Решение простейших тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрических уравнений любого уровня сложности в конечном итоге сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. И в этом наилучшим помощником снова оказывается тригонометрический круг.

Вспомним определения косинуса и синуса.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

Положительным направлением движения по тригонометрическому кругу считается движение против часовой стрелки. Повороту на 0 градусов (или 0 радиан) соответствует точка с координатами (1;0)

Используем эти определения для решения простейших тригонометрических уравнений.

1. Решим уравнение

Этому уравнению удовлетворяют все такие значения угла поворота , которые соответствуют точкам окружности, ордината которых равна .

Отметим на оси ординат точку с ординатой :

Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие ординату . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан:

Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на радиан, обойдем полный круг, то мы придем в точку, соответствующую углу поворота на радиан и имеющую ту же ординату. То есть этот угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно "холостых" оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению. Число "холостых" оборотов обозначим буквой (или ). Так как мы можем совершать эти обороты как в положительном, так и в отрицательном направлении, (или ) могут принимать любые целые значения.

То есть первая серия решений исходного уравнения имеет вид:

, , - множество целых чисел (1)

Аналогично, вторая серия решений имеет вид:

, где , . (2)

Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, соответствующая углу поворота на .

Эти две серии решений можно объединить в одну запись:

Если мы в этой записи возьмем (то есть четное ), то мы получим первую серию решений.

Если мы в этой записи возьмем (то есть нечетное ), то мы получим вторую серию решений.

2. Теперь давайте решим уравнение

Так как - это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на угол , отметим на оси точку с абсциссой :

Проведем вертикальную линию параллельно оси до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие абсциссу . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан. Вспомним, что при движении по часовой стрелки мы получаем отрицательный угол поворота:

Запишем две серии решений:

,

,

(Мы попадаем в нужную точку, пройдя из основной полный круг, то есть .

Объедим эти две серии в одну запись:

3. Решим уравнение

Линия тангенсов проходит через точку с координатами (1,0) единичной окружности параллельно оси OY

Отметим на ней точку, с ординатой равной 1 (мы ищем, тангенс каких углов равен 1):

Соединим эту точку с началом координат прямой линией и отметим точки пересечения прямой с единичной окружностью. Точки пересечения прямой и окружности соответствуют углам поворота на и :

Так как точки, соответствующие углам поворота, которые удовлетворяют нашему уравнению, лежат на расстоянии радиан друг от друга, то мы можем записать решение таким образом:

4. Решим уравнение

Линия котангенсов проходит через точку с координатами единичной окружности параллельно оси .

Отметим на линии котангенсов точку с абсциссой -1:

Соединим эту точку с началом координат прямой и продолжим ее до пересечения с окружностью. Эта прямая пересечет окружность в точках, соответствующих углам поворота на и радиан:

Поскольку эти точки отстоят друг от друга на расстояние, равное , то общее решение этого уравнения мы можем записать так:

В приведенных примерах, иллюстрирующих решение простейших тригонометрических уравнений были использованы табличные значения тригонометрических функций.

Однако, если в правой части уравнения стоит не табличное значение, то мы в общее решение уравнения подставляем значение :

ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ:

Отметим на окружности точки, ордината которых равна 0:

Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна 1:

Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна -1:

Так как принято указывать значения, наиболее близкие у нулю, решение запишем так:

Отметим на окружности точки, абсцисса которых равна 0:

5.
Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна 1:

Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна -1:

И чуть более сложные примеры:

1.

Синус равен единице, если аргумент равен

Аргумент у нашего синуса равен , поэтому получим:

Разделим обе части равенства на 3:

Ответ:

2.

Косинус равен нулю, если аргумент косинуса равен

Аргумент у нашего косинуса равен , поэтому получим:

Выразим , для этого сначала перенесем вправо с противоположным знаком:

Упростим правую часть:

Разделим обе части на -2:

Заметим, что перед слагаемым знак не меняется, поскольку k может принимать любые целые значения.

Ответ:

И в заключение посмотрите видеоурок "Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью тригонометрической окружности"

На этом разговор о решении простейших тригонометрических уравнений мы закончим. Следующий раз мы с вами поговорим о том, как решать .

Задание .
Найти значение х при .

Решение.
Найти значение аргумента функции , при котором он равен какому-либо значению, означает определить, при каких аргументах значение синуса будет именно таким, как указано в условии.
В данном случае нам нужно выяснить, при каких значениях значение синуса будет равным 1/2. Это можно сделать несколькими способами.
Например, использовать , по которому определить при каких значениях х функция синус будет равна 1/2.
Другим способом является использование . Напомню, что значения синусов лежат на оси Оу.
Самым распространенным способом является обращение к , особенно если речь идет о таких стандартных для этой функции значениях, как 1/2.
Во всех случаях не стоит забывать об одном из важнейших свойств синуса — о его периоде.
Найдем в таблице значение 1/2 для синуса и посмотрим какие аргументы ему соответствуют. Интересующие нас аргументы равны Пи / 6 и 5Пи / 6.
Запишем все корни, которые удовлетворяют заданное уравнение. Для этого записываем интересующий нас неизвестный аргумент х и одно из значений аргумента, полученное из таблицы, то есть Пи / 6. Запишем для него, учитывая период синуса, все значения аргумента:

Возьмем второе значение, и проделаем те же шаги, что и в предыдущем случае:

Полным решением исходного уравнения будет:
и
q может принимать значение любого целого числа.

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: и

Можно схитрить: в частности для угла в градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен градусам, то второй - градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:

Тогда так как, то и. Так как, то и. C градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен градусам, то и другой тоже равен градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в градусов и градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти . Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса градусов. Это неспроста!

В частности:

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

1. Угол лежит в пределах от до градусов
2. Угол больше градусов

Вообще говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим в другой статье. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти - то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше градусов и не больше чем. Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая...

...вот такой:

То есть рассмотрим угол, лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки, которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты и.

Причем первая координата отрицательная, а вторая - положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус - положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника. Кстати, подумай, у каких углов косинус равен? А у каких равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Давай мы с тобой немного потренируемся. Совсем простые задачки:

Выяснить, какой знак имеют следующие величины:

Проверим?

1. градусов - это угол, больший и меньший, а значит лежит в 3 четверти. Нарисуй любой угол в 3 четверти и посмотри, какой у него игрек. Он окажется отрицательным. Тогда.
   градусов - угол 2 четверти. Синус там положительный, а косинус - отрицательный. Плюс делить на минус - будет минус. Значит.
   градусов - угол, больший и меньший. Значит, он лежит в 4 четверти. У любого угла четвертой четверти «икс» будет положительным, значит
2. C радианами работаем аналогично: это угол второй четверти (так как и. Синус второй четверти положительный.
   .
   , это угол четвертой четверти. Там косинус положительный.
   - угол снова четвертой четверти. Там косинус положительный, а синус - отрицательный. Тогда тангенс будет меньше нуля:

Быть может, тебе сложно определять четверти по радианам. В таком случае, ты всегда можешь перейти к градусам. Ответ, разумеется, будет точно таким же.

Теперь я хотел бы очень кратко остановиться вот еще на каком моменте. Давай снова вспомним основное тригонометрическое тождество.

Как я уже говорил, из него мы можем выразить синус через косинус или наоборот:

На выбор знака же будет влиять только та четверть, в которой находится наш угол альфа. На последние две формулы существует масса задач в ЕГЭ, например, вот таких:

Задача

Найдите, если и.

На самом деле, это задача на четверть! Смотри, как она решается:

Решение

Так как, то подставим сюда значение, тогда. Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол. По условию задачи: . Какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса в четвертой четверти? Косинус в четвертой четверти положительный. Тогда и нам остается выбрать знак «плюс» перед. , тогда.

Я не буду сейчас подробно останавливаться на таких задачах, их подробный разбор ты можешь найти в статье « ». Я лишь хотел указать тебе на важность того, какой знак принимает та или иная тригонометрическая функция в зависимости от четверти.

Углы больше градусов

Последнее, что я бы хотел отметить в этой статье - это как быть с углами, большими чем градусов?

Что это такое и с чем это можно есть, чтобы не подавиться? Возьму, я скажем, угол в градусов (радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (градусов или радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол.

Что же нам это даст? А вот что: если, то

Откуда окончательно получим:

Для любого целого. Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом .

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например, найти знак:

Проверяем:

1. В градусов умещается раза по градусов (градусов):
   осталось градусов. Это угол 4 четверти. Там синус отрицательный, значит
2. . градусов. Это угол 3 четверти. Там косинус отрицательный. Тогда
3. . . Так как, то - угол первой четверти. Там косинус положителен. Тогда cos
4. . . Так как, то наш угол лежит во второй четверти, где синус положительный.

Аналогичным образом мы можем поступать для тангенса и котангенса. Однако на самом деле с ними еще проще: они также являются периодическими функциями, только вот период у них в 2 раза меньше:

Итак, ты понял что такое тригонометрическая окружность и для чего она нужна.

Но у нас осталось еще очень много вопросов:

1. А что такое отрицательные углы?
2. Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах
3. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях (неужто надо зубрить таблицу?!)
4. Как с помощью круга упрощать решения тригонометрических уравнений?

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Ну что же, в этой статье мы с тобой продолжим изучение тригонометрической окружности и обсудим следующие моменты:

1. Что такое отрицательные углы?
2. Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах?
3. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях?
4. Что такое ось тангенсов и ось котангенсов?

Никаких дополнительных знаний, кроме как базовых навыков работы с единичной окружностью (предыдущая статья) нам не понадобится. Ну что же, давай приступим к первому вопросу: что такое отрицательные углы?

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности: Мы шли от положительного направления оси против часовой стрелки :

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный. Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси по часовой стрелке .

Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными :

На следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку:

В целом правило можно сформулировать вот так:

• Идем против часовой стрелки - получаем положительные углы
• Идем по часовой стрелке - получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда - отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть.

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном .

Посмотри на следующую картинку:

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

• Синусы у углов и противоположны по знаку! Тогда если
• Косинусы у углов и совпадают! Тогда если
• Так как, то:
• Так как, то:

Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса.

Кстати, вспомни-ка, как называется функция, у которой для любого допустимого выполняется: ?

Такая функция называется нечетной .

А если же для любого допустимого выполняется: ? То в таком случае функция называется четной .

Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс - нечетные функции, а косинус - четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей. Можно ли это сделать? Конечно, можно! У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый - строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти), а второй - запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей. Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется - формулы приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!) :

если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить. Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

1. Синус и косинус имеют период (градусов), то есть

   Тангенс (котангенс) имеют период (градусов)

   Любое целое число

2. Синус и тангенс - функции нечетные, а косинус - четная:

Первое утверждение мы уже доказали с тобой, а справедливость второго установили совсем недавно.

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла - делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:
2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды: (по градусов), а для тангенса - (градусов). Например:
3. Если оставшийся «уголок» меньше градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице».
4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол: это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
5. Представляем угол в одной из следующих форм:

   (если во второй четверти)
   (если во второй четверти)
   (если в третьей четверти)
   (если в третьей четверти)
   
   (если в четвертой четверти)

   так, чтобы оставшийся угол был больше нуля и меньше градусов. Например:

   В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

6. Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через или градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь или и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через или градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс - на тангенс.
7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

Давай продемонстрируем все вышесказанное на примерах:

1. Вычислить
2. Вычислить
3. Най-ди-те зна-че-ние вы-ра-же-ния:

Начнем по порядку:

1. Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для:

   В общем, делаем вывод, что в угол помещается целиком 5 раз по, а сколько осталось? Осталось. Тогда

   Ну вот, лишнее мы отбросили. Теперь разбираемся со знаком. лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу:

   Теперь смотрим, что получилось: у нас случай с градусами, тогда отбрасываем и синус меняем на косинус. И ставим перед ним знак «минус»!

   градусов - угол в первой четверти. Мы знаем (ты мне обещал выучить малую таблицу!!) его значение:

   Тогда получим окончательный ответ:

   Ответ:

2. все то же самое, но вместо градусов - радианы. Ничего страшного. Главное помнить, что

   Но можно и не заменять радианы на градусы. Это вопрос твоего вкуса. Я не буду ничего менять. Начну опять-таки с отбрасывания целых кругов:

   Отбрасываем - это два целых круга. Осталось вычислить. Данный угол находится в третьей четверти. Косинус третьей четверти отрицательный. Не забудем поставить знак «минус» в ответе. можно представить как. Снова вспоминаем правило: у нас случай «целого» числа (или), тогда функция не меняется:

   Тогда.
   Ответ: .

3. . Нужно проделать все то же самое, но уже с двумя функциями. Я буду несколько более краток: и градусов - углы второй четверти. Косинус второй четверти имеет знак «минус», а синус - «плюс». можно представить как: , а как, тогда

   Оба случая - «половинки от целого ». Тогда синус меняется на косинус, а косинус - на синус. Причем перед косинусом стоит знак «минус»:

Ответ: .

Теперь потренируйся самостоятельно на следующих примерах:

А вот и решения:

1. 
   Вначале избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус - функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы:

   Отбрасываем целое количество кругов - то есть три круга ().
   Остается вычислить: .
   Так же поступаем и со вторым углом:

   Удаляем целое число кругов - 3 круга () тогда:

   Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до всего. Тогда какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса четвертой четверти? Положительный. Теперь представим. Так как вычитаем мы из целого количества, то знак косинуса не меняем:

   Подставляем все полученные данные в формулу:

   Ответ: .

2. 
   Стандартно: убираем минус из косинуса, пользуясь тем, что.
   Осталось сосчитать косинус градусов. Уберем целые круги: . Тогда

   Тогда.
   Ответ: .

3. Действуем, как в предыдущем примере.

   Поскольку ты помнишь, что период у тангенса - (или) в отличие от косинуса или синуса, у которых он в 2 раза больше, то удалим целое количество.

   градусов - угол во второй четверти. Тангенс второй четверти отрицательный, тогда не забудем в конце о «минусе»! можно записать как. Тангенс меняется на котангенс. Окончательно получим:

   Тогда.
   Ответ: .

Ну что же, осталось совсем немного!

Ось тангенсов и ось котангенсов

Последнее, на чем бы мне хотелось здесь остановиться - это на двух дополнительных осях. Как мы уже обсуждали, у нас есть две оси:

1. Ось - ось косинусов
2. Ось - ось синусов

На самом деле, координатные оси у нас закончились, не так ли? Но а как же быть с тангенсами и котангенсами?

Неужели, для них нет никакой графической интерпретации?

На самом деле, она есть, ее ты можешь увидеть на вот этой картинке:

В частности, по этим картинкам можно сказать вот что:

1. Тангенс и котангенс имеют одинаковые знаки по четвертям
2. Они положительны в 1 и 3 четверти
3. Они отрицательны во 2 и 4 четверти
4. Тангенс не определен в углах
5. Котангенс не определен в углах

Для чего еще нужны эти картинки? Узнаешь на продвинутом уровне, где я расскажу, как с помощью тригонометрического круга можно упрощать решения тригонометрических уравнений!

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

В этой статье я опишу, как единичная окружность (тригонометрическая окружность) может пригодиться при решении тригонометрических уравнений.

Я могу выделить два случая, когда она может оказаться полезной:

1. В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
2. В ответе получается уж слишком много серий корней

Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме знания темы:

Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили.

Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Написать эту статью меня мотивировал следующий пример:

Решите уравнение:

Ну что же. Решить само уравнение несложно.

Обратная замена:

Отсюда наше исходное уравнение равносильно аж четырем простейшим уравнениям! Неужели нам нужно будет записывать 4 серии корней:

В принципе, на этом можно было бы и остановиться. Но только не читателям данной статьи, претендующей на некую «усложненность»!

Вначале рассмотрим первую серию корней. Итак, берется единичная окружность, теперь давай нанесем эти корни на окружность (отдельно для и для):

Обрати внимание: какой угол получился между углами и? Это угол. Теперь проделаем то же самое и для серии: .

Между корнями уравнения снова получился угол в. А теперь совместим эти две картинки:

Что же мы видим? А то, все углы между нашими корнями равны. А что это значит?

Если мы стартуем от угла и будем брать углы, равные (для любого целого), то мы всегда попадем в одну из четырех точек на верхней окружности! Таким образом, 2 серии корней:

Можно объединить в одну:

Увы, для серий корней:

Данные рассуждения уже не будут справедливы. Сделай чертеж и пойми, почему это так. Однако, их можно объединить следующим образом:

Тогда исходное уравнение имеет корни:

Что является довольно кратким и лаконичным ответом. А о чем говорит краткость и лаконичность? Об уровне твоей математической грамоты.

Это был первый пример, в котором использование тригонометрической окружности дало полезные плоды.

Второй пример - уравнения, которые имеют «некрасивые корни».

Например:

1. Решите уравнение.
2. Найдите его корни, принадлежащие промежутку.

Первая часть не представляет из себя ничего сложного.

Поскольку ты уже знаком с темой , то я позволю себе быть кратким в моих выкладках.

тогда или

Так мы нашли корни нашего уравнения. Ничего сложного.

Сложнее решить вторую часть задания, не зная, чему в точности равен арккосинус от минус одной четверти (это не табличное значение).

Однако мы можем изобразить найденные серии корней на единичной окружности:

Что мы видим? Во-первых, рисунок дал нам понять, в каких пределах лежит арккосинус:

Эта визуальная интерпретация поможет нам найти корни, принадлежащие отрезку: .

Во-первых, в него попадает само число, затем (см. рис).

также принадлежит отрезку.

Таким образом, единичная окружность помогает определить, в какие пределы попадают «некрасивые» углы.

У тебя должен был остаться по крайней мере еще один вопрос: а как нам быть с тангенсами и котангенсами?

На самом деле, для них тоже есть свои оси, правда они имеют немного специфический вид:

В остальном же способ обращения с ними будет такой же, как с синусом и косинусом.

Пример

Дано уравнение.

• Решите данное уравнение.
• Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку.

Решение:

Рисуем единичную окружность и отмечаем на ней наши решения:

Из рисунка можно понять, что:

Или даже более того: так как, то

Тогда найдем корни, принадлежащие отрезку.

, (так как)

Предоставляю тебе самостоятельно убедиться, что других корней, принадлежащих промежутку, наше уравнение не имеет.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Главный инструмент тригонометрии - это тригонометрическая окружность, она позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Есть два способа измерять углы.

1. Через градусы
2. Через радианы

И наоборот: от радиан к градусам:

Чтобы найти синус и косинус угла нужно:

1. Провести единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла.
2. Найти точку пересечения этого угла с окружностью.
3. Её «иксовая» координата - это косинус искомого угла.
4. Её «игрековая» координата - это синус искомого угла.

Формулы приведения

Это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.

Эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу:

Подведение итогов

Ты научился делать универсальную шпору по тригонометрии.

Ты научился решать задачи намного легче и быстрее и, самое главное, без ошибок.

Ты понял, что тебе не надо зубрить никакие таблицы и вообще мало что нужно зубрить!

Теперь я хочу услышать тебя!

Удалось ли тебе разобраться с этой сложной темой?

Что тебе понравилось? Что не понравилось?

Может быть ты нашел ошибку?

Пиши в комментариях!

И удачи на экзамене!

Таблица значений тригонометрических функций

Примечание . В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби - символ "/".

См. также полезные материалы:

Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов - ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой "30 градусов", на их пересечении считываем результат - одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других "популярных" углов.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.

Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.

Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 .

Примеры :
1. Синус пи .
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи - это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.

2. Косинус пи .
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи - это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи - это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 - 360 градусов (часто встречающиеся значения)

значение угла α (градусов)	значение угла α в радианах (через число пи)	sin (синус)	cos (косинус)	tg (тангенс)	ctg (котангенс)	sec (секанс)	cosec (косеканс)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет - клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.

Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градусов
(цифровые значения "как по таблицам Брадиса")

значение угла α (градусов)	значение угла α в радианах	sin (синус)	cos (косинус)	tg (тангенс)	ctg (котангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, \(\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{7π}{4}, 10π, -\frac{29π}{6}\)) разбирается в .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки - положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:

Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» - точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности - каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли