Методы экономико-математического моделирования. Эмм - экономико-математическое моделирование

МЕТОДЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1. ПРЕДМЕТ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Принцип аналогии в моделировании, общее понятие модели

Моделирование основывается на принципе аналогии (подобия, сходства) между двумя объектами или явлениями, имеющими за­частую качественно различную природу. В этом случае один из объектов рассматривается как оригинал, а второй - как его мо­дель, копия. Наиболее существенным сходством между оригина­лом и его моделью является сходство их поведения при определен­ных условиях. Моделирование используется как способ исследования, изуче­ния сложных систем и явлений.

При изучении методом аналогии непосредственному исследо­ванию всегда подвергается одна система, а вывод делается для другой. Система, которая исследуется непосредственно, является отображением или моделью изучаемой системы, оригинала.

Модель (лат. modulus) - мера, мерило, образец, норма. В математике существует теория моделей, в которой под моделью понимается произвольное множество с заданным на нем набо­ром свойств и отношений. Модель представляет собой отображение каким-либо способом наиболее существенных характеристик, процессов и взаимосвязей реальных систем, а под моделированием понимает­ся воспроизведение или имитирование какой-либо существующей системы на специально построенном аналоге или модели.

Под моделированием понимается ис­следование объектов познания не непосредственно, а косвенным путем, с помощью анализа некоторых других вспомогательных объектов - моделей.

Все экономические модели можно в общем смысле разбить на два класса:

Модели позитивного анализа - для познания свойств реаль­ных или гипотетических экономических систем. Значение их па­раметров невозможно оценить по эмпирическим данным;

Модели нормативного анализа - для прогнозирования или принятия управляющих решений. Их параметры можно оценить по опытным данным.

Объектом моделирования является зафиксированный или по крайней мере наблюдаемый процесс развития экономического объекта во времени.

Экономико-математические модели

Для более глубокого исследования и изучения сложных систем используется математическое моделирование, под которым пони­мается описание или представление наиболее важных причинных и функциональных взаимосвязей и зависимостей, существующих в реальной действительности, в математической форме.

Математическая модель имеет другую по сравнению с реаль­ным объектом природу и представляет собой уравнение или систему уравнений и неравенств, описывающую взаимосвязи, происходящие в оригинале.

Математическое моделирование получило широкое распростра­нение в исследовании экономических систем. Это обусловлено тем, что экономические системы характеризуются сложными количественными взаимозависимостями, которые можно выразить как взаимосвязь множества переменных и которые хорошо поддаются ма­тематическому описанию в виде уравнений и неравенств. Исполь­зуется оно как средство изучения, как инструмент познания эко­номических явлений. Анализируя уравнения и неравенства, кото­рые описывают количественные взаимосвязи данной системы, мож­но анализировать и саму экономическую систему.

Следовательно, под экономико-математической моделью пони­мается описание количественных взаимосвязей и взаимозависимо­стей экономических систем или процессов в математической форме.

Экономические системы характеризуются огромным количест­вом взаимосвязей, детальный учет которых привел бы к очень громоздким и практически неиспользуемым моделям или системе моделей. Важно включить в модель факторы, оказывающие основ­ное влияние на производство, и не менее важно опускать те из них, которые не оказывают на него существенного влияния. Таким об­разом, экономико-математическая модель характеризует наиболее важные свойства конкретных экономических систем, абстрагируясь от деталей и частностей.

По определению академика, экономико-математическая модель есть концентрированное выражение существующих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме. Модель выступает как аналог исследуемого процесса, так как она отобра­жает наиболее существенные и основные связи моделируемого объекта.

Математическое моделирование открыло широкие возможно­сти для изучения экономических взаимосвязей и закономерностей. С появлением математического модели­рования и ЭВМ стало возможным экспериментирование и в эко­номике, но не на реальных объектах, а на математических моделях экономических систем и явлений. Для этого необходимо представить экономический процесс в виде экономико-мате­матической задачи и решить ее на ЭВМ. Причем, изменяя условия, можно проанализировать множество вариантов и выбрать наибо­лее выгодный из них. Это открывает новые возможности, как в проверке различных гипотез, предположений, так и в совершенствовании реального про­цесса воспроизводства.

Математическое моделирование предполагает предварительный качественный анализ условий, в которых будут проявляться коли­чественные взаимосвязи моделируемого объекта. Вид и характер математической модели определяются взаимо­связями и взаимозависимостями экономических систем.

Математическая модель экономического объекта, экономико-математическая модель - совокупность математических уравнений и неравенств, описывающая функционирование экономического объекта с заданной степенью детализации. Структурны­ми элементами экономико-математической модели являются технико-экономические показатели деятельности объекта, представленные в виде известных (заданных) и неизвестных (пе­ременных) величин.

Основными переменными, с помощью которых описывается экономическая система, являются объемы различных товаров и ус­луг, которые производятся и потребляются, прибавляются и вы­читаются из имеющихся запасов, продаются и покупаются, а так­же цены , по которым покупаются и продаются товары и услуги.

Для построения уравнений нужны данные: имеющееся количе­ство природных и людских ресурсов, уровень технических знаний, природа потребительских предпочтений. Из этих данных и переменных формируются условия функционирования некоторого экономического объекта, т. е. система уравнений (или неравенств).

Сложность природы экономических объектов состоит в том, что основные переменные (объемы товаров и цены) хотя и сущест­вуют объективно, но зависят от поведения отдельных людей, ин­дивидуумов, корпоративного поведения групп взаимосвязанных людей, совокупного поведения больших масс людей, а также пове­дения государственных и политических деятелей. Аналитическое описание их поведения - наиболее сложная часть в формализации развития экономических систем. Но нельзя также забывать, что одно из основных понятий поведен­ческой деятельности - выбор, выбор одного из многих вариантов поведения (стратегий). Выбор всегда делает индивидуум, основы­ваясь на своих соображениях, предпочтениях, руководствуясь той или иной целевой установкой - экономической выгодой.

Экономико-математическая модель должна включать форма­лизованное описание критерия выбора, т. е. экономической цели: целевую функцию.

Делая свой выбор, люди всегда учитывают не только сущест­вующую экономическую ситуацию, но и ее будущие изменения, т. е. изменившиеся ожидания. Следовательно, выбор осуществля­ется в динамике.

Исследуя поведение отдельного индивидуума на рынке това­ров, можно сделать вывод о поведении населения (индивидуаль­ный и массовый спрос) или групп взаимосвязанных людей (орга­низаций, фирм), чтобы управлять спросом на товары и услуги. Итак, если основные задачи экономической теории - объяс­нить текущее состояние и предсказать будущее развитие экономи­ческих систем (объектов), то основная задача математической эко­номики - дать для этого необходимый аналитический аппарат.

1.2. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

Первые задачи, связанные с отысканием наименьших и наибольших величин, были поставлены в древности. Упоминания о максимумах и минимумах встречаются в трудах Евклида, Аполло­ния, Архимеда. Потребность решать экстремальные проблемы спо­собствовала созданию математического анализа и вариационного исчисления. В XVII и XVIII веках были открыты вариационные принципы в оптике и механике, вариационное исчисление стало языком экономики и естествознания.

В становлении современных методов оптимизации сыграли оп­ределенную роль ученые Куисни (1759) и Л. Вальрас (1874), предло­жившие первые элементарные модели математического программи­рования. Фон Нейман (1937) и (1939) разработали экономические модели оптимизации. Математические основы линейного программирования разрабатывались
М. Жорданом (1873), Г. Мынковским (1896) и Ю. Фаркашем (1903). Серьезный вклад в| динамическое программирование внес (1954), а также
(1920), разработавший элементы теории массового обслуживания. Важную роль в теории оптимизации сыграл фундаментальный труд Г. Вагнера (1969), который является одним из ведущих специалистов по исследованию операций.

Оптимизация имеет важное значение в экономических исследованиях.

Изучение экономико-математических моделей начнем с микроэкономического уровня, на котором функционируют предприятия (фирмы), т. е. товаропроизводители, а также домашние хозяйства, т. е. потребители.

Домашнее хозяйство - один или несколько человек, объединенных общим доходом , сообща планирующие его расходование на приобретение товаров и услуг.

Предприятие (фирма) - группа лиц, организующих совместную деятельность для производства товаров и услуг и реализации их домашним хозяйствам и другим фирмам.

Основная экономическая цель потребителя - достичь максимального уровня удовлетворения при расходовании дохода, выбрав среди доступных ему вариантов поведения один - наи­лучший.

Основная экономическая цель производителя - достичь максимума прибыли при выборе наилучшей производственной прог­раммы.

При планировании производственной деятельности на любом уровне управления предполагаются заданными те производ­ственные ресурсы, которыми мы располагаем и которыми можем распоряжаться. Известными являются и нормативы затрат производственных ресурсов при различных способах производства. Неизвестные (переменные) - количество производимых товаров и услуг, которое можно произвести в заданный промежуток време­ни, чтобы достичь экономического эффекта (цели производства).

aij - норма затрат /-го вида ресурса на единицу j-го вида деятельности;

bi - объем имеющегося ресурса i-го вида.

Дадим определения основных структурных элементов задачи линейного программирования.

Итак, задача линейного программирования (1.5, 1.6) в экономике называется линейной моделью оптимального планирования. Целевая функция f - критерий оптимальности модели. Решение - план (производственная программа, способ функционирования). Множество решений системы линейных неравенств (1.6) без учета целевой функции - множество допустимых решений (в математике) и совокупность допустимых планов (в экономике). Точка оптимума (n-мерный вектор , при котором достигается f(х)), т. е. оптимальное решение задачи линейно­го программирования (1.5, 1.6), в экономике называется оптимальным планом.

Повторим: задача линейного программирования состоит в отыскании значений п переменных x1, х2,…,хn доставляющих экстремум функции f(x1x2,..,хn) при условиях (1.6), представляющих собой систему линейных нестрогих неравенств, которые в случае необходимости могут быть превращены в равенства посредством присоединения искусственных переменных xn+i (i =1,2,.., m). Обычно добавляются условия неотрицательности переменных x j ≥ 0 (j = 1, 2,.., n).

Поскольку целевая функция линейна, она не имеет критических точек. Следовательно, все точки оптимумов являются граничными. Допустимое множество выпукло, так как все ограничения линейны. Линейная целевая функция одновременно и выпукла, и вогнута, поэтому все максимумы и минимумы являются глобальными. Если решение задачи линейного программирования существует, то в принципе оно может быть точно найдено (рассчитано). Универсальный метод решения общей задачи линейного программирования (симплекс-метод) введен Дж. Данцигом. Для других классов задач оптимизации нет хороших конечных численных методов, поэтому для экономистов-практиков, заинтересованных в непосредственном численном решении задач оптимизации, теория ЛП очень важна. Если исходные модели могут быть приближены к линейным с приемлемой точностью, то симплекс-метод дает возможность получить численное решение для последующего анализа.

Свойства решений задачи линейного программирования во многом зависят от особенностей области определения, заданной условиями (1.6). Для изучения этих свойств введем основные понятия.

1. Множество точек {х}, х = (х1 х2,…, х n ), удовлетворяющих системе (1.6), есть область определения задачи линейного программирования. Когда
п = 2, область определения - многоугольник на плоскости, в общем случае - n - мерный многогранник.

2. Функция f(x) - целевая функция (плоскость при п = 2, в общем случае - гиперплоскость); она достигает экстремума в одной или нескольких допустимых точках области определения. Эти точки называются оптимальным решением.

3. Область определения называется выпуклой, если вместе с двумя любыми точками она содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки.

4. Область определения является замкнутой (т. е. содержащей собственную границу), так как в выражении (1.6) все неравенства нестрогие.

Точка х , принадлежащая выпуклой области, называется крайней, если в данной области нет двух таких точек х1 и х2 , что х находится на отрезке между х1 и х2 .

Крайняя точка не совпадает с граничной.

Область определения, заданная условиями (1.6), - выпуклый замкнутый многогранник, вершины которого - крайние точки, число их конечно.

5. Если не существует точки х = (х1 х2,.., х n ), удовлетворяющей системе (1.6), тогда область определения задачи линейного программирования - пустое множество, а система (1.6) называется несовместной. Экстремум целевой функции не существует.

6. Экстремум целевой функции в задаче линейного программирования (если он существует) всегда является абсолютным (глобальным), т. е. единственным.

7. Множество экстремальных точек х* (точек, в которых f = extr) в задаче линейного программирования (если оно непусто) всегда содержит, хотя бы одну крайнюю точку многогранника (области определения).

Перечисленные свойства задач линейного программирования легко можно проиллюстрировать графически в двумерном случае.

На рис. 1.3 точки О, Е1 Е2 Е3, Е4 - экстремальные. Оптимум задачи лежит в одной из них либо на множестве экстремальных точек (отрезок в двумерном случае).

Из свойств 1-7 следует, что всякая процедура, предусматривающая направленный перебор крайних точек области определения задачи (1.5, 1.6), должна привести к отысканию среди них точки экстремума х *, т. е. оптимального решения. Эта идея отражена в симплекс-методе. Он позволяет найти крайнюю точку области определения и оценить, является ли она точкой экстремума целевой функции f . Если нет, то обеспечивается переход к соседней крайней точке, где значение f больше (меньше) предыдущего. Через конечное число шагов точка экстремума либо оказывается найденной, либо признается несуществующей (система условий (1.6) несовместна).

Рис. 1.3. Геометрическая схема решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод часто называют методом последовательного улучшения плана. Для обоснования алгоритма расчетов симплекс-метода будем рассматривать каноническую задачу линейного программирования (простейшую): min сх при Ах = b , х ≥ 0, где А - матрица; b , с, х - векторы.

Пусть известна угловая (крайняя) точка х = (х1 х2,.., хп) - опорный план.

Ненулевые значения компонент хj образуют вектор, который называется базисом. Для невырожденных задач базис содержит т компонент (т < п). Итерационный шаг метода состоит в переходе от угловой точки х к угловой точке х", при котором значение целевой функции убывает: (сх") < (сх).

Метод реализован в виде стандартных пакетов прикладных программ на всех массовых моделях ЭВМ и широко используется при решении практических задач экономического анализа и планирования.

Перечислим другие классы задач оптимизации, для которых существуют эффективные (не всегда конечные) методы решения .

1. Квадратичное программирование - задача минимизации положительно определенной квадратичной формы при линейных ограничениях.

2. Целочисленное программирование - задача ЛП, в которой все или некоторые переменные могут принимать только дискретные значения.

3. Выпуклое программирование - задача максимизации вогнутых целевых функций на выпуклых множествах.

4. Стохастическое программирование - задача Л П, в которой матрица А и вектор b содержат случайные параметры с известным законом распределения либо сами ограничения носят вероятностный характер.

5. Блочная задача линейного программирования большой
размерности - задача ЛП, в которой матрица А имеет вид шахматной доски со связующими переменными и (или) ограничениями, а общая размерность превышает (500*500).

6. Динамическое программирование - система методов, поз­воляющих решать многоэтапные задачи планирования.

7. Многокритериальная оптимизация - с несколькими целе­выми функциями.

1.5. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Для экономического анализа весьма важным является анализ двойственной задачи ЛП, так как принципы двойственности проясняют природу цен. Цена - самое фундаментальное понятие экономической теории.

Пусть стандартная задача ЛП в векторно-матричных обозначениях записывается в виде: найти

х = (х1 х2,…, хп)

чтобы получить

max cx (1.7)

при ограничениях

Ax ≤ b , x ≥0. (1.8)

Где с - n-мерная вектор-строка;

b - m-мерный вектор-столбец;

А – матрица m*n;

m – произвольное число, m < n.

Двойственной по отношению к исходной задаче (1.7, 1.8) называется задача вида: найти

y (y 1 , y 2 ,…, ym ) (1.9)

чтобы обеспечить

min yb

при условиях

yA ≥ c , y ≥ 0. (1.10)

Здесь А, b , с имеют тот же смысл, что в задаче (1.7, 1.8).

Тогда исходная задача является прямой. Двойственная к двойственной задаче - исходная. Двойственность - формальное математическое соотношение. Двойственная задача по построению всегда существует. Если прямая задача выражает функционирование реального экономического объекта, то и двойственная имеет экономическую интерпретацию. Для анализа этого вопроса сформулируем теоремы.

1-я теорема двойственности (теорема существования). Допустимый вектор прямой задачи х* оптимален тогда и только тогда, когда существует допустимый вектор двойственной задачи у* , такой, что сх* = y *b. В этом случае у* - оптимальный вектор двойственной задачи.

Иными словами, если одна из задач двойственной пары имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение, причем максимальное значение целевой функции исходной задачи и минималь­ное значение целевой функции двойственной задачи численно равны. (Если же одна из задач не имеет оптимального решения, то систе­ма ограничений двойственной задачи противоречива.)

2-я теорема двойственности (теорема равновесия).

1. Пусть векторы х* и у* допустимы в прямой и двойственных задачах соответственно. Они оптимальны тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

а) у* i ≥ 0, но у* i = 0, если https://pandia.ru/text/79/131/images/image011.gif" width="114" height="50">, j=1,…,n.

2.Оптимальная точка всегда будет такова, что число ненулевых переменных в решении каждой задачи не превосходит числа функциональных ограничений задачи.

Иными словами, если в оптимальном плане исходной задачи значение какой-либо переменной строго больше нуля, то соот­ветствующее ограничение двойственной задачи при подстановке в не­го оптимального плана становится равенством.

2-я теорема двойственности дает возможность экономической интерпретации двойственной задачи, что иллюстрирует следующий пример.

Задана линейная модель производства, в которой выпускается п продуктов [ x j ] и затрачивается т факторов [ bi ], [а ij ] - постоянные коэффициенты затрат.

С другой стороны, заданы векторы цен и вектор ресурсов , ограничивающий использование факторов.

По 1-й теореме двойственности имеем рх* = y*b (стоимость продукции равна стоимости затраченных факторов. Следова­тельно, у* - вектор цен на факторы).

Двойственные переменные часто называются условными оценками (двойственными оценками, объективно обусловленными оценками). В данном случае они дают ответ на вопрос: какова наименьшая стоимость набора факторов b , дающая возможность обращения факторов в продукты и продажи продуктов по ценам р. Если оценка затрат, необходимых для производства продукта, меньше цены продукта, то более выгодно произвести и продать продукт, чем продать эти факторы. При оптимальных значениях х* и у* фирме безразлично, выпускать ли продукты, чтобы продать по ценам р, или продать ресурсы по ценами y*, так как y* b = р х* .

По 2-й теореме двойственности имеем:

а) всякий фактор, который не может быть использован при производстве оптимального набора продуктов, получает нулевую оценку (т. е. избыточно предлагаемые факторы не представляют ценности);

б) продукт, издержки на производство которого превосходят его цену (когда факторы оцениваются в оптимальных условных оценках), не будет производиться при оптимальном производстве. Поскольку эти соотношения соответствуют состоянию равновесия конкурентной экономики, 2-я теорема получила название теоремы равновесия.

Прямая задача Двойственная задача

m ax px min yb

Ах ≤ Ь, х ≥0 y А ≥ р, у ≥ 0

Запись прямой и двойственной задач в развернутой форме приведена ниже.

Задача I (исходная)

Задача II (двойственная)

F = c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn ® max при ограничениях a 11 x 1 + a 12 x 2 +… + a 1n xn ≤ b1 a21 x1+ a 22 x2 +… + a 2 n xn ≤ b2 ………………………………. am1 x1 + a m2 x2 +… + a mn xn ≤ bm и условии неотрицательности x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0,…, xn ≥ 0. Составить такой план выпуска про­дукции Х= (x 1 , x 2 ,…, xn ), при кото­ром прибыль (выручка) от реализа­ции продукции будет максималь­ной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов

Z = b1 y1 + b2 y2 + …+ bn yn ® min при ограничениях a 11 y 1 + a 21 y 2 +… + a m1 ym ≥ p1 a12 y1 + a 22 y2 +… + a m2 ym ≥ p2 ………………………………. a1n y1 + a 2n y2 +… + a mn ym ≥ pm и условии неотрицательности y 1 ≥ 0 , y 2 ≥ 0,…, ym ≥ 0. Найти такой набор цен (оценок) ре­сурсов У = (у1 у2 ,..., ут), при кото­ром общие затраты на ресурсы бу­дут минимальными при условии, что затраты на ресурсы при произ­водстве каждого вида продукции будут не менее прибыли (выручки) от реализации этой продукции

Пусть ν * - оптимальное значение целевой функции, у* - оптимальный вектор двойственной задачи. Заменим b на b+ https://pandia.ru/text/79/131/images/image013.gif" width="15" height="18 src=">v* оптимального значения целевой функции определяется соотношением: v* = у* https://pandia.ru/text/79/131/images/image013.gif" width="15" height="18 src=">v* = yi * b i .

Характеристика основных экономико-математических методов АХД

Применение методов линейного программирования для решения конкретных аналитических задач.

Применение методов динамического программирования для решения конкретных аналитических задач.

1. Экономико-математические методы - это математические методы, применяемые для анализа экономических явлений и процессов. Использование математических методов в экономическом анализе позволяет повысить его эффективность за счет сокращения сроков проведения анализа, более полного охвата влияния факторов на результаты коммерческой деятельности, замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислениями, постановки и решения новых многомерных задач анализа, практически не выполнимых вручную или традиционными методами.

Применение математических методов в экономическом анализе требует соблюдения ряда условий, среди которых:

Системный подход к изучению экономики предприятий, учета всего множества существенных взаимосвязей между различными сторонами деятельности предприятий;

Разработка комплекса экономико-математических моделей, отражающих количественную характеристику экономических процессов и задач, решаемых с помощью экономического анализа;

Совершенствование системы экономической информации о работе предприятий;

Наличие технических средств (ЭВМ и др.), осуществляющих хранение, обработку и передачу экономической информации в целях экономического анализа;

Организация специального коллектива аналитиков, состоящего из экономистов-производственников, специалистов по экономико-математическому моделированию, математиков-вычислителей, программистов-операторов и др.

Современное состояние разработки принципов и конкретных форм использования математики и других точных наук для решения экономических задач отражает примерная схема основных математических методов, применяющихся в анализе хозяйственной деятельности предприятий.

Приведенная схема еще не является классификатором экономико-математических методов, поскольку она составлена безотносительно к какому-либо классификационному признаку. Она необходима для инвентаризации и характеристики основных математических методов, используемых в анализе хозяйственной деятельности предприятий. Рассмотрим ее

Экономико-математические методы в анализе

Методы элементарной математики

Эвристические методы

Методы исследования операций

Математическая теория оптимальных процессов

Методы экономической кибернетики

Классические методы математического анализа

Методы математической статистики

Эконометрические методы

Методы математического программирования

Экономико-математические методы анализа хозяйственной деятельности.

Методы элементарной математики используются в обычныхтрадиционных экономических расчетах при обосновании потребностейв ресурсах, учете затрат на производство, разработке планов, проектов,при балансовых расчетах и т. д. Выделение методов классической высшей математики на схемеобусловлено тем, что они применяются не только в рамках другихметодов, например, методов математической статистики иматематического программирования, но и отдельно. Так, факторныйанализ изменения многих экономических показателей может бытьосуществлен с помощью дифференцирования и интегрирования.

Методы математической статистики широко применяются в экономическом анализе. Они используются в тех случаях, когда изменение анализируемых показателей можно представить как случайным процесс. Статистические методы, являясь основным средством изучения массовых, повторяющихся явлений, играют важную роль в прогнозировании поведения экономических показателей. Когда связь между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая, то статистические и вероятностные методы - это практически единственный инструмент исследования. Наибольшее распространение из математико-статистических методов в экономическом анализе получили методы множественного и парного корреляционного анализа.

Для изучения одномерных статистических совокупностей используются: вариационный ряд, законы распределения, выборочный метод. Для изучения многомерных статистических совокупностей применяют корреляции, регрессии, дисперсионный, ковариационный, спектральный, компонентный, факторный виды анализа, изучаемые в курсах теории статистики.

Следующая группа экономико-математических методов - эконометрические методы. Эконометрия - научная дисциплина, изучающая количественные стороны экономических явлений и процессов средствами математического и статистического анализа на основе моделирования экономических процессов. Соответственно эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основой эконометрии является экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса с помощью научной абстракции, отражения их характерных черт. Из э ко неметрических методов наибольшее распространение в современной экономике получил метод анализа "затраты - выпуск". За его разработку выдающийся экономист В. Леонтьев в 1973 году получил Нобелевскую премию. Метод анализа "затраты-выпуск" - это эконометрический метод анализа, заключающийся в построении матричных (балансовых) моделей, по шахматной схеме и позволяющих в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат ирезультатов производства. Удобство расчетов и четкость экономической интерпретации - главные преимущества использования матричных моделей. Это важно при создании систем механизированной обработки данных, при планировании производства продукции с использованием ЭВМ.

Методы математического программирования в экономике - это многочисленные методы решения задач оптимизации производственно-хозяйственной и прежде всего плановой деятельности хозяйствующего субъекта. По своей сути эти методы - средство плановых расчетов. Ценность их для экономического анализа выполнения бизнес-планов состоит в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности производственных ресурсов и т. п.

Под исследованием операций понимается метод целенаправленных действий (операций), количественная оценка полученных решений и выбор из них наилучшего. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе производственно-хозяйственная деятельность предприятий. Целью является такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных.

Как раздел исследования операций теория игр - это теория построения математических моделей для принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы.

Теория массового обслуживания - это теория, разрабатывающая математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания на основе теории вероятности. Так, любое из структурных подразделений промышленного предприятия можно представить как объект системы обслуживания.

Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлением носят случайный характер, их нельзя предсказать с однозначной определенностью. Однако в своей совокупности множество таких требований подчиняется определенным статистическим закономерностям, количественное изучение которых и является предметом теории массового обслуживания.

Методы экономической кибернетики разрабатываются экономической кибернетикой - научной дисциплиной, анализирующей экономические явления и процессы в качестве очень сложных систем, с точки зрения законов и механизмов управления и движения информации в них. Из методов экономической кибернетики наибольшее распространение в экономическом анализе получили

31методы моделирования и системного анализа.

В последние годы в экономической науке усилился интерес к методам эмпирического поиска оптимальных условий протекания процесса, использующих человеческий опыт и интуицию. Это нашло отражение в применении эвристических методов (решений), которые представляют собой неформализованные методы решения экономических задач, связанных со сложившейся хозяйственной ситуацией, на основе интуиции, прошлого опыта, экспертных оценок специалистов и т. п.

Для анализа производственно-хозяйственной, коммерческой деятельности многие методы из приведенной примерной схемы не нашли практического применения и только разрабатываются в теории экономического анализа. В то же время в этой схеме не нашли отражения некоторые экономико-математические методы, рассматриваемые в специальной литературе по экономическому анализу: теория нечетких множеств, теория катастроф и др. В данном учебном пособии внимание сосредоточено на основных экономико-математических методах, получивших уже широкое применение в практике экономического анализа.

Применение того или иного математического метода в экономическом анализе опирается на методологию экономико-математического моделирования хозяйственных процессов и научно обоснованную классификацию методов и задач анализа.

По классификационному признаку оптимальности все экономико-математические методы (задачи) подразделяются на две группы: оптимизационные и неоптимизационные. Оптимизационные методы - группа экономико-математических методов анализа, позволяющих искать решение задачи по заданному критерию оптимальности. Неоптимизационные методы - группа экономико-математических методов анализа, использующихся для решения задач без критерия оптимальности.

По признаку получения точного решения все экономико-математические методы делятся на точные и приближенные. К точным методам относят группу экономико-математических методов, алгоритм которых позволяет получить только одно решение по заданному критерию оптимальности или без него. К приближенным методам относят группу экономико-математических методов, применяемых в случае, когда при поиске решения используется стохастическая информация и решение задачи можно получить с любой степенью точности, а также такие, при применении которых не гарантируется получение единственного решения по заданному критерию оптимальности или без него.

Таким образом, на основе использования только двух признаков классификации, все экономико-математические методы делятся на четыре группы:

1) оптимизационные точные методы;

2} оптимизационные приближенные методы;

3) неоптимизационные точные методы;

4) неоптимизационные приближенные методы.

Так, к оптимизационным точным методам можно отнести методы теории оптимальных процессов, некоторые методы математического программирования и методы исследования операций. К оптимизационным приближенным методам относятся: отдельные методы математического программирования; методы исследования операций, методы экономической кибернетики; методы математической теории планирования экстремальных экспериментов; эвристические методы. К неоптимизационным точным методам относятся: методы элементарной математики и классические методы математического анализа, эконометрические методы. К неоптимизационным приближенным методам относятся: метод статистических испытаний и другие методы математической статистики.

Из представленных нами укрупненных групп экономико-математических методов, некоторые методы из этих групп используются для решения различных задач - как оптимизационных, так и неоптимизационных; как точных, так и приближенных.

2 . Методы линейного программирования. Все экономические задачи, решаемые с применением методов линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу - значит выбрать из значительного количества всех допустимых вариантов лучший, оптимальный. В этом состоит важность и ценность использования в экономике методов линейного программирования. При помощи других способов решать такие задачи практически невозможно.

Линейное программирование основано на решении системы линейных уравнений (с преобразованием в уравнения и неравенства), когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Для него характерны: математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимо­заменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.

С помощью методов линейного программирования в промышленном производстве, например, исчисляется оптимальная общая производительность машин, агрегатов, поточных линий (при заданном ассортименте продукции и иных заданных величинах), решается задача рационального раскроя материалов (с оптимальным выходом заготовок}. В сельском хозяйстве они используются для определения минимальной стоимости кормовых рационов при заданном количестве кормов (по видам и содержащимся в них питательным веществам). Задача о смесях может найти применение и в литейном производстве (состав металлургической шихты). Этими же методами решаются транспортная задача, задача рационального прикрепления предприятий-потребителей к предприятиям-производителям.

3. Методы динамического программирования. Методы динамического программирования применяются при решении оптимизационных задач, в которых целевая функция и/или ограничения, характеризуются нелинейными зависимостями.

Признаками нелинейности является, в частности, наличие переменны/, у которых показатель степени отличается от единицы, а также наличие переменной в показателе степени, под корнем, под знаком логарифма.

В экономике вообще и в экономике предприятия, в частности, примеров нелинейных зависимостей достаточно много. Так, экономическая эффективность производства возрастает или убывает непропорционально изменению масштабов производства; величина затрат на производство партии деталей возрастает вместе с увеличением размеров партии, но не пропорционально им. Нелинейной связью характеризуется изменение величины износа производственного оборудования в зависимости от времени его работы, удельный расход бензина (на 1 км пути) - от скорости движения автотранспорта и многие другие хозяйственные ситуации.

теоретико-аналитические, применяемые для исследования наиболее общих свойств и закономерностей развития экономических процессов;прикладные, используемые для решения конкретных задач.

2. По уровням исследуемых экономических процессов:

производственно-технологические;социально-экономические.

3. По характеру отражения причинно-следственных связей:

детерминированные;недетерминированные (вероятностные, стохастические), учитывающие фактор неопределённости.

4. По способу отражения фактора времени:

статические. Здесь все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени);динамические, характеризующие изменения процессов во времени.

5. По форме математических зависимостей:

линейные. Наиболее удобны для анализа и вычислений, вследствие чего получили большое распространение;нелинейные.

6. По степени детализации (степени огрубления структуры):

агрегированные ("макромодели");детализированные ("микромодели").

Для понимания структуры нашего курса важное значение имеет схема, представленная на рисунке 1.3. В правой части рисунка показаны основные классы экономико-математических методов (классификация по используемому математическому аппарату), а в левой части - важнейшие направления применения методов.

Следует помнить также, что каждый из методов может быть применен для решения различных по специфике задач. И наоборот, одна и та же задача может решаться различными методами.

}