равна площади треугольника ΔADB и площадям сегментов AHD и DRB , вместе взятых. В свою очередь, площадь сегмента AHD аналогичным образом равна площади треугольника AHD и оставшихся сегментов AH и HD , с каждым из которых можно провести ту же операцию – разбить на треугольник (Δ) и два оставшихся сегмента (), и т. д.:
Площадь треугольника ΔAHD равна половине площади треугольника ΔALD (у них общее основание AD , а высоты отличаются в 2 раза), которая, в свою очередь, равна половине площади треугольника ΔAKD , а значит, и половине площади треугольника ΔACD . Таким образом, площадь треугольника ΔAHD равна четверти площади треугольника ΔACD . Аналогично, площадь треугольника ΔDRB равна четверти площади треугольника ΔDFB . Итак, площади треугольников ΔAHD и ΔDRB , вместе взятые, равны четверти площади треугольника ΔADB . Повторение этой операции в применении к сегментам AH , HD , DR и RB выделит и из них треугольники, площадь которых, вместе взятых, будет в 4 раза меньше, чем площадь треугольников ΔAHD и ΔDRB , вместе взятых, а значит, в 16 раз меньше, чем площади треугольника ΔADB . И так далее:
Таким образом, Архимед доказал, что «всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с ним одно и то же основание и равную высоту».
Урок по теме “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия” (алгебра, 10кл.)
Цель урока: ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Оборудование: проектор, экран.
Тип урока: урок – усвоение новой темы.
Ход урока
I . Орг. момент. Сообщение темы и цели урока.
II . Актуализация знаний учащихся.
В 9 классе вы изучали арифметическую и геометрическую прогрессии.
Вопросы
1. Определение арифметической прогрессии. (Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой,начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом).
2. Формула n
-го члена арифметической прогрессии (
)
3. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
(
или 
)
4. Определение геометрической прогрессии. (Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число).
5. Формула n
-го члена геометрической прогрессии (
)
6. Формула суммы первых n
членов геометрической прогрессии. (
)
7. Какие формулы вы еще знаете?
(
, где 
; 
; 
; 
, 
)
5. Для геометрической прогрессии 
найдите пятый член. 
6. Для геометрической прогрессии найдите n
-й член. 
7. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите b 4 . (4)
8. В геометрической прогрессии b
3
= 8
и b
5
= 2
. Найдите b
1
и
q
. 
9. В геометрической прогрессии b 3 = 8 и b 5 = 2 . Найдите S 5 . (62)
III . Изучение новой темы (демонстрация презентации).
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.
В результате, мы получили последовательность сторон квадратов 
образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .
И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например ,
Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.
Например, последовательность площадей квадратов:
. И, опять, если n
неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.
Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.
при 
.
Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.
Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.
Определение:
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. 
.
С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.
Задача
Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:
; 
.
Решение:
. Найдем q
.
; 
; 
; 
.
данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: 
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1. 
