Sudėtingi dariniai. Logaritminė išvestinė.
Laipsninės eksponentinės funkcijos išvestinė

Mes ir toliau tobuliname savo diferenciacijos techniką. Šioje pamokoje konsoliduosime apžvelgtą medžiagą, pažvelgsime į sudėtingesnius išvestinius išvestinius dalykus, taip pat susipažinsime su naujais būdais ir gudrybėmis ieškant išvestinės, ypač su logaritmine dariniu.

Tie skaitytojai, kurie turi žemą pasirengimo lygį, turėtų perskaityti straipsnį Kaip rasti išvestinę priemonę? Sprendimų pavyzdžiai, kuri leis pakelti savo įgūdžius beveik nuo nulio. Tada turite atidžiai išstudijuoti puslapį Sudėtingos funkcijos išvestinė, suprasti ir išspręsti Visi mano pateiktus pavyzdžius. Ši pamoka logiškai yra trečioji, ją įvaldę užtikrintai atskirsite gana sudėtingas funkcijas. Nepageidautina užimti poziciją „Kur dar? Užteks!“, nes visi pavyzdžiai ir sprendimai paimti iš realių testų ir dažnai sutinkami praktikoje.

Pradėkime nuo pasikartojimo. Pamokoje Sudėtingos funkcijos išvestinė Mes peržiūrėjome keletą pavyzdžių su išsamiais komentarais. Studijuojant diferencialinį skaičiavimą ir kitas matematinės analizės šakas, teks labai dažnai diferencijuoti, o ne visada patogu (ir ne visada būtina) labai detaliai aprašyti pavyzdžius. Todėl praktikuosime vedinių radimą žodžiu. Tam tinkamiausi „kandidatai“ yra paprasčiausių sudėtingų funkcijų dariniai, pavyzdžiui:

Pagal sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę :

Ateityje studijuojant kitas matan temas tokio detalaus fiksavimo dažniausiai nereikia, daroma prielaida, kad mokinys moka rasti tokius išvestinius autopilotu. Įsivaizduokime, kad 3 valandą nakties suskambo telefonas ir malonus balsas paklausė: „Kokia yra dviejų X tangento išvestinė? Po to turėtų būti beveik akimirksniu ir mandagus atsakymas: .

Pirmasis pavyzdys iš karto bus skirtas savarankiškam sprendimui.

1 pavyzdys

Raskite šiuos išvestinius žodžiu, vienu veiksmu, pavyzdžiui: . Norėdami atlikti užduotį, jums tereikia naudoti elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė(jei dar neprisimenate). Jei kyla sunkumų, rekomenduoju dar kartą perskaityti pamoką Sudėtingos funkcijos išvestinė.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Atsakymai pamokos pabaigoje

Sudėtingi dariniai

Po išankstinio artilerijos paruošimo pavyzdžiai su 3-4-5 funkcijų lizdais bus mažiau baisūs. Šie du pavyzdžiai kai kam gali pasirodyti sudėtingi, bet jei juos suprasite (kas nors nukentės), tai beveik visa kita diferencialiniame skaičiavime atrodys kaip vaiko pokštas.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Kaip jau buvo pažymėta, ieškant sudėtingos funkcijos išvestinę, pirmiausia reikia Teisingai SUPRASTAS savo investicijas. Tais atvejais, kai kyla abejonių, primenu jums naudingą techniką: paimame, pavyzdžiui, eksperimentinę „x“ reikšmę ir bandome (protiškai arba juodraštyje) šią reikšmę pakeisti „siaubinga išraiška“.

1) Pirmiausia turime apskaičiuoti išraišką, o tai reiškia, kad suma yra giliausias įterpimas.

2) Tada reikia apskaičiuoti logaritmą:

4) Tada supjaustykite kosinusą:

5) Penktame etape skirtumas yra toks:

6) Ir galiausiai, tolimiausia funkcija yra kvadratinė šaknis:

Sudėtingos funkcijos diferencijavimo formulė yra taikomos atvirkštine tvarka, nuo išorinės funkcijos iki vidinės. Mes nusprendžiame:

Atrodo, kad klaidų nėra...

(1) Paimkite kvadratinės šaknies išvestinę.

(2) Naudodami taisyklę imame skirtumo išvestinę

(3) Trigubo išvestinė lygi nuliui. Antruoju nariu imame laipsnio (kubo) išvestinę.

(4) Paimkite kosinuso išvestinę.

(5) Paimkite logaritmo išvestinę.

(6) Galiausiai paimame giliausio įterpimo išvestinį.

Tai gali atrodyti per sunku, bet tai nėra pats žiauriausias pavyzdys. Paimkite, pavyzdžiui, Kuznecovo kolekciją ir įvertinsite visą analizuojamo darinio grožį ir paprastumą. Pastebėjau, kad jie mėgsta duoti panašų dalyką per egzaminą, kad patikrintų, ar studentas supranta, kaip rasti sudėtingos funkcijos išvestinę, ar nesupranta.

Šis pavyzdys skirtas jums patiems išspręsti.

3 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Patarimas: pirmiausia taikome tiesiškumo taisykles ir produktų diferenciacijos taisyklę

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Atėjo laikas pereiti prie kažko mažesnio ir gražesnio.
Neretai pavyzdyje parodoma ne dviejų, o trijų funkcijų sandauga. Kaip rasti trijų veiksnių sandaugos išvestinę?

4 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Pirmiausia pažiūrėkime, ar įmanoma trijų funkcijų sandaugą paversti dviejų funkcijų sandauga? Pavyzdžiui, jei gaminyje būtų du daugianariai, galėtume atidaryti skliaustus. Tačiau nagrinėjamame pavyzdyje visos funkcijos skiriasi: laipsnis, eksponentas ir logaritmas.

Tokiais atvejais būtina nuosekliai taikyti produktų diferencijavimo taisyklę du kartus

Apgaulė ta, kad raide „y“ žymime dviejų funkcijų sandaugą: , o „ve“ žymime logaritmą: . Kodėl tai galima padaryti? ar tai įmanoma – tai ne dviejų veiksnių rezultatas ir taisyklė neveikia?! Nėra nieko sudėtingo:

Dabar belieka taisyklę taikyti antrą kartą skliausteliui:

Taip pat galite susisukti ir ką nors įdėti iš skliaustų, tačiau tokiu atveju geriau palikti atsakymą tiksliai šioje formoje - bus lengviau patikrinti.

Nagrinėjamas pavyzdys gali būti išspręstas antruoju būdu:

Abu sprendimai yra visiškai lygiaverčiai.

5 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys pavyzdyje, jis išspręstas naudojant pirmąjį metodą.

Pažvelkime į panašius pavyzdžius su trupmenomis.

6 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite eiti keliais būdais:

Arba taip:

Tačiau sprendimas bus parašytas kompaktiškiau, jei pirmiausia pasinaudosime koeficiento diferenciacijos taisykle , imant visą skaitiklį:

Iš principo pavyzdys išspręstas, o palikus tokį, koks yra, tai nebus klaida. Bet jei turite laiko, visada patartina patikrinti juodraštį, ar galima supaprastinti atsakymą? Skaitiklio išraišką sumažinkime iki bendro vardiklio ir atsikratykime triaukštės trupmenos:

Papildomų supaprastinimų trūkumas yra tas, kad kyla pavojus suklysti ne ieškant išvestinio, o atliekant banalias mokyklos transformacijas. Kita vertus, mokytojai dažnai atmeta užduotį ir prašo „prisiminti“ išvestinį.

Paprastesnis pavyzdys, kurį galite išspręsti patys:

7 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Mes ir toliau įvaldome išvestinės radimo metodus, o dabar apsvarstysime tipišką atvejį, kai diferencijavimui siūlomas „siaubingas“ logaritmas

8 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite nueiti ilgą kelią, naudodami sudėtingos funkcijos atskyrimo taisyklę:

Tačiau pats pirmas žingsnis iš karto nugrimzta į neviltį – jūs turite paimti nemalonų darinį iš trupmeninės laipsnio, o tada ir iš trupmenos.

Štai kodėl prieš kaip paimti „sudėtingo“ logaritmo išvestinę, pirmiausia ji supaprastinama naudojant gerai žinomas mokyklos savybes:

! Jei po ranka turite praktikos sąsiuvinį, nukopijuokite šias formules tiesiai ten. Jei neturite sąsiuvinio, nukopijuokite juos ant popieriaus lapo, nes likę pamokos pavyzdžiai bus susiję su šiomis formulėmis.

Pats sprendimas gali būti parašytas maždaug taip:

Pakeiskime funkciją:

Išvestinio radimas:

Išankstinis pačios funkcijos konvertavimas labai supaprastino sprendimą. Taigi, pasiūlius diferencijuoti panašų logaritmą, visada patartina jį „išskaidyti“.

O dabar keli paprasti pavyzdžiai, kuriuos galite išspręsti patys:

9 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

10 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Visos transformacijos ir atsakymai yra pamokos pabaigoje.

Logaritminė išvestinė

Jeigu logaritmų darinys yra tokia miela muzika, tada kyla klausimas: ar galima kai kuriais atvejais logaritmą organizuoti dirbtinai? Gali! Ir netgi būtina.

11 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Neseniai pažvelgėme į panašius pavyzdžius. Ką daryti? Galite nuosekliai taikyti koeficiento diferencijavimo taisyklę, o tada sandaugos diferencijavimo taisyklę. Šio metodo trūkumas yra tas, kad jūs gaunate didžiulę trijų aukštų dalį, su kuria jūs visiškai nenorite kovoti.

Tačiau teorijoje ir praktikoje yra toks nuostabus dalykas kaip logaritminė išvestinė. Logaritmus galima organizuoti dirbtinai, „pakabinant“ juos iš abiejų pusių:

Pastaba : nes funkcija gali turėti neigiamas reikšmes, tada paprastai reikia naudoti modulius: , kuris išnyks dėl diferenciacijos. Tačiau dabartinis dizainas taip pat yra priimtinas, kai pagal numatytuosius nustatymus į jį atsižvelgiama kompleksas reikšmės. Bet jei visapusiškai griežtai, tai abiem atvejais reikėtų daryti išlygą.

Dabar reikia kuo labiau „išskaidyti“ dešinės pusės logaritmą (formulės prieš akis?). Šį procesą aprašysiu labai išsamiai:

Pradėkime nuo diferenciacijos.
Abi dalis užbaigiame pagal pagrindinį lygį:

Dešinės pusės vedinys yra gana paprastas, jo nekomentuosiu, nes jei skaitote šį tekstą, turėtumėte su juo elgtis užtikrintai.

O kairėje pusėje?

Kairėje pusėje turime sudėtinga funkcija. Numatau klausimą: „Kodėl po logaritmu yra viena raidė „Y“?

Faktas yra tas, kad šis „vienos raidės žaidimas“ - PATS YRA FUNKCIJA(jei nelabai aišku, žr. straipsnį Netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė). Todėl logaritmas yra išorinė funkcija, o „y“ yra vidinė funkcija. Ir mes naudojame taisyklę, kad atskirtume sudėtingą funkciją :

Kairėje pusėje tarsi burtų keliu turime darinį. Toliau pagal proporcingumo taisyklę „y“ perkeliame iš kairės pusės vardiklio į dešinės pusės viršų:

O dabar prisiminkime, apie kokią „žaidėjo“ funkciją kalbėjome diferenciacijos metu? Pažiūrėkime į sąlygą:

Galutinis atsakymas:

12 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Šio tipo pavyzdžio dizaino pavyzdys yra pamokos pabaigoje.

Naudojant logaritminę išvestinę buvo galima išspręsti bet kurį iš pavyzdžių Nr. 4-7, kitas dalykas, kad funkcijos ten paprastesnės ir, ko gero, logaritminės išvestinės naudojimas nėra labai pagrįstas.

Laipsninės eksponentinės funkcijos išvestinė

Šios funkcijos dar nesvarstėme. Galios eksponentinė funkcija yra funkcija, kuriai ir laipsnis, ir bazė priklauso nuo „x“. Klasikinis pavyzdys, kuris bus pateiktas bet kuriame vadovėlyje ar paskaitoje:

Kaip rasti galios eksponentinės funkcijos išvestinę?

Būtina naudoti ką tik aptartą techniką – logaritminę išvestinę. Mes pakabiname logaritmus iš abiejų pusių:

Paprastai dešinėje pusėje laipsnis išimamas iš logaritmo:

Dėl to dešinėje pusėje turime dviejų funkcijų sandaugą, kurios bus diferencijuojamos pagal standartinę formulę .

Norėdami tai padaryti, randame abi dalis po brūkšniais:

Kiti veiksmai yra paprasti:

Pagaliau:

Jei kuris nors pakeitimas nėra visiškai aiškus, dar kartą atidžiai perskaitykite 11 pavyzdžio paaiškinimus.

Praktinėse užduotyse galios-eksponentinė funkcija visada bus sudėtingesnė nei aptariamas paskaitos pavyzdys.

13 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Mes naudojame logaritminę išvestinę.

Dešinėje pusėje yra konstanta ir dviejų veiksnių sandauga - „x“ ir „logaritmo x logaritmas“ (po logaritmu įdėtas kitas logaritmas). Diferencijuojant, kaip prisimename, konstantą geriau iš karto išvesti iš išvestinio ženklo, kad ji netrukdytų; ir, žinoma, taikome pažįstamą taisyklę :

Natūralaus logaritmo išvestinės ir logaritmo iki a pagrindo formulių įrodymas ir išvedimas. Ln 2x, ln 3x ir ln nx išvestinių skaičiavimo pavyzdžiai. N-osios eilės logaritmo išvestinės formulės įrodymas matematinės indukcijos metodu.

Turinys

Taip pat žiūrėkite: Logaritmas – savybės, formulės, grafikas
Natūralusis logaritmas – savybės, formulės, grafikas

Natūralaus logaritmo ir logaritmo iki a pagrindo išvestinių formulių išvedimas

Natūralaus x logaritmo išvestinė yra lygi vienetui, padalytam iš x:
(1) (ln x)′ =.

Logaritmo išvestinė į bazę a yra lygi vienetui, padalytam iš kintamojo x, padauginta iš natūraliojo a logaritmo:
(2) (log a x)′ =.

Įrodymas

Tegul yra teigiamas skaičius, nelygus vienetui. Apsvarstykite funkciją, priklausančią nuo kintamojo x, kuris yra logaritmas su baze:
.
Ši funkcija apibrėžta adresu . Raskime jo išvestinę kintamojo x atžvilgiu. Pagal apibrėžimą išvestinė yra tokia riba:
(3) .

Transformuokime šią išraišką, kad sumažintume ją iki žinomų matematinių savybių ir taisyklių. Norėdami tai padaryti, turime žinoti šiuos faktus:
A) Logaritmo savybės. Mums reikės šių formulių:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Tolydžios funkcijos logaritmo tęstinumas ir ribų savybė:
(7) .
Čia yra funkcija, kuri turi ribą ir ši riba yra teigiama.
IN) Antrosios nepaprastos ribos reikšmė:
(8) .

Taikykime šiuos faktus iki savo ribų. Pirmiausia transformuojame algebrinę išraišką
.
Norėdami tai padaryti, taikome savybes (4) ir (5).

.

Naudokime savybę (7) ir antrąją reikšmingą ribą (8):
.

Ir galiausiai taikome nuosavybę (6):
.
Logaritmas iki pagrindo e paskambino natūralusis logaritmas. Jis žymimas taip:
.
Tada;
.

Taip gavome logaritmo išvestinės formulę (2).

Natūralaus logaritmo išvestinė

Dar kartą išrašome logaritmo išvestinės formulę a pagrindu:
.
Ši formulė turi paprasčiausią natūraliojo logaritmo formą, kuriai , . Tada
(1) .

Dėl šio paprastumo natūralusis logaritmas labai plačiai naudojamas matematinėje analizėje ir kitose su diferencialiniu skaičiavimu susijusiose matematikos šakose. Logaritminės funkcijos su kitais pagrindais gali būti išreikštos natūraliu logaritmu, naudojant savybę (6):
.

Logaritmo išvestinę bazės atžvilgiu galima rasti iš (1) formulės, jei iš diferenciacijos ženklo išimsite konstantą:
.

Kiti logaritmo išvestinės įrodymo būdai

Čia darome prielaidą, kad žinome eksponentinės išvestinės formulę:
(9) .
Tada galime išvesti natūraliojo logaritmo išvestinės formulę, atsižvelgiant į tai, kad logaritmas yra atvirkštinė eksponentinės funkcija.

Įrodykime natūraliojo logaritmo išvestinės formulę, taikant atvirkštinės funkcijos išvestinės formulę:
.
Mūsų atveju.
.
Natūraliojo logaritmo atvirkštinė funkcija yra eksponentinė:
.
Jo išvestinė nustatoma pagal (9) formulę. Kintamieji gali būti pažymėti bet kokia raide. (9) formulėje kintamąjį x pakeiskite y:
.
Nuo tada
.
Tada

Formulė įrodyta. Dabar įrodome natūraliojo logaritmo išvestinės formulę naudodami sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklės
.
. Kadangi funkcijos ir yra atvirkštinės viena kitai, tada
(10) .
Išskirkime šią lygtį kintamojo x atžvilgiu:
.
x išvestinė lygi vienetui:
.
Taikome sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę:
.
čia .
.

Pakeiskime (10):

Iš čia Pavyzdys Rasti išvestinius iš 2x, 3x.

Ir lnnx Originalios funkcijos turi panašią formą. Todėl rasime funkcijos išvestinę y = log nx. Tada pakeičiame n = 2 ir n = 3. Ir taip gauname išvestinių formules Rasti išvestinius iš .

ln 2x
lnnx .
Ir
1) Taigi, mes ieškome funkcijos išvestinės
2) Įsivaizduokime šią funkciją kaip sudėtingą funkciją, susidedančią iš dviejų funkcijų:
Funkcijos, priklausančios nuo kintamojo: ;
.

Raskime funkcijos išvestinę kintamojo x atžvilgiu:
.
Raskime funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu:
.
Taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę.
.
Čia mes jį nustatome.

Taigi mes radome:
(11) .
Matome, kad išvestinė nepriklauso nuo n. Šis rezultatas yra gana natūralus, jei pakeisime pradinę funkciją, naudodami sandaugos logaritmo formulę:
.
- tai konstanta. Jo išvestinė yra nulis. Tada pagal sumos diferenciacijos taisyklę turime:
.

; ; .

Modulio x logaritmo išvestinė

Raskime kitos labai svarbios funkcijos išvestinę – modulio x natūralųjį logaritmą:
(12) .

Panagrinėkime atvejį. Tada funkcija atrodo taip:
.
Jo darinys nustatomas pagal (1) formulę:
.

Dabar panagrinėkime atvejį. Tada funkcija atrodo taip:
,
Kur.
Tačiau aukščiau esančiame pavyzdyje taip pat radome šios funkcijos išvestinę. Jis nepriklauso nuo n ir yra lygus
.
Nuo tada
.

Šiuos du atvejus sujungiame į vieną formulę:
.

Atitinkamai, kad logaritmas būtų pagrįstas a, turime:
.

Natūralaus logaritmo aukštesnių laipsnių išvestiniai

Apsvarstykite funkciją
.
Mes radome jo pirmosios eilės išvestinį:
(13) .

Raskime antros eilės išvestinę:
.
Raskime trečios eilės išvestinę:
.
Raskime ketvirtos eilės išvestinę:
.

Galite pastebėti, kad n-osios eilės išvestinė turi tokią formą:
(14) .
Įrodykime tai matematine indukcija.

Įrodymas

Pakeiskime reikšmę n = 1 į formulę (14):
.
Nuo tada, kai n = 1 , galioja (14) formulė.

Tarkime, kad formulė (14) tenkinama, kai n = k. Įrodykime, kad tai reiškia, kad formulė galioja n = k + 1 .

Iš tiesų, n = k turime:
.
Atskirkite pagal kintamąjį x:

.
Taigi mes gavome:
.
Ši formulė sutampa su (14) formule, kai n = k + 1 . Taigi iš prielaidos, kad formulė (14) galioja n = k, išplaukia, kad formulė (14) galioja n = k + 1 .

Todėl n-osios eilės išvestinei formulė (14) galioja bet kuriam n.

Aukštesniųjų logaritmo eilių išvestiniai į bazę a

Norėdami rasti logaritmo n-osios eilės išvestinį pagrindą a, turite jį išreikšti natūraliu logaritmu:
.
Taikydami formulę (14), randame n-ąją išvestinę:
.

Taip pat žiūrėkite:

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.

Išsprendus paprasčiausių (ir nelabai paprastų) funkcijų išvestinių radimo uždavinius, apibrėžiant išvestinę kaip prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribą, atsirado išvestinių lentelė ir tiksliai apibrėžtos diferenciacijos taisyklės. . Pirmieji darinių paieškos srityje pradėjo dirbti Izaokas Niutonas (1643-1727) ir Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (1646-1716).

Todėl mūsų laikais, norint rasti bet kurios funkcijos išvestinę, nereikia skaičiuoti minėtos funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribos, o tik pasinaudoti lentele dariniai ir diferenciacijos taisyklės. Išvestinei rasti tinka toks algoritmas.

Norėdami rasti išvestinę, jums reikia išraiškos po pirminiu ženklu suskaidyti paprastas funkcijas į komponentus ir nustatyti kokius veiksmus (produktas, suma, koeficientas)šios funkcijos yra susijusios. Toliau elementariųjų funkcijų išvestinius randame išvestinių lentelėje, o sandaugos, sumos ir dalinio išvestinių formules - diferenciacijos taisyklėse. Išvestinių lentelė ir diferenciacijos taisyklės pateikiamos po pirmųjų dviejų pavyzdžių.

1 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Iš diferenciacijos taisyklių sužinome, kad funkcijų sumos išvestinė yra funkcijų išvestinių suma, t.y.

Iš išvestinių lentelės sužinome, kad „x“ išvestinė lygi vienetui, o sinuso – kosinusui. Šias reikšmes pakeičiame išvestinių suma ir randame išvestinę, kurios reikia pagal problemos sąlygą:

2 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Diferencijuojame kaip sumos, kurioje antrasis narys turi pastovų koeficientą, išvestinę, ją galima paimti iš išvestinės ženklo:

Jei vis dar kyla klausimų, iš kur kažkas atsiranda, jie dažniausiai išsiaiškinami susipažinus su išvestinių išvestinių lentele ir paprasčiausiomis diferenciacijos taisyklėmis. Šiuo metu pereiname prie jų.

Paprastų funkcijų išvestinių lentelė

1. Konstantos (skaičiaus) išvestinė. Bet koks skaičius (1, 2, 5, 200...), kuris yra funkcijos išraiškoje. Visada lygus nuliui. Tai labai svarbu atsiminti, nes to reikalaujama labai dažnai
2. Nepriklausomo kintamojo išvestinė. Dažniausiai „X“. Visada lygus vienam. Tai taip pat svarbu atsiminti ilgą laiką
3. Laipsnio išvestinė. Sprendžiant uždavinius, reikia konvertuoti ne kvadratines šaknis į galias.
4. Kintamojo išvestinė į laipsnį -1
5. Kvadratinės šaknies vedinys
6. Sinuso išvestinė
7. Kosinuso išvestinė
8. Tangento išvestinė
9. Kotangento išvestinė
10. Arsinuso vedinys
11. Lanko kosinuso išvestinė
12. Arktangento vedinys
13. Lanko kotangento išvestinė
14. Natūralaus logaritmo išvestinė
15. Logaritminės funkcijos išvestinė
16. Rodiklio išvestinė
17. Eksponentinės funkcijos išvestinė

Diferencijavimo taisyklės

1. Sumos arba skirtumo išvestinė
2. Produkto darinys
2a. Išraiškos, padaugintos iš pastovaus koeficiento, išvestinė
3. Dalinio išvestinė
4. Sudėtinės funkcijos išvestinė

1 taisyklė.Jei funkcijos

yra diferencijuojamos tam tikru momentu, tada funkcijos skiriasi tame pačiame taške

ir

tie. algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai.

Pasekmė. Jei dvi diferencijuojamos funkcijos skiriasi pastoviu nariu, tai jų išvestinės yra lygios, t.y.

2 taisyklė.Jei funkcijos

yra diferencijuojami tam tikru momentu, tada jų produktas skiriasi tame pačiame taške

ir

tie. Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų ir kitos išvestinei sumai.

1 išvada. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo:

2 išvada. Kelių diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvieno veiksnio ir visų kitų išvestinės sandaugų sumai.

Pavyzdžiui, trims daugintuvams:

3 taisyklė.Jei funkcijos

tam tikru momentu skiriasi Ir , tada šioje vietoje jų koeficientas taip pat yra diferencijuotasu/v , ir

tie. dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio sandaugų ir skaitiklio išvestinės bei skaitiklio ir vardiklio išvestinės sandaugų skirtumas, o vardiklis yra kvadratas buvęs skaitiklis.

Kur ieškoti dalykų kituose puslapiuose

Realiose problemose ieškant sandaugos išvestinės ir koeficiento, visada reikia taikyti kelias diferenciacijos taisykles vienu metu, todėl straipsnyje yra daugiau šių išvestinių pavyzdžių."Produkto išvestinė ir funkcijų dalis".

komentuoti. Neturėtumėte painioti konstantos (ty skaičiaus) kaip sumos termino ir kaip pastovaus koeficiento! Termino atveju jo išvestinė lygi nuliui, o esant pastoviam veiksniui – išimama iš išvestinių ženklo. Tai tipiška klaida, pasitaikanti pradiniame išvestinių studijų etape, tačiau vidutinis studentas išsprendžia kelis vienos ir dviejų dalių pavyzdžius, šios klaidos nebedaro.

Ir jei diferencijuodami produktą ar koeficientą turite terminą u"v, kuriame u- skaičius, pavyzdžiui, 2 arba 5, tai yra konstanta, tada šio skaičiaus išvestinė bus lygi nuliui, todėl visas terminas bus lygus nuliui (šis atvejis aptartas 10 pavyzdyje).

Kita dažnai pasitaikanti klaida yra mechaniškai sudėtingos funkcijos išvestinė sprendžiama kaip paprastos funkcijos išvestinė. Štai kodėl sudėtingos funkcijos išvestinė skirtas atskiras straipsnis. Bet pirmiausia išmoksime rasti paprastų funkcijų išvestinius.

Pakeliui neapsieisite be posakių transformavimo. Norėdami tai padaryti, gali tekti atidaryti vadovą naujuose languose. Veiksmai su galiomis ir šaknimis 2x, Operacijos su trupmenomis .

Jei ieškote sprendimų dėl trupmenų išvestinių su laipsniais ir šaknimis, tai yra, kai funkcija atrodo taip , tada sekite pamoką „Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis išvestinė“.

Jei turite tokią užduotį kaip , tada lankysi pamoką „Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai“.

Žingsnis po žingsnio pavyzdžiai – kaip rasti išvestinę

3 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Apibrėžiame funkcijos išraiškos dalis: visa išraiška reprezentuoja sandaugą, o jos veiksniai yra sumos, kurių antrajame viename iš terminų yra pastovus veiksnys. Taikome sandaugų diferenciacijos taisyklę: dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų sumai iš kitos išvestinės:

Toliau taikome sumos diferenciacijos taisyklę: algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai. Mūsų atveju kiekvienoje sumoje antrasis narys turi minuso ženklą. Kiekvienoje sumoje matome ir nepriklausomą kintamąjį, kurio išvestinė lygi vienetui, ir konstantą (skaičius), kurios išvestinė lygi nuliui. Taigi, „X“ virsta vienu, o minus 5 virsta nuliu. Antroje išraiškoje „x“ padauginama iš 2, todėl du padauginame iš to paties vieneto kaip ir „x“ išvestinė. Gauname šias išvestines reikšmes:

Rastas išvestis pakeičiame sandaugų suma ir gauname visos funkcijos išvestinę, kurios reikalauja uždavinio sąlyga:

Ir jūs galite patikrinti išvestinės problemos sprendimą.

4 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Turime rasti koeficiento išvestinę. Taikome dalinio diferencijavimo formulę: dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra skirtumas tarp vardiklio sandaugų ir skaitiklio ir skaitiklio išvestinės bei išvestinės vardiklis, o vardiklis yra buvusio skaitiklio kvadratas. Mes gauname:

Veiksnių išvestinę skaitiklyje jau radome 2 pavyzdyje. Taip pat nepamirškime, kad sandauga, kuri dabartiniame pavyzdyje yra antrasis skaitiklio veiksnys, imamas su minuso ženklu:

Jei ieškote sprendimų problemoms, kuriose reikia rasti funkcijos išvestinę, kurioje yra nuolatinė šaknų ir galių krūva, pvz., , tada sveiki atvykę į klasę "Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis išvestinė" .

Jei reikia daugiau sužinoti apie sinusų, kosinusų, liestinių ir kitų trigonometrinių funkcijų išvestis, tai yra, kai funkcija atrodo kaip , tada pamoka jums "Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai" .

5 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome sandaugą, kurios vienas iš faktorių yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis, su kurio išvestine mes susipažinome išvestinių lentelėje. Naudodami sandaugos diferencijavimo taisyklę ir kvadratinės šaknies išvestinės lentelės reikšmę, gauname:

Išvestinės problemos sprendimą galite patikrinti adresu internetinė išvestinių finansinių priemonių skaičiuoklė .

6 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome koeficientą, kurio dividendas yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis. Naudodami koeficientų diferenciacijos taisyklę, kurią pakartojome ir taikėme 4 pavyzdyje, ir kvadratinės šaknies išvestinės reikšmę lentelėje, gauname:

Norėdami atsikratyti trupmenos skaitiklyje, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš .

Labai lengva prisiminti.

Na, toli nenueikime, iš karto apsvarstykime atvirkštinę funkciją. Kuri funkcija yra atvirkštinė eksponentinei funkcijai? Logaritmas:

Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:

Toks logaritmas (ty logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, o mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj jo rašome.

Kam jis lygus? Žinoma, .

Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijos išvestinę.
2. Kas yra funkcijos išvestinė?

Atsakymai: Eksponentinis ir natūralusis logaritmas yra unikaliai paprastos funkcijos iš išvestinės perspektyvos. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią išanalizuosime vėliau, susipažinę su diferenciacijos taisyklėmis.

Diferencijavimo taisyklės

Taisyklės ko? Vėl naujas terminas, vėl?!...

Diferencijavimas yra išvestinės paieškos procesas.

Tai viskas. Kaip dar vienu žodžiu galima pavadinti šį procesą? Ne išvestinė... Matematikai diferencialą vadina tuo pačiu funkcijos prieaugiu ties. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. Čia.

Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikės formulių jų padidėjimui:

Iš viso yra 5 taisyklės.

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo.

Jei - koks nors pastovus skaičius (konstanta), tada.

Akivaizdu, kad ši taisyklė galioja ir skirtumui: .

Įrodykime tai. Tebūnie, arba paprasčiau.

Pavyzdžiai.

Raskite funkcijų išvestinius:

1. taške;
2. taške;
3. taške;
4. taške.

Sprendimai:

1. (išvestinė visuose taškuose yra vienoda, nes tai tiesinė funkcija, pamenate?);

Produkto darinys

Čia viskas panašiai: pristatykime naują funkciją ir raskime jos prieaugį:

Išvestinė:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijų ir išvestines;
2. Raskite funkcijos išvestinę taške.

Sprendimai:

Eksponentinės funkcijos išvestinė

Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kokios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentus (ar jau pamiršote, kas tai yra?).

Taigi, kur yra koks nors skaičius.

Jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime savo funkciją sumažinti iki naujos bazės:

Norėdami tai padaryti, naudosime paprastą taisyklę: . Tada:

Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.

Įvyko?

Čia patikrinkite save:

Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: tokia, kokia buvo, išlieka ta pati, atsirado tik veiksnys, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.

Pavyzdžiai:
Raskite funkcijų išvestinius:

Atsakymai:

Tai tik skaičius, kurio negalima apskaičiuoti be skaičiuoklės, tai yra, jo negalima užrašyti paprastesne forma. Todėl atsakyme paliekame jį tokia forma.

Atkreipkite dėmesį, kad čia yra dviejų funkcijų koeficientas, todėl taikome atitinkamą diferenciacijos taisyklę:

Šiame pavyzdyje dviejų funkcijų sandauga:

Logaritminės funkcijos išvestinė

Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:

Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:

Turime sumažinti šį logaritmą iki pagrindo. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:

Tik dabar vietoj to rašysime:

Vardiklis yra tiesiog konstanta (pastovus skaičius, be kintamojo). Išvestinė gaunama labai paprastai:

Vieningame valstybiniame egzamine eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių beveik niekada nerandama, tačiau jas žinoti nebus nereikalinga.

Sudėtingos funkcijos išvestinė.

Kas yra „sudėtinga funkcija“? Ne, tai ne logaritmas ir ne arctangentas. Šias funkcijas gali būti sunku suprasti (nors jei logaritmas jums sunkus, perskaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas bus gerai), tačiau matematiniu požiūriu žodis „sudėtingas“ nereiškia „sunkus“.

Įsivaizduokite nedidelį konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka veiksmus su kokiais nors daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis šokoladinį plytelę įvynioja į vyniotinį, o antrasis perriša juostele. Rezultatas – sudėtinis objektas: šokolado plytelė, apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokolado plytelę, turite atlikti atvirkštinius veiksmus atvirkštine tvarka.

Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelkime kvadratu. Taigi, mums suteikiamas skaičius (šokoladas), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada tu kvadratuoji tai, ką gavau (susiriši kaspinu). Kas nutiko? Funkcija. Tai yra sudėtingos funkcijos pavyzdys: kai norėdami rasti jos reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o po to antrą veiksmą su tuo, kas atsirado dėl pirmojo.

Kitaip tariant, sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .

Mūsų pavyzdžiu,.

Tuos pačius veiksmus galime nesunkiai atlikti atvirkštine tvarka: iš pradžių pakelkite kvadratą, o tada ieškau gauto skaičiaus kosinuso: . Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi kompleksinių funkcijų ypatybė: pasikeitus veiksmų tvarkai, keičiasi ir funkcija.

Antras pavyzdys: (tas pats). .

Veiksmas, kurį atliekame paskutiniai, bus vadinamas „išorinė“ funkcija, o pirmiausia atliktas veiksmas – atitinkamai „vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).

Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:

Atsakymai: Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje

1. Kokį veiksmą atliksime pirmiausia? Pirmiausia apskaičiuokime sinusą, o tik tada supjaustykime. Tai reiškia, kad tai vidinė, bet išorinė funkcija.
   O pradinė funkcija yra jų sudėtis: .
2. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
3. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
4. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.
5. Vidinis: ; išorinis: .
   Egzaminas:.

Keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.

Na, o dabar išgausime šokolado plytelę ir ieškosime darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Kalbant apie pradinį pavyzdį, jis atrodo taip:

Kitas pavyzdys:

Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Atrodo paprasta, tiesa?

Patikrinkime su pavyzdžiais:

Sprendimai:

1) Vidinis: ;

Išorinis: ;

2) Vidinis: ;

(Tik nemėginkite jo nukirpti! Niekas neišnyra iš po kosinuso, pamenate?)

3) Vidinis: ;

Išorinis: ;

Iš karto aišku, kad tai trijų lygių kompleksinė funkcija: juk tai jau pati savaime yra kompleksinė funkcija, iš jos ištraukiame ir šaknį, tai yra, atliekame trečią veiksmą (šokoladą dedame į vyniotinį). ir su kaspinu portfelyje). Tačiau baimintis nėra pagrindo: šią funkciją vis tiek „išpakuosime“ ta pačia tvarka, kaip įprasta: nuo pabaigos.

Tai yra, pirmiausia skiriame šaknį, tada kosinusą ir tik tada išraišką skliausteliuose. Ir tada viską padauginame.

Tokiais atvejais patogu veiksmus sunumeruoti. Tai yra, įsivaizduokime, ką žinome. Kokia tvarka atliksime veiksmus, kad apskaičiuotume šios išraiškos reikšmę? Pažiūrėkime į pavyzdį:

Kuo vėliau veiksmas bus atliktas, tuo „išoriškesnė“ bus atitinkama funkcija. Veiksmų seka yra tokia pati kaip ir anksčiau:

Čia lizdas paprastai yra 4 lygių. Nustatykime veiksmų tvarką.

1. Radikali išraiška. .

2. Šaknis. .

3. Sinusas. .

4. Kvadratas. .

5. Viską sudėti:

IŠVEDINIMAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui:

Pagrindiniai dariniai:

Atskyrimo taisyklės:

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo:

Sumos išvestinė:

Produkto darinys:

Dalinio išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

1. Mes apibrėžiame „vidinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
2. Mes apibrėžiame „išorinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
3. Pirmojo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.

Jaučiate, kad iki egzamino dar liko daug laiko? Ar tai mėnuo? Du? Metai? Praktika rodo, kad studentas geriausiai susitvarko su egzaminu, jei pradeda jam ruoštis iš anksto. Vieningame valstybiniame egzamine yra daug sunkių užduočių, kurios trukdo moksleiviams ir būsimiems pretendentams į aukščiausius balus. Turite išmokti įveikti šias kliūtis, be to, tai padaryti nėra sunku. Iš bilietų reikia suprasti darbo su įvairiomis užduotimis principą. Tada su naujais problemų nekils.

Logaritmai iš pirmo žvilgsnio atrodo neįtikėtinai sudėtingi, tačiau atlikus išsamią analizę situacija tampa daug paprastesnė. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą aukščiausiu balu, turėtumėte suprasti nagrinėjamą sąvoką – tai ir siūlome padaryti šiame straipsnyje.

Pirma, atskirkime šiuos apibrėžimus. Kas yra logaritmas (logas)? Tai yra galios, iki kurios reikia pakelti pagrindą, norint gauti nurodytą skaičių, rodiklis. Jei neaišku, pažvelkime į elementarų pavyzdį.

Tokiu atveju apačioje esantis pagrindas turi būti pakeltas į antrą laipsnį, kad gautumėte skaičių 4.

Dabar pažvelkime į antrąją koncepciją. Funkcijos išvestinė bet kokia forma yra sąvoka, apibūdinanti funkcijos pasikeitimą tam tikrame taške. Tačiau tai yra mokyklinė programa, ir jei kyla problemų dėl šių sąvokų atskirai, verta temą pakartoti.

Logaritmo išvestinė

Vieningo valstybinio egzamino užduotyse šia tema galite pateikti keletą užduočių kaip pavyzdį. Pirmiausia – paprasčiausia logaritminė išvestinė. Būtina rasti šios funkcijos išvestinę.

Turime rasti kitą išvestinę

Yra speciali formulė.

Šiuo atveju x=u, log3x=v. Mes pakeičiame reikšmes iš savo funkcijos į formulę.

x išvestinė bus lygi vienetui. Logaritmas yra šiek tiek sunkesnis. Bet jūs suprasite principą, jei tiesiog pakeisite vertybes. Prisiminkite, kad lg x išvestinė yra dešimtainio logaritmo išvestinė, o ln x išvestinė yra natūraliojo logaritmo išvestinė (remiantis e).

Dabar tiesiog prijunkite gautas reikšmes į formulę. Išbandykite patys, tada patikrinsime atsakymą.

Kokia čia gali būti problema kai kuriems? Pristatėme natūralaus logaritmo sąvoką. Pakalbėkime apie tai ir kartu išsiaiškinkime, kaip išspręsti su juo susijusias problemas. Jūs nepamatysite nieko sudėtingo, ypač kai suprasite jo veikimo principą. Reikėtų priprasti, nes jis dažnai naudojamas matematikoje (dar labiau aukštosiose mokyklose).

Natūralaus logaritmo išvestinė

Iš esmės tai yra logaritmo išvestinė iš bazės e (tai yra neracionalus skaičius, kuris yra maždaug 2,7). Tiesą sakant, ln yra labai paprastas, todėl jis dažnai naudojamas matematikoje apskritai. Tiesą sakant, problemos sprendimas taip pat nebus problema. Verta prisiminti, kad natūraliojo logaritmo išvestinė į bazę e bus lygi vienetui, padalytam iš x. Šio pavyzdžio sprendimas bus labiausiai atskleidžiantis.

Įsivaizduokime tai kaip sudėtingą funkciją, susidedančią iš dviejų paprastų.

Pakanka konvertuoti

Ieškome u išvestinės x atžvilgiu

Tęskime antrąjį

Naudojame kompleksinės funkcijos išvestinės sprendimo būdą, pakeičiant u=nx.

Kas nutiko pabaigoje?

Dabar prisiminkime, ką n reiškė šiame pavyzdyje? Tai bet koks skaičius, kuris natūraliajame logaritme gali būti prieš x. Jums svarbu suprasti, kad atsakymas nepriklauso nuo jos. Pakeiskite ką norite, atsakymas vis tiek bus 1/x.

Kaip matote, čia nėra nieko sudėtingo, kad galėtumėte greitai ir efektyviai išspręsti problemas šia tema. Dabar jūs žinote teoriją, tereikia ją pritaikyti praktiškai. Praktikuokite problemų sprendimą, kad ilgą laiką prisimintumėte jų sprendimo principą. Šių žinių baigus mokyklą gal ir neprireiks, bet egzamine jos bus kaip niekad aktualios. Sėkmės tau!