Реклама на портале

Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график онлайн. Полный пример исследования функции онлайн

Если в задаче необходимо произвести полное исследование функции f (x) = x 2 4 x 2 - 1 с построением его графика, тогда рассмотрим этот принцип подробно.

Для решения задачи данного типа следует использовать свойства и графики основных элементарных функций. Алгоритм исследования включает в себя шаги:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нахождение области определения

Так как исследования проводятся на области определения функции, необходимо начинать с этого шага.

Пример 1

Заданный пример предполагает нахождение нулей знаменателя для того, чтобы исключить их из ОДЗ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; + ∞

В результате можно получить корни, логарифмы, и так далее. Тогда ОДЗ можно искать для корня четной степени типа g (x) 4 по неравенству g (x) ≥ 0 , для логарифма log a g (x) по неравенству g (x) > 0 .

Исследование границ ОДЗ и нахождение вертикальных асимптот

На границах функции имеются вертикальные асимптоты, когда односторонние пределы в таких точках бесконечны.

Пример 2

Для примера рассмотрим приграничные точки, равные x = ± 1 2 .

Тогда необходимо проводить исследование функции для нахождения одностороннего предела. Тогда получаем, что: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) · 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (+ 0) · 2 = + ∞

Отсюда видно, что односторонние пределы являются бесконечными, значит прямые x = ± 1 2 - вертикальные асимптоты графика.

Исследование функции и на четность или нечетность

Когда выполняется условие y (- x) = y (x) , функция считается четной. Это говорит о том, что график располагается симметрично относительно О у. Когда выполняется условие y (- x) = - y (x) , функция считается нечетной. Значит, что симметрия идет относительно начала координат. При невыполнении хотя бы одного неравенства, получаем функцию общего вида.

Выполнение равенства y (- x) = y (x) говорит о том, что функция четная. При построении необходимо учесть, что будет симметричность относительно О у.

Для решениянеравенства применяются промежутки возрастания и убывания с условиями f " (x) ≥ 0 и f " (x) ≤ 0 соответственно.

Определение 1

Стационарные точки – это такие точки, которые обращают производную в ноль.

Критические точки - это внутренние точки из области определения, где производная функции равняется нулю или не существует.

При решении необходимо учитывать следующие замечания:

  • при имеющихся промежутках возрастания и убывания неравенства вида f " (x) > 0 критические точки в решение не включаются;
  • точки, в которых функция определена без конечной производной, необходимо включать в промежутки возрастания и убывания (к примеру, y = x 3 , где точка х = 0 делает функцию определенной, производная имеет значение бесконечности в этой точке, y " = 1 3 · x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , х = 0 включается в промежуток возрастания);
  • во избежание разногласий рекомендовано пользоваться математической литературой, которая рекомендована министерством образования.

Включение критических точек в промежутки возрастания и убывания в том случае, если они удовлетворяют области определения функции.

Определение 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти :

  • производную;
  • критические точки;
  • разбить область определения при помощи критических точек на интервалы;
  • определить знак производной на каждом из промежутков, где + является возрастанием, а - является убыванием.

Пример 3

Найти производную на области определения f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Решение

Для решения нужно:

  • найти стационарные точки, данный пример располагает х = 0 ;
  • найти нули знаменателя, пример принимает значение ноль при x = ± 1 2 .

Выставляем точки на числовой оси для определения производной на каждом промежутке. Для этого достаточно взять любую точку из промежутка и произвести вычисление. При положительном результате на графике изображаем + , что означает возрастание функции, а - означает ее убывание.

Например, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0 , значит, первый интервал слева имеет знак + . Рассмотрим на числовой прямой.

Ответ:

  • происходит возрастание функции на промежутке - ∞ ; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
  • происходит убывание на промежутке [ 0 ; 1 2) и 1 2 ; + ∞ .

На схеме при помощи + и - изображается положительность и отрицательность функции, а стрелочки – убывание и возрастание.

Точки экстремума функции – точки, где функция определена и через которые производная меняет знак.

Пример 4

Если рассмотреть пример, где х = 0 , тогда значение функции в ней равняется f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 . При перемене знака производной с + на - и прохождении через точку х = 0 , тогда точка с координатами (0 ; 0) считается точкой максимума. При перемене знака с - на + получаем точку минимума.

Выпуклость и вогнутость определяется при решении неравенств вида f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0 . Реже используют название выпуклость вниз вместо вогнутости, а выпуклость вверх вместо выпуклости.

Определение 3

Для определения промежутков вогнутости и выпуклости необходимо:

  • найти вторую производную;
  • найти нули функции второй производной;
  • разбить область определения появившимися точками на интервалы;
  • определить знак промежутка.

Пример 5

Найти вторую производную из области определения.

Решение

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Находим нули числителя и знаменателя, где на примере нашего примера имеем, что нули знаменателя x = ± 1 2

Теперь необходимо нанести точки на числовую ось и определить знак второй производной из каждого промежутка. Получим, что

Ответ:

  • функция является выпуклой из промежутка - 1 2 ; 1 2 ;
  • функция является вогнутой из промежутков - ∞ ; - 1 2 и 1 2 ; + ∞ .

Определение 4

Точка перегиба – это точка вида x 0 ; f (x 0) . Когда в ней имеется касательная к графику функции, то при ее прохождении через x 0 функция изменяет знак на противоположный.

Иначе говоря, это такая точка, через которую проходит вторая производная и меняет знак, а в самих точках равняется нулю или не существует. Все точки считаются областью определения функции.

В примере было видно, что точки перегиба отсутствуют, так как вторая производная изменяет знак во время прохождения через точки x = ± 1 2 . Они, в свою очередь, в область определения не входят.

Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот

При определении функции на бесконечности нужно искать горизонтальные и наклонные асимптоты.

Определение 5

Наклонные асимптоты изображаются при помощи прямых, заданных уравнением y = k x + b , где k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x .

При k = 0 и b , не равному бесконечности, получаем, что наклонная асимптота становится горизонтальной .

Иначе говоря, асимптотами считают линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Это способствует быстрому построению графика функции.

Если асимптоты отсутствуют, но функция определяется на обеих бесконечностях, необходимо посчитать предел функции на этих бесконечностях, чтобы понять, как себя будет вести график функции.

Пример 6

На примере рассмотрим, что

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

является горизонтальной асимптотой. После исследования функции можно приступать к ее построению.

Вычисление значения функции в промежуточных точках

Чтобы построение графика было наиболее точным, рекомендовано находить несколько значений функции в промежуточных точках.

Пример 7

Из рассмотренного нами примера необходимо найти значения функции в точках х = - 2 , х = - 1 , х = - 3 4 , х = - 1 4 . Так как функция четная, получим, что значения совпадут со значениями в этих точках, то есть получим х = 2 , х = 1 , х = 3 4 , х = 1 4 .

Запишем и решим:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 · 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0 , 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 · 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0 , 08

Для определения максимумов и минимумов функции, точек перегиба, промежуточных точек необходимо строить асимптоты. Для удобного обозначения фиксируются промежутки возрастания, убывания, выпуклость, вогнутость. Рассмотрим на рисунке, изображенном ниже.

Необходимо через отмеченные точки проводить линии графика, что позволит приблизить к асимптотам, следуя стрелочкам.

На этом заканчивается полное исследование функции. Встречаются случаи построения некоторых элементарных функций, для которых применяют геометрические преобразования.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В данной статье рассмотрим схему исследования функции, а также приведем примеры исследования на экстремумы, монотонность, асимптоты данной функции.

Схема

  1. Область существования (ОДЗ) функции.
  2. Пересечение функции (если имеется) с осями координат, знаки функции, четность, периодичность.
  3. Точки разрыва (их род). Непрерывность. Асимптоты вертикальные.
  4. Монотонность и точки экстремума.
  5. Точки перегиба. Выпуклость.
  6. Исследование функции на бесконечности, на асимптоты: горизонтальные и наклонные.
  7. Построение графика.

Исследование на монотонность

Теорема. Ежели функция g непрерывна на , дифференцированная на (а; b) и g’(x) ≥ 0 (g’(x)≤0) , xє(а; b) , то g возрастающая (убывающая) на .

Пример:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ОДЗ: хєR

y’ = x 2 + 6x + 5.

Найдем промежутки постоянных знаков y’ . Поскольку y’ - элементарная функция, то она может менять знаки только в точках, где она превращается в ноль или не существует. Ее ОДЗ: хєR .

Найдем точки, производная в которых равняется 0 (нулю):

y’ = 0;

x = -1; -5.

Итак, y растущая на (-∞; -5] и на [-1; +∞), y нисходящая на .

Исследование на экстремумы

Т. x 0 именуют точкой максимума (max) на множестве А функции g тогда, когда принимается в этой точке функцией значение наибольшее g(x 0) ≥ g(x), xєА .

Т. x 0 именуют точкой минимума (min) функции g на множестве А тогда, когда принимается в этой точке функцией значение наименьшее g(x 0) ≤ g(x), xєА.

На множестве А точки максимума (max) и минимума (min) именуются точками экстремума g . Такие экстремумы еще называют абсолютными экстремумами на множестве .

Если x 0 - экстремума точка функции g в некотором своем округе, то x 0 именуется точкой локального или местного экстремума (max или min) функции g.

Теорема (условие необходимое). Если x 0 - точка экстремума (локального) функции g , то производная не существует или равна в этой т. 0 (нулю).

Определение. Критическими именуют точки с несуществующей или равной 0 (нулю) производной. Именно данные точки подозрительны на экстремум.

Теорема (условие достаточное № 1). Если функция g непрерывна в некотором округе т. x 0 и знак меняет чрез эту точку при переходе производная, то данная точка есть т. экстремума g .

Теорема (условие достаточное № 2). Пускай функция в некотором округе точки дифференцируема дважды и g’ = 0, а g’’ > 0 (g’’ < 0) , тогда эта точка есть точкой максимума (max) или минимума (min) функции.

Исследование на выпуклость

Функцию называют выпуклой вниз (или вогнутой) на интервале (а, b) тогда, когда график функции располагается не выше секущей на промежутке для любых x с (а, b) , которая проходит чрез эти точки.

Функция будет выпуклой строго вниз на (а, b) , если - график лежит ниже секущей на промежутке.

Функцию называют выпуклой вверх (выпуклой) на промежутке (а, b) , если для любых точек с (а, b) график функции на промежутке лежит не ниже секущей, проходящей через абсциссы в этих точках .

Функция будет строго выпуклой вверх на (а, b ), если - график на промежутке лежит выше секущей.

Если функция в некотором округе точки непрерывна и через т. x 0 при переходе функция изменяет выпуклость то эта точка именуется точкой перегиба функции.

Исследование на асимптоты

Определение. Прямую называют асимптотой g(x) , если при бесконечном удалении от начала координат к ней приближается точка графика функции: d(M,l).

Асимптоты могут быть вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальная прямая с уравнением x = x 0 будет асимптотой вертикальной графика функции g , если в т. x 0 бесконечный разрыв, то есть хотя бы одна левая или правая граница в этой точке - бесконечность.

Исследование функции на отрезке на значение наименьшее и наибольшее

Если функция непрерывна на , то по теореме Вейерштрасса существует значение наибольшее и значение наименьшее на этом отрезке, то есть существуют точки, которые принадлежат такие, что g(x 1) ≤ g(x) < g(x 2), x 2 є . Из теорем про монотонность и экстремумы получаем следующую схему исследования функции на отрезке на наименьшее и наибольшее значение.

План

  1. Найти производную g’(x) .
  2. Искать значение функции g в этих точках и на концах отрезка.
  3. Найденные значения сравнить и выбрать наименьшее и наибольшее.

Замечание. Если нужно произвести исследование функции на конечном интервале (а, b) , или на бесконечном (-∞; b); (-∞; +∞) на max и min значение, то в плане вместо значений функции на концах промежутка ищут соответствующие односторонние границы: вместо f(a) ищут f(a+) = limf(x) , вместо f(b) ищут f(-b) . Так можно найти ОДЗ функции на промежутке, потому что абсолютные экстремумы не обязательно существуют в данном случае.

Применение производной к решению прикладных задач на экстремум некоторых величин

  1. Выражают данную величину через другие величины из условия задачи так, чтобы она была функцией только от одной переменной (если это возможно).
  2. Определяют промежуток изменения этой переменной.
  3. Проводят исследование функции на промежутке на max и min значения.

Задача. Нужно построить площадку прямоугольной формы, использовав а метров сетки, у стены так, чтобы с одной стороны она прилегала к стене, а с остальных трех была ограждена сеткой. При каком соотношении сторон площадь такой площадки будет наибольшей?

S = xy - функция 2 переменных.

S = x(a - 2x) - функция 1-й переменной; x є .

S = ax - 2x 2 ; S" = a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8 - наибольшее значение;

S(0) =0.

Найдем другую сторону прямоугольника: у = a: 2.

Соотношение сторон: y: x = 2.

Ответ. Наибольшая площадь будет равна a 2 /8 , если сторона, которая параллельна стене, в 2 раза больше другой стороны.

Исследование функции. Примеры

Пример 1

Имеется y=x 3: (1-x) 2 . Произвести исследование.

  1. ОДЗ: хє(-∞; 1) U (1; ∞).
  2. Общего вида функция (ни четная, ни нечетная), относительно точки 0 (нуль) не симметрична.
  3. Знаки функции. Функция элементарная, поэтому может менять знак только в точках, где она равна 0 (нулю), или не существует.
  4. Функция элементарная, поэтому непрерывная на ОДЗ: (-∞; 1) U (1; ∞).

Разрыв: х = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞ - Разрыв 2-го рода (бесконечный), поэтому есть вертикальная асимптота в точке 1;

х = 1 - уравнение асимптоты вертикальной.

5. y’ = x 2 (3 - x) : (1 - x) 3 ;

ОДЗ (y’): x ≠ 1;

х = 1 - точка критическая.

y’ = 0;

0; 3 - точки критические.

6. y’’ = 6x: (1 - x) 4 ;

Критические т.: 1, 0;

x = 0 - т. перегиба, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞ - нет горизонтальной асимптоты, но может быть наклонная.

k = 1 - число;

b = 2 - число.

Следовательно, есть асимптота наклонная y = x + 2 на + ∞ и на - ∞.

Пример 2

Дано y = (x 2 + 1) : (x - 1). Произвести и сследование. Построить график.

1. Область существования - вся числовая прямая, кроме т. x = 1 .

2. y пересекает OY (если это возможно) в т. (0;g(0)) . Находим y(0) = -1 - т. пересечения OY .

Точки пересечения графика с OX находим, решив уравнение y = 0 . Уравнение корней действительных не имеет, поэтому эта функция не пересекает OX .

3. Функция непериодическая. Рассмотрим выражение

g(-x) ≠ g(x), и g(-x) ≠ -g(x) . Это означает, что это общего вида функция (ни четная, ни нечетная).

4. Т. x = 1 разрыв имеет второго рода. Во всех остальных точках функция непрерывна.

5. Исследование функции на экстремум:

(x 2 - 2x - 1) : (x - 1) 2 = y"

и решим уравнение y" = 0.

Итак, 1 - √2, 1 + √2, 1 - точки критические или точки возможного экстремума. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала.

На каждом интервале производная имеет определенный знак, который можно установить методом интервалов или вычисления значений производной в отдельных точках. На интервалах (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , положительная производная, значит, функция растет; если xє (1 - √2 ; 1) U (1; 1 + √2 ) , то функция убывает, потому что на этих интервалах производная отрицательная. Через т. x 1 при переходе (движение следует слева направо) изменяет производная знак с "+" на "-", поэтому, в этой точке есть локальный максимум, найдем

y max = 2 - 2√2 .

При переходе через x 2 изменяет производная знак с "-" на "+", поэтому, в этой точке есть локальный минимум, причем

y mix = 2 + 2√2.

Т. x = 1 не т. экстремума.

6. 4: (x - 1) 3 = y"".

На (-∞; 1 ) 0 > y"" , следственно, на этом интервале кривая выпуклая; если xє(1 ; ∞) - кривая вогнута. В точке 1 не определена функция, поэтому эта точка не точка перегиба.

7. Из результатов пункта 4 следует, что x = 1 - асимптота вертикальная кривой.

Горизонтальные асимптоты отсутствуют.

x + 1 = y - асимптота наклонная данной кривой. Других асимптот нет.

8. Учитывая проведенные исследования, строим график (см. рисунок выше).

Провести полное исследование и построить график функции

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Исключаем единственную точку x=1x=1 из области определения функции и получаем:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:

Так как пределы равны бесконечности, точка x=1x=1 является разрывом второго рода, прямая x=1x=1 - вертикальная асимптота.

3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точки пересечения с осью ординат OyOy, для чего приравниваем x=0x=0:

Таким образом, точка пересечения с осью OyOy имеет координаты (0;8)(0;8).

Найдем точки пересечения с осью абсцисс OxOx, для чего положим y=0y=0:

Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью OxOx нет.

Заметим, что x2+8>0x2+8>0 для любых xx. Поэтому при x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) функция y>0y>0(принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) функция y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.

6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:

Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых y′=0y′=0):

Получили три критические точки: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:

При x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) производная y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

При x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) производная y′>0y′>0, функция возрастает на данных промежутках.

При этом x=−2x=−2 - точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), x=4x=4 - точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).

Найдем значения функции в этих точках:

Таким образом, точка минимума (−2;4)(−2;4), точка максимума (4;−8)(4;−8).

7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:

Приравняем вторую производную к нулю:

Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) выполняется y′′>0y″>0, то есть функция вогнутая, когда x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) выполняется y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .

Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.

Попробуем определить наклонные асимптоты вида y=kx+by=kx+b. Вычисляем значения k,bk,b по известным формулам:


Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота y=−x−1y=−x−1.

9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами x=1x=1(синий), y=−x−1y=−x−1 (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):

Задание 4: Геометрические, Экономические задачи(не имею понятия какие, тут примерная подборка задач с решением и формулами)

Пример 3.23. a

Решение. x и y y
y = a - 2×a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При xa/4 S " > 0, а при x >a/4 S " < 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24.

Решение.
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение. Так как f " (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Обозначим стороны площадки через x и y . Площадь площадки равна S = xy. Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S = x(a - 2x), где
0 ≤ x ≤ a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2×a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При xa/4 S " > 0, а при x >a/4 S " < 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p ≈ 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2pR(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = pR 2 Н Þ Н = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.


Похожая информация.


Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Исследуем функцию \(y= \frac{x^3}{1-x} \) и построим ее график.


1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Область определения $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$


2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 1
исследуем точку x= 1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 1+0} (\frac{x^3}{1-x}) = -\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 1-0}(\frac{x^3}{1-x}) = +\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \(\infty\).


Прямая \(x = 1\) является вертикальной асимптотой.


3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{(-x)^3}{1+x} \) функция не является ни четной ни нечетной.


4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции .
Нули функции (точка пересечения с осью Ox) : приравняем \(y=0\), получим \(\frac{x^3}{1-x} = 0 => x=0 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox с координатами \((0;0)\).


Интервалы знакопостоянства функции.
На рассматриваемых интервалах \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox , поэтому будем рассматривать на трех интервалах области определения.


Определим знак функции на интервалах области определения:
интервал \((-\infty; 0) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-4) = \frac{x^3}{1-x} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((0; 1) \) найдем значение функции в любой точке \(f(0.5) = \frac{x^3}{1-x} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
интервал \((1;+\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(4) = \frac{x^3}{1-x} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox


5. Точки пересечения с осью Oy : приравняем \(x=0 \), получаем \(f(0) = \frac{x^3}{1-x} = 0\). Координаты точки пересечения с осью Oy \((0; 0)\)


6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$ y" = (\frac{x^3}{1-x})" = \frac{3x^2(1-x) +x^3}{ (1-x)^2} = \frac{x^2(3-2x)}{ (1-x)^2} $$ приравняем к 0 $$ \frac{x^2(3-2x)}{ (1-x)^2} = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac{3}{2}$$ Найдем значение функции в этой точке \(f(0) = 0\) и \(f(\frac{3}{2}) = -6.75\). Получили две критические точки с координатами \((0;0)\) и \((1.5;-6.75)\)


Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки (точек возможного экстремума), поэтому монотонность будем рассматривать на четырех интервалах:
интервал \((-\infty; 0) \) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-4) = \frac{x^2(3-2x)}{ (1-x)^2} >
интервал \((0;1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0.5) = \frac{x^2(3-2x)}{ (1-x)^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((1;1.5)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1.2) = \frac{x^2(3-2x)}{ (1-x)^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((1.5; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(4) = \frac{x^2(3-2x)}{ (1-x)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.


Экстремумы функции.


При исследовании функции получили на интервале области определения две критические (стационарные) точки. Определим, являются ли они экстремумами. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критические точки:


точка \(x = 0\) производная меняет знак с \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - точка экстремумом не является.
точка \(x = 1.5\) производная меняет знак с \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - точка является точкой максимума.


7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.


Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y"" = (\frac{x^2(3-2x)}{ (1-x)^2})"= \frac{2x(x^2-3x+3)}{(1-x)^3} $$Приравняем к нулю $$ \frac{2x(x^2-3x+3)}{(1-x)^3}= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Функция имеет одну критическую точку второго рода с координатами \((0;0)\).
Определим выпуклость на интервалах области определения с учетом критической точки второго рода (точки возможного перегиба).


интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f""(-4) = \frac{2x(x^2-3x+3)}{(1-x)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0; 1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f""(0.5) = \frac{2x(x^2-3x+3)}{(1-x)^3} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f""(x) > 0 \) функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((1; \infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f""(4) = \frac{2x(x^2-3x+3)}{(1-x)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).


Точки перегиба.


Рассмотрим изменение знака второй производной при переходе через критическую точку второго рода:
В точке \(x =0\) вторая производная меняет знак с \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), график функции меняет выпуклость, т.е. это точка перегиба с координатами \((0;0)\).


8. Асимптоты.


Вертикальная асимптота . График функции имеет одну вертикальную асимптоту \(x =1\) (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \frac{x^3}{1-x} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to \infty} (\frac{x^3}{x(1-x)}) = \infty => k= \infty $$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$, т.к. \(k = \infty\) - наклонной асимптоты нет.


Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to \infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}(\frac{x^3}{1-x})= -\infty$$$$ \lim_{x \to -\infty}(\frac{x^3}{1-x})= -\infty$$
Горизонтальной асимптоты нет.


9. График функции.