Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas.

Sprendžiant bet kokio sudėtingumo trigonometrines lygtis galiausiai reikia išspręsti paprasčiausias trigonometrines lygtis. Ir čia trigonometrinis ratas vėl pasirodo kaip geriausias asistentas.

Prisiminkime kosinuso ir sinuso apibrėžimus.

Kampo kosinusas yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio sukimąsi tam tikru kampu, abscisė (ty koordinatė išilgai ašies).

Kampo sinusas yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio sukimąsi tam tikru kampu, ordinatė (ty koordinatė išilgai ašies).

Teigiama judėjimo kryptis trigonometriniame apskritime yra prieš laikrodžio rodyklę. Pasukimas 0 laipsnių (arba 0 radianų) atitinka tašką su koordinatėmis (1; 0)

Šiuos apibrėžimus naudojame paprastoms trigonometrinėms lygtims išspręsti.

1. Išspręskite lygtį

Šią lygtį tenkina visos sukimosi kampo reikšmės, atitinkančios apskritimo taškus, kurių ordinatė yra lygi .

Ordinačių ašyje pažymėkime tašką su ordinatėmis:

Nubrėžkite horizontalią liniją, lygiagrečią x ašiai, kol ji susikirs su apskritimu. Gauname du taškus, gulinčius ant apskritimo ir turinčius ordinatę. Šie taškai atitinka sukimosi kampus radianais:

Jei palikdami tašką, atitinkantį sukimosi kampą radianui, apvažiuosime visą apskritimą, tada pateksime į tašką, atitinkantį sukimosi kampą radianui ir turintį tą pačią ordinatę. Tai yra, šis sukimosi kampas taip pat atitinka mūsų lygtį. Galime padaryti tiek „tuščiosios eigos“ apsisukimų, kiek norime, grįždami į tą patį tašką, ir visos šios kampų reikšmės patenkins mūsų lygtį. „Tuščiosios eigos“ apsisukimų skaičius bus pažymėtas raide (arba). Kadangi šiuos apsisukimus galime padaryti tiek teigiama, tiek neigiama kryptimi, (arba) galime įgauti bet kokias sveikųjų skaičių reikšmes.

Tai yra, pirmoji pradinės lygties sprendinių serija turi tokią formą:

, , - sveikųjų skaičių rinkinys (1)

Panašiai antroji sprendimų serija turi tokią formą:

, Kur,. (2)

Kaip jau galėjote atspėti, ši sprendimų serija yra pagrįsta tašku apskritime, atitinkančiu sukimosi kampą .

Šios dvi sprendimų serijos gali būti sujungtos į vieną įrašą:

Jei imsime (ty net) šiame įraše, tada gausime pirmąją sprendimų seriją.

Jei imsime (ty nelyginį) šiame įraše, gausime antrą sprendinių seriją.

2. Dabar išspręskime lygtį

Kadangi tai yra vienetinio apskritimo taško abscisė, gauta pasukus kampu, tašką pažymime abscise ašyje:

Nubrėžkite vertikalią liniją, lygiagrečią ašiai, kol ji susikirs su apskritimu. Gausime du taškus, gulėdami ant apskritimo ir turėdami abscisę. Šie taškai atitinka sukimosi kampus radianais. Prisiminkite, kad judant pagal laikrodžio rodyklę gauname neigiamą sukimosi kampą:

Užrašykime dvi sprendimų serijas:

,

,

(Į norimą tašką patenkame eidami iš pagrindinio pilno rato, tai yra.

Sujungkime šias dvi serijas į vieną įrašą:

3. Išspręskite lygtį

Liestinė eina per tašką, kurio koordinatės (1,0) yra lygiagrečios OY ašiai

Pažymėkime jame tašką, kurio ordinatė lygi 1 (ieškome kampų liestinės, lygios 1):

Sujungkime šį tašką prie koordinačių pradžios tiesia linija ir pažymėkime tiesės susikirtimo taškus su vienetiniu apskritimu. Tiesios linijos ir apskritimo susikirtimo taškai atitinka sukimosi kampus ir :

Kadangi taškai, atitinkantys mūsų lygtį atitinkančius sukimosi kampus, yra vienas nuo kito radianų atstumu, sprendimą galime parašyti taip:

4. Išspręskite lygtį

Kotangentų linija eina per tašką, kurio vieneto apskritimo koordinatės yra lygiagrečios ašiai.

Kotangentinėje tiesėje pažymėkime tašką su abscise -1:

Sujungkime šį tašką su tiesės pradžia ir tęskime tol, kol susikirs su apskritimu. Ši tiesi linija kirs apskritimą taškuose, kurie atitinka sukimosi kampus į ir radianais:

Kadangi šie taškai yra atskirti vienas nuo kito atstumu, lygiu , bendrąjį šios lygties sprendinį galime parašyti taip:

Pateiktuose pavyzdžiuose, iliustruojančiuose paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimą, buvo panaudotos trigonometrinių funkcijų lentelės reikšmės.

Tačiau jei dešinėje lygties pusėje yra ne lentelės reikšmė, tada reikšmę pakeičiame bendruoju lygties sprendiniu:

SPECIALIEJI SPRENDIMAI:

Pažymėkime apskritimo, kurio ordinatė lygi 0, taškus:

Pažymėkime vieną tašką apskritime, kurio ordinatė yra 1:

Pažymėkime vieną tašką apskritime, kurio ordinatė lygi -1:

Kadangi įprasta nurodyti reikšmes, artimiausias nuliui, sprendimą rašome taip:

Pažymėkime apskritimo, kurio abscisė lygi 0, taškus:

5.
Pažymėkime vieną tašką apskritime, kurio abscisė lygi 1:

Pažymėkime vieną tašką apskritime, kurio abscisė lygi -1:

Ir šiek tiek sudėtingesni pavyzdžiai:

1.

Sinusas lygus vienetui, jei argumentas lygus

Mūsų sinuso argumentas yra lygus, todėl gauname:

Abi lygybės puses padalinkime iš 3:

Atsakymas:

2.

Kosinusas yra nulis, jei kosinuso argumentas yra

Mūsų kosinuso argumentas yra lygus , todėl gauname:

Išreikškime , norėdami tai padaryti, pirmiausia judame į dešinę su priešingu ženklu:

Supaprastinkime dešinę pusę:

Padalinkite abi puses iš -2:

Atkreipkite dėmesį, kad ženklas prieš terminą nesikeičia, nes k gali turėti bet kokią sveikojo skaičiaus reikšmę.

Atsakymas:

Ir galiausiai žiūrėkite vaizdo pamoką „Šaknų pasirinkimas trigonometrinėje lygtyje naudojant trigonometrinį apskritimą“

Tai baigia mūsų pokalbį apie paprastų trigonometrinių lygčių sprendimą. Kitą kartą pakalbėsime, kaip apsispręsti.

Pratimas.
Raskite x reikšmę ties .

Sprendimas.
Funkcijos argumento reikšmės, kuriai esant ji lygi bet kuriai reikšmei, radimas reiškia, kad reikia nustatyti, kuriuose argumentuose sinuso reikšmė bus tiksliai tokia, kaip nurodyta sąlygoje.
Tokiu atveju turime išsiaiškinti, kokiomis vertėmis sinuso vertė bus lygi 1/2. Tai galima padaryti keliais būdais.
Pavyzdžiui, naudokite , kad nustatytumėte, kokiomis x reikšmėmis sinuso funkcija bus lygi 1/2.
Kitas būdas yra naudoti. Leiskite jums priminti, kad sinusų reikšmės yra Oy ašyje.
Dažniausias būdas yra naudoti , ypač kai kalbama apie standartines šios funkcijos vertes, pvz., 1/2.
Visais atvejais nereikėtų pamiršti vienos iš svarbiausių sinuso savybių – jo laikotarpio.
Lentelėje raskime sinuso reikšmę 1/2 ir pažiūrėkime, kokie argumentai ją atitinka. Argumentai, kurie mus domina, yra Pi / 6 ir 5Pi / 6.
Užrašykime visas šaknis, kurios tenkina pateiktą lygtį. Norėdami tai padaryti, užrašome mus dominantį nežinomą argumentą x ir vieną iš argumento reikšmių, gautų iš lentelės, tai yra Pi / 6. Užsirašome, atsižvelgdami į sinuso periodą. , visos argumento reikšmės:

Paimkime antrąją reikšmę ir atlikime tuos pačius veiksmus, kaip ir ankstesniu atveju:

Visas pradinės lygties sprendimas bus toks:
Ir
q gali įgauti bet kurio sveikojo skaičiaus reikšmę.

Apskritai šis klausimas nusipelno ypatingo dėmesio, tačiau čia viskas paprasta: laipsnių kampu sinusas ir kosinusas yra teigiami (žr. pav.), tada imame pliuso ženklą.

Dabar pabandykite, remdamiesi tuo, kas išdėstyta aukščiau, rasti kampų sinusus ir kosinusus: ir

Galite apgauti: ypač kampu laipsniais. Kadangi jei vienas stačiojo trikampio kampas lygus laipsniams, tai antrasis lygus laipsniams. Dabar įsigalioja žinomos formulės:

Tada nuo tada ir. Nuo tada ir. Su laipsniais dar paprasčiau: jei vienas stačiojo trikampio kampas yra lygus laipsniams, tai kitas taip pat lygus laipsniams, o tai reiškia, kad trikampis yra lygiašonis.

Tai reiškia, kad jo kojos yra lygios. Tai reiškia, kad jo sinusas ir kosinusas yra lygūs.

Dabar, naudodami naują apibrėžimą (naudojant X ir Y!), suraskite kampų sinusus ir kosinusus laipsniais ir laipsniais. Čia negalėsite nupiešti jokių trikampių! Jie bus per plokšti!

Turėjai gauti:

Liestinę ir kotangentą galite rasti patys naudodami formules:

Atkreipkite dėmesį, kad negalima dalyti iš nulio!!

Dabar visus gautus skaičius galima sudėti į lentelę:

Čia pateikiamos kampų sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmės 1 ketvirtis. Kad būtų patogiau, kampai pateikiami ir laipsniais, ir radianais (tačiau dabar žinote jų santykį!). Lentelėje atkreipkite dėmesį į 2 brūkšnius: nulio kotangentą ir laipsnių liestinę. Tai ne atsitiktinumas!

Visų pirma:

Dabar apibendrinkime sinuso ir kosinuso sąvokas iki visiškai savavališko kampo. Čia panagrinėsiu du atvejus:

1. Kampas svyruoja nuo iki laipsnių
2. Kampas didesnis nei laipsniai

Paprastai kalbant, šiek tiek suskaudo širdį, kai kalbėjau apie „absoliučiai visus“ kampus. Jie taip pat gali būti neigiami! Bet mes apsvarstysime šį atvejį kitame straipsnyje. Pirmiausia sutelkime dėmesį į pirmąjį atvejį.

Jei kampas slypi 1 ketvirtyje, tai viskas aišku, mes jau svarstėme šį atvejį ir net braižėme lenteles.

Dabar tegul mūsų kampas yra didesnis nei laipsniai ir ne didesnis nei. Tai reiškia, kad jis yra 2, 3 arba 4 ketvirtyje.

Ką mes darome? Taip, lygiai tas pats!

Pažiūrėkime vietoj kazko tokio...

...kaip šitas:

Tai yra, apsvarstykite kampą, esantį antrajame ketvirtyje. Ką galime pasakyti apie jį?

Taškas, kuris yra spindulio ir apskritimo susikirtimo taškas, vis dar turi 2 koordinates (nieko antgamtiško, tiesa?). Tai yra koordinatės ir.

Be to, pirmoji koordinatė yra neigiama, o antroji yra teigiama! Tai reiškia kad Antrojo ketvirčio kampuose kosinusas yra neigiamas, o sinusas yra teigiamas!

Nuostabu, tiesa? Prieš tai niekada nebuvome susidūrę su neigiamu kosinusu.

Ir iš esmės taip negali būti, kai trigonometrines funkcijas laikytume trikampio kraštinių santykiu. Beje, pagalvokite, kurie kampai turi tą patį kosinusą? Kurie turi tą patį sinusą?

Panašiai galite atsižvelgti į visų kitų ketvirčių kampus. Leiskite tik priminti, kad kampas skaičiuojamas prieš laikrodžio rodyklę! (kaip parodyta paskutinėje nuotraukoje!).

Žinoma, galima skaičiuoti ir kita kryptimi, tačiau požiūris į tokius kampus bus kiek kitoks.

Remdamiesi aukščiau pateiktais samprotavimais, galime išdėstyti sinuso, kosinuso, tangento (kaip sinuso, padalyto iš kosinuso) ir kotangento (kaip kosinuso, padalyto iš sinuso) ženklus visiems keturiems ketvirčiams.

Tačiau dar kartą kartoju, kad šio piešinio atmintinai nėra prasmės. Viskas, ką reikia žinoti:

Truputį pasitreniruokime su jumis. Labai paprastos užduotys:

Sužinokite, kokį ženklą turi šie kiekiai:

Ar patikrinsime?

1. laipsniai yra kampas, didesnis ir mažesnis, o tai reiškia, kad jis yra 3 ketvirčiuose. Nubrėžkite bet kurį kampą trečiajame ketvirtyje ir pažiūrėkite, koks žaidėjas jame yra. Tai pasirodys neigiama. Tada.
   laipsniai - 2 ketvirčių kampas. Sinusas ten yra teigiamas, o kosinusas yra neigiamas. Plius padalytas iš minus lygus minusas. Reiškia.
   laipsniai - kampas, didesnis ir mažesnis. Tai reiškia, kad jis yra 4 ketvirtyje. Bet kuriam ketvirtojo ketvirčio kampui „x“ bus teigiamas, o tai reiškia
2. Su radianais dirbame taip pat: tai antrojo ketvirčio kampas (nuo ir. Antrojo ketvirčio sinusas yra teigiamas.
   .
   , tai ketvirto ketvirčio kampas. Ten kosinusas yra teigiamas.
   – vėl ketvirtojo kėlinio kampinis. Ten kosinusas yra teigiamas, o sinusas yra neigiamas. Tada liestinė bus mažesnė už nulį:

Galbūt jums sunku nustatyti ketvirčius radianais. Tokiu atveju visada galite pasiekti laipsnių. Atsakymas, žinoma, bus lygiai toks pat.

Dabar norėčiau labai trumpai pasilikti prie kito dalyko. Dar kartą prisiminkime pagrindinę trigonometrinę tapatybę.

Kaip jau sakiau, iš jo sinusą galime išreikšti per kosinusą arba atvirkščiai:

Ženklo pasirinkimui įtakos turės tik ketvirtis, kuriame yra mūsų alfa kampas. Yra daug problemų dėl paskutinių dviejų vieningo valstybinio egzamino formulių, pavyzdžiui, šios:

Užduotis

Raskite, ar ir.

Tiesą sakant, tai yra ketvirčio užduotis! Pažiūrėkite, kaip tai išspręsta:

Sprendimas

Taigi, pakeiskime vertę čia. Dabar belieka išsiaiškinti ženklą. Ko mums tam reikia? Žinokite, kuriame kvartale yra mūsų kampelis. Pagal problemos sąlygas: . Koks tai ketvirtis? Ketvirta. Koks yra kosinuso ženklas ketvirtajame ketvirtyje? Ketvirtojo ketvirčio kosinusas yra teigiamas. Tada mums tereikia pasirinkti pliuso ženklą priekyje. , Tada.

Dabar išsamiai nenagrinėsiu tokių užduočių, išsamią jų analizę rasite straipsnyje „“. Aš tik norėjau atkreipti dėmesį į tai, koks svarbus yra tas ar kitas trigonometrinės funkcijos ženklas, priklausomai nuo ketvirčio.

Kampai didesni už laipsnius

Paskutinis dalykas, kurį norėčiau atkreipti dėmesį į šį straipsnį, yra tai, ką daryti, kai kampai yra didesni už laipsnius?

Kas tai yra ir su kuo galite valgyti, kad neužspringtumėte? Paimkime, tarkime, kampą laipsniais (radianais) ir eikime nuo jo prieš laikrodžio rodyklę...

Paveikslėlyje nupiešiau spiralę, bet jūs suprantate, kad iš tikrųjų mes neturime jokios spiralės: mes turime tik apskritimą.

Taigi kur mes atsidursime, jei pradėsime nuo tam tikro kampo ir eisime visą ratą (laipsniais arba radianais)?

Kur mes eisime? Ir mes ateisime į tą patį kampelį!

Žinoma, tas pats pasakytina ir apie bet kurį kitą kampą:

Paimdami savavališką kampą ir visiškai apėję visą ratą, grįšime į tą patį kampą.

Ką tai mums duos? Štai kas: jei, tada

Iš kur galiausiai gauname:

Bet kokiai visumai. Tai reiškia kad sinusas ir kosinusas yra periodinės funkcijos su tašku.

Taigi nėra jokių problemų rasti dabar savavališko kampo ženklą: tereikia išmesti visus „visus apskritimus“, kurie telpa į mūsų kampą, ir išsiaiškinti, kuriame ketvirtyje yra likęs kampas.

Pavyzdžiui, suraskite ženklą:

Mes tikriname:

1. Laipsniais tinka laikai laipsniais (laipsniais):
   laipsnių liko. Tai yra 4 ketvirčių kampas. Ten sinusas yra neigiamas, o tai reiškia
2. . laipsnių. Tai yra 3 ketvirčių kampas. Ten kosinusas yra neigiamas. Tada
3. . . Nuo tada – pirmojo ketvirčio kampas. Ten kosinusas yra teigiamas. Tada cos
4. . . Kadangi mūsų kampas yra antrame ketvirtyje, kur sinusas yra teigiamas.

Tą patį galime padaryti su tangentu ir kotangentu. Tačiau iš tikrųjų jie yra dar paprastesni: jie taip pat yra periodinės funkcijos, tik jų laikotarpis yra 2 kartus mažesnis:

Taigi, jūs suprantate, kas yra trigonometrinis ratas ir kam jis reikalingas.

Bet mes vis dar turime daug klausimų:

1. Kas yra neigiami kampai?
2. Kaip apskaičiuoti trigonometrines funkcijas šiais kampais
3. Kaip panaudoti žinomas 1-ojo ketvirčio trigonometrinių funkcijų reikšmes ieškant kitų ketvirčių funkcijų reikšmių (ar tikrai reikia prikimšti lentelę?!)
4. Kaip galite naudoti apskritimą, kad supaprastintumėte trigonometrinių lygčių sprendimus?

VIDUTINIS LYGIS

Na, šiame straipsnyje mes tęsime trigonometrinio apskritimo tyrimą ir aptarsime šiuos dalykus:

1. Kas yra neigiami kampai?
2. Kaip apskaičiuoti trigonometrinių funkcijų reikšmes šiais kampais?
3. Kaip naudoti žinomas 1 ketvirčio trigonometrinių funkcijų reikšmes ieškant kitų ketvirčių funkcijų reikšmių?
4. Kas yra liestinės ir kotangentinės ašys?

Mums nereikia jokių papildomų žinių, išskyrus pagrindinius įgūdžius dirbant su vieneto ratu (ankstesnis straipsnis). Na, pereikime prie pirmojo klausimo: kas yra neigiami kampai?

Neigiami kampai

Neigiami kampai trigonometrijoje brėžiami trigonometriniame apskritime žemyn nuo pradžios, judėjimo pagal laikrodžio rodyklę kryptimi:

Prisiminkime, kaip anksčiau brėžėme kampus trigonometriniame apskritime: Pradėjome nuo teigiamos ašies krypties prieš laikrodžio rodyklę:

Tada mūsų brėžinyje sukonstruotas kampas, lygus. Visus kampus pastatėme taip pat.

Tačiau niekas netrukdo mums judėti iš teigiamos ašies krypties pagal laikrodžio rodyklę.

Taip pat gausime skirtingus kampus, tačiau jie bus neigiami:

Toliau pateiktame paveikslėlyje pavaizduoti du kampai, vienodi absoliučia verte, bet priešingi pagal ženklą:

Apskritai taisyklę galima suformuluoti taip:

• Einame prieš laikrodžio rodyklę – gauname teigiamus kampus
• Einame pagal laikrodžio rodyklę – gauname neigiamus kampus

Taisyklė schematiškai parodyta šiame paveikslėlyje:

Galite užduoti man visiškai pagrįstą klausimą: mums reikia kampų, kad galėtume išmatuoti jų sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangentines vertes.

Taigi ar yra skirtumas, kada mūsų kampas yra teigiamas, o kada neigiamas? Aš jums atsakysiu: kaip taisyklė, yra.

Tačiau visada galite sumažinti trigonometrinės funkcijos skaičiavimą nuo neigiamo kampo iki funkcijos skaičiavimo kampe teigiamas.

Pažvelkite į šį paveikslėlį:

Sukūriau du kampus, jie yra lygūs absoliučia verte, bet turi priešingą ženklą. Kiekvienam kampui ant ašių pažymėkite jo sinusą ir kosinusą.

Ką mes matome? Štai kas:

• Sinusai yra kampuose ir yra priešingi pagal ženklą! Tada jei
• Kampų kosinusai sutampa! Tada jei
• Nuo tada:
• Nuo tada:

Taigi, mes visada galime atsikratyti neigiamo ženklo bet kurioje trigonometrinėje funkcijoje: arba tiesiog jį pašalindami, kaip su kosinusu, arba pastatydami prieš funkciją, kaip su sinusu, liestine ir kotangentu.

Beje, atsiminkite funkcijos, kuri vykdoma bet kuriai galiojančiai reikšmei, pavadinimą: ?

Tokia funkcija vadinama nelygine.

Bet jei bet kuriai leistinai yra teisinga: ? Tada šiuo atveju funkcija vadinama lygine.

Taigi, jūs ir aš ką tik parodėme, kad:

Sinusas, liestinė ir kotangentas yra nelyginės funkcijos, o kosinusas yra lyginė funkcija.

Taigi, kaip suprantate, nėra skirtumo, ar ieškome teigiamo, ar neigiamo kampo sinuso: susidoroti su minusu yra labai paprasta. Taigi mums nereikia lentelių atskirai neigiamiems kampams.

Kita vertus, reikia sutikti, kad būtų labai patogu, žinant tik pirmojo ketvirčio kampų trigonometrines funkcijas, panašias funkcijas skaičiuoti ir likusiems ketvirčiams. Ar įmanoma tai padaryti? Žinoma, jūs galite! Turite bent 2 būdus: pirmasis yra sukurti trikampį ir pritaikyti Pitagoro teoremą (taip jūs ir aš radome trigonometrinių funkcijų reikšmes pagrindiniams pirmojo ketvirčio kampams) ir antra – atsiminti pirmojo ketvirčio kampų funkcijų reikšmes ir tam tikrą paprastą taisyklę, kad būtų galima apskaičiuoti visų kitų ketvirčių trigonometrines funkcijas. Antrasis būdas sutaupys daug šurmulio dėl trikampių ir Pitagoro, todėl manau, kad jis yra perspektyvesnis:

Taigi, šis metodas (arba taisyklė) vadinamas redukcijos formulėmis.

Sumažinimo formulės

Grubiai tariant, šios formulės padės neprisiminti šios lentelės (beje, joje yra 98 skaičiai!):

jei prisimenate šį (tik 20 skaičių):

Tai yra, jūs negalite jaudintis dėl visiškai nereikalingų 78 numerių! Pavyzdžiui, turime apskaičiuoti. Aišku, kad mažoje lentelėje taip nėra. Ką mes darome? Štai kas:

Pirmiausia mums reikės šių žinių:

1. Sinusas ir kosinusas turi tašką (laipsnius), tai yra

   Tangentas (kotangentas) turi tašką (laipsniais)

   Bet koks sveikasis skaičius

2. Sinusas ir liestinė yra nelyginės funkcijos, o kosinusas yra lyginė:

Pirmąjį teiginį jau įrodėme su jumis, o antrojo pagrįstumas buvo nustatytas visai neseniai.

Tikroji liejimo taisyklė atrodo taip:

1. Jei apskaičiuosime trigonometrinės funkcijos reikšmę iš neigiamo kampo, ją padarome teigiamą naudodami formulių grupę (2). Pavyzdžiui:
2. Atsisakome jo periodus sinusui ir kosinusui: (laipsniais), o tangentui - (laipsniais). Pavyzdžiui:
3. Jei likęs „kampas“ yra mažesnis nei laipsnių, tada problema išspręsta: ieškome jo „mažoje lentelėje“.
4. Kitu atveju ieškome, kuriame kvartale yra mūsų kampelis: tai bus 2, 3 ar 4 ketvirtis. Pažiūrėkime į reikiamos funkcijos ženklą kvadrante. Prisiminkite šį ženklą!!!
5. Kampą pavaizduojame viena iš šių formų:

   (jei antrajame ketvirtyje)
   (jei antrajame ketvirtyje)
   (jei trečiąjį ketvirtį)
   (jei trečiąjį ketvirtį)
   
   (jei ketvirtajame ketvirtyje)

   kad likęs kampas būtų didesnis už nulį ir mažesnis už laipsnius. Pavyzdžiui:

   Iš esmės nesvarbu, kurioje iš dviejų alternatyvių formų kiekvienam ketvirčiui atstovaujate kampą. Tai neturės įtakos galutiniam rezultatui.

6. Dabar pažiūrėkime, ką gavome: jei pasirinkote rašyti laipsniais arba laipsniais plius minus kažką, tada funkcijos ženklas nepasikeis: tiesiog pašalinsite arba ir parašykite likusio kampo sinusą, kosinusą arba tangentą. Jei pasirinkote žymėjimą laipsniais, pakeiskite sinusą į kosinusą, kosinusą į sinusą, tangentą į kotangentą, kotangentą į liestinę.
7. Prieš gautą išraišką dedame ženklą iš 4 taško.

Parodykime visa tai, kas išdėstyta aukščiau, pavyzdžiais:

1. Apskaičiuoti
2. Apskaičiuoti
3. Raskite savo prasmę:

Pradėkime eilės tvarka:

1. Mes veikiame pagal savo algoritmą. Pasirinkite sveikąjį skaičių apskritimų:

   Apskritai darome išvadą, kad visas kampas telpa 5 kartus, bet kiek liko? Kairė. Tada

   Na, perteklių išmetėme. Dabar pažiūrėkime į ženklą. yra IV ketvirtyje. Ketvirtojo ketvirčio sinusas turi minuso ženklą, ir aš neturėčiau pamiršti jo įdėti į atsakymą. Toliau pateikiame pagal vieną iš dviejų mažinimo taisyklių 5 punkto formulių. Aš pasirinksiu:

   Dabar pažiūrėkime, kas atsitiko: turime atvejį su laipsniais, tada jį išmetame ir pakeičiame sinusą į kosinusą. Ir prieš jį dedame minuso ženklą!

   laipsnių – kampas pirmąjį ketvirtį. Mes žinome (jūs pažadėjote man išmokti mažą lentelę!!) jos reikšmę:

   Tada gauname galutinį atsakymą:

   Atsakymas:

2. viskas tas pats, bet vietoj laipsnių - radianai. Viskas gerai. Svarbiausia atsiminti tai

   Bet jūs neturite radianų pakeisti laipsniais. Tai tavo skonio reikalas. Nieko nepakeisiu. Vėl pradėsiu išmesdamas visus ratus:

   Išmeskime – tai du ištisi apskritimai. Belieka tik paskaičiuoti. Šis kampas yra trečiajame ketvirtyje. Trečiojo ketvirčio kosinusas yra neigiamas. Nepamirškite atsakyme įdėti minuso ženklo. galite įsivaizduoti kaip. Dar kartą prisiminkime taisyklę: turime „sveiko skaičiaus“ atvejį (arba), tada funkcija nesikeičia:

   Tada.
   Atsakymas:.

3. . Turite daryti tą patį, bet su dviem funkcijomis. Pakalbėsiu kiek trumpiau: o laipsniai – antrojo ketvirčio kampai. Antrojo ketvirčio kosinusas turi minuso ženklą, o sinusas – pliuso ženklą. gali būti pavaizduotas kaip: , ir kaip, tada

   Abu atvejai yra „pusės visumos“. Tada sinusas pasikeičia į kosinusą, o kosinusas – į sinusą. Be to, prieš kosinusą yra minuso ženklas:

Atsakymas:.

Dabar praktikuokite patys naudodami šiuos pavyzdžius:

Ir štai sprendimai:

1. 
   Pirma, atsikratykime minuso, padėdami jį prieš sinusą (kadangi sinusas yra nelyginė funkcija!!!). Toliau pažiūrėkime į kampus:

   Mes atmetame sveikąjį skaičių apskritimų - tai yra, tris apskritimus ().
   Belieka suskaičiuoti: .
   Tą patį darome su antruoju kampu:

   Ištriname sveiką skaičių apskritimų – 3 apskritimus (), tada:

   Dabar galvojame: kuriame ketvirtyje yra likęs kampas? Jam „nepritrūksta“ visko. Tada koks ketvirtis? Ketvirta. Koks yra ketvirtojo ketvirčio kosinuso ženklas? Teigiamas. Dabar įsivaizduokime. Kadangi atimame iš viso kiekio, kosinuso ženklo nekeičiame:

   Visus gautus duomenis pakeičiame į formulę:

   Atsakymas:.

2. 
   Standartas: pašalinkite minusą iš kosinuso, naudodami faktą, kad.
   Belieka tik apskaičiuoti laipsnių kosinusą. Pašalinkime ištisus ratus: . Tada

   Tada.
   Atsakymas:.

3. Tęsiame kaip ir ankstesniame pavyzdyje.

   Kadangi prisimenate, kad liestinės periodas (arba) skiriasi nuo kosinuso ar sinuso, kuriam jis yra 2 kartus didesnis, tada sveikąjį skaičių pašalinsime.

   laipsnių – kampas antrajame ketvirtyje. Antrojo ketvirčio liestinė yra neigiama, tada nepamirškime apie „minusą“ pabaigoje! galima parašyti kaip. Liestinė pasikeičia į kotangentą. Galiausiai gauname:

   Tada.
   Atsakymas:.

Na, liko tik šiek tiek!

Liestinės ašis ir kotangentinė ašis

Paskutinis dalykas, kurį norėčiau čia paliesti, yra dvi papildomos ašys. Kaip jau aptarėme, turime dvi ašis:

1. Ašis – kosinuso ašis
2. Ašis – sinusų ašis

Tiesą sakant, mums pritrūko koordinačių ašių, ar ne? Bet kaip dėl liestinių ir kotangentų?

Ar tikrai jiems nėra jokios grafinės interpretacijos?

Tiesą sakant, jis egzistuoja, galite pamatyti šiame paveikslėlyje:

Visų pirma iš šių nuotraukų galime pasakyti:

1. Tangentas ir kotangentas turi tuos pačius ketvirčio ženklus
2. Jie yra teigiami 1 ir 3 ketvirčiuose
3. Jie yra neigiami 2 ir 4 ketvirčiuose
4. Tangentas kampuose neapibrėžiamas
5. Kampuose neapibrėžtas kotangentas

Kam dar šios nuotraukos? Išmoksite aukštesniojo lygio, kur aš jums pasakysiu, kaip galite naudoti trigonometrinį apskritimą, kad supaprastintumėte trigonometrinių lygčių sprendimus!

PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Šiame straipsnyje aprašysiu, kaip vienetinis apskritimas (trigonometrinis apskritimas) gali būti naudinga sprendžiant trigonometrines lygtis.

Galiu galvoti apie du atvejus, kai tai gali būti naudinga:

1. Atsakydami negauname „gražaus“ kampo, tačiau vis dėlto turime pasirinkti šaknis
2. Atsakyme yra per daug šaknų serijų

Jums nereikia jokių specialių žinių, išskyrus temą:

Bandžiau rašyti temą „trigonometrinės lygtys“ nesinaudodamas apskritimais. Daugelis manęs nepagirtų už tokį požiūrį.

Bet man labiau patinka formulė, tad ką daryti? Tačiau kai kuriais atvejais formulių nepakanka. Šis pavyzdys paskatino mane parašyti šį straipsnį:

Išspręskite lygtį:

Gerai tada. Išspręsti pačią lygtį nėra sunku.

Atvirkštinis pakeitimas:

Taigi mūsų pradinė lygtis atitinka net keturias paprastas lygtis! Ar tikrai reikia užrašyti 4 šaknų serijas:

Iš principo galėtume sustoti. Bet ne šio straipsnio, kuris teigia esąs kažkoks „sudėtingumas“, skaitytojams!

Pirmiausia pažvelkime į pirmąją šaknų seriją. Taigi, paimame vieneto apskritimą, dabar pritaikykime šias šaknis apskritimui (atskirai ir už):

Atkreipkite dėmesį: koks kampas yra tarp kampų ir? Tai yra kampas. Dabar darykime tą patį su serija: .

Tarp lygties šaknų vėl gauname kampą. Dabar sujungkime šias dvi nuotraukas:

Ką mes matome? Priešingu atveju visi kampai tarp mūsų šaknų yra lygūs. Ką tai reiškia?

Jei pradėsime nuo kampo ir imsime vienodus kampus (bet kuriam sveikajam skaičiui), tada visada atsidursime viename iš keturių viršutinio apskritimo taškų! Taigi, 2 šaknų serijos:

Galima sujungti į vieną:

Deja, šaknų serijai:

Šie argumentai nebegalios. Padarykite piešinį ir supraskite, kodėl taip yra. Tačiau juos galima derinti taip:

Tada pradinė lygtis turi šaknis:

Tai gana trumpas ir glaustas atsakymas. Ką reiškia trumpumas ir glaustumas? Apie jūsų matematinio raštingumo lygį.

Tai buvo pirmasis pavyzdys, kai trigonometrinio apskritimo naudojimas davė naudingų rezultatų.

Antrasis pavyzdys yra lygtys, turinčios „bjaurias šaknis“.

Pavyzdžiui:

1. Išspręskite lygtį.
2. Raskite jo šaknis, priklausančias tarpai.

Pirma dalis visai nesunki.

Kadangi ši tema jau susipažinusi, leisiu sau būti trumpai apskaičiuojant.

tada arba

Taip radome savo lygties šaknis. Nieko sudėtingo.

Sunkiau išspręsti antrąją užduoties dalį tiksliai nežinant, koks yra minus vieno ketvirčio lanko kosinusas (tai nėra lentelės reikšmė).

Tačiau rastą šaknų seriją galime pavaizduoti vieneto apskritime:

Ką mes matome? Pirma, figūra mums aiškiai parodė, kokiose ribose yra lanko kosinusas:

Ši vaizdinė interpretacija padės mums rasti šaknis, priklausančias segmentui: .

Pirma, į jį patenka pats skaičius, tada (žr. pav.).

taip pat priklauso segmentui.

Taigi vieneto apskritimas padeda nustatyti, į kokias ribas patenka „bjaurus“ kampai.

Turėtumėte turėti dar bent vieną klausimą: Bet ką turėtume daryti su liestinėmis ir kotangentais?

Tiesą sakant, jie taip pat turi savo ašis, nors ir turi šiek tiek specifinę išvaizdą:

Priešingu atveju jų tvarkymo būdas bus toks pat kaip ir sinuso bei kosinuso atveju.

Pavyzdys

Lygtis pateikta.

• Išspręskite šią lygtį.
• Nurodykite intervalui priklausančias šios lygties šaknis.

Sprendimas:

Nubrėžiame vienetinį apskritimą ir pažymime jame savo sprendimus:

Iš paveikslo galite suprasti, kad:

Arba dar daugiau: nuo tada

Tada randame segmentui priklausančias šaknis.

, (nes)

Palieku jums patiems įsitikinti, ar mūsų lygtis neturi kitų intervalui priklausančių šaknų.

SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Pagrindinis trigonometrijos įrankis yra trigonometrinis apskritimas, leidžia išmatuoti kampus, rasti jų sinusus, kosinusus ir kt.

Yra du būdai matuoti kampus.

1. Per laipsnius
2. Per radianus

Ir atvirkščiai: nuo radianų iki laipsnių:

Norėdami rasti kampo sinusą ir kosinusą, jums reikia:

1. Nubrėžkite vienetinį apskritimą, kurio centras sutampa su kampo viršūne.
2. Raskite šio kampo susikirtimo tašką su apskritimu.
3. Jos „X“ koordinatė yra norimo kampo kosinusas.
4. Jo „žaidimo“ koordinatė yra norimo kampo sinusas.

Sumažinimo formulės

Tai formulės, leidžiančios supaprastinti sudėtingas trigonometrinių funkcijų išraiškas.

Šios formulės padės neprisiminti šios lentelės:

Apibendrinant

Sužinojote, kaip padaryti universalų spurtą naudojant trigonometriją.

Išmokote spręsti problemas daug lengviau ir greičiau, o svarbiausia – be klaidų.

Jūs supratote, kad jums nereikia prikimšti stalų ir visai nieko nereikia!

Dabar noriu tave išgirsti!

Ar pavyko suprasti šią sudėtingą temą?

Kas tau patiko? Kas tau nepatiko?

Gal radai klaidą?

Rašyk komentaruose!

Ir sėkmės egzamine!

Trigonometrinių funkcijų verčių lentelė

Pastaba. Šioje trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje naudojamas √ ženklas kvadratinei šaknei pavaizduoti. Norėdami nurodyti trupmeną, naudokite simbolį „/“.

taip pat žr naudingos medžiagos:

Dėl nustatant trigonometrinės funkcijos reikšmę, raskite jį tiesės, rodančios trigonometrinę funkciją, sankirtoje. Pavyzdžiui, sinusas 30 laipsnių - ieškome stulpelio su antrašte sin (sinusas) ir randame šios lentelės stulpelio sankirtą su eilute „30 laipsnių“, jų sankirtoje skaitome rezultatą - vieną pusę. Panašiai randame kosinusas 60 laipsnių, sinusas 60 laipsnių (dar kartą nuodėmės stulpelio ir 60 laipsnių linijos sankirtoje randame reikšmę sin 60 = √3/2) ir kt. Taip pat randamos kitų „populiarių“ kampų sinusų, kosinusų ir liestinių reikšmės.

Sinuso pi, kosinuso pi, tangento pi ir kiti kampai radianais

Žemiau esanti kosinusų, sinusų ir liestinių lentelė taip pat tinka norint rasti trigonometrinių funkcijų, kurių argumentas yra pateikiami radianais. Norėdami tai padaryti, naudokite antrą kampo verčių stulpelį. Dėl to galite konvertuoti populiarių kampų vertę iš laipsnių į radianus. Pavyzdžiui, pirmoje eilutėje suraskime 60 laipsnių kampą ir po juo perskaitykime jo reikšmę radianais. 60 laipsnių yra lygus π/3 radianams.

Skaičius pi vienareikšmiškai išreiškia apskritimo priklausomybę nuo kampo laipsnio mato. Taigi pi radianai yra lygūs 180 laipsnių.

Bet kuris skaičius, išreikštas pi (radianais), gali būti lengvai konvertuojamas į laipsnius, pakeičiant pi (π) į 180.

Pavyzdžiai:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
taigi, pi sinusas yra toks pat kaip 180 laipsnių sinusas ir lygus nuliui.

2. Kosinusas pi.
cos π = cos 180 = -1
taigi, pi kosinusas yra toks pat kaip 180 laipsnių kosinusas ir yra lygus minus vienetui.

3. Tangentas pi
tg π = tg 180 = 0
taigi liestinė pi yra tokia pati kaip 180 laipsnių liestinė ir lygi nuliui.

Sinuso, kosinuso, liestinės verčių lentelė kampams nuo 0 iki 360 laipsnių (bendrosios vertės)

kampo α reikšmė (laipsniai)	kampo α reikšmė radianais (per pi)	nuodėmė (sinusas)	cos (kosinusas)	tg (liestinė)	ctg (kotangentas)	sek (sekantas)	cosec (kosekantas)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Jei trigonometrinių funkcijų verčių lentelėje vietoj funkcijos reikšmės nurodomas brūkšnys (liestinė (tg) 90 laipsnių, kotangentė (ctg) 180 laipsnių), tada nurodytai kampo laipsnio mato vertei funkcija neturi konkrečios vertės. Jei brūkšnelio nėra, langelis tuščias, vadinasi, dar neįvedėme reikiamos reikšmės. Mes domimės, kokių užklausų vartotojai kreipiasi į mus ir papildo lentelę naujomis reikšmėmis, nepaisant to, kad dabartinių duomenų apie dažniausiai pasitaikančių kampų reikšmių kosinusų, sinusų ir liestinių reikšmes visiškai pakanka daugeliui išspręsti. problemų.

Trigonometrinių funkcijų sin, cos, tg reikšmių lentelė populiariausiems kampams
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 laipsnių
(skaitinės reikšmės „pagal Bradis lenteles“)

kampo α vertė (laipsniais)	kampo α reikšmė radianais	nuodėmė (sinusas)	cos (kosinusas)	tg (liestinė)	ctg (kotangentas)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Šiame straipsnyje mes labai išsamiai išanalizuosime skaičių apskritimo apibrėžimą, išsiaiškinsime pagrindinę jo savybę ir išdėstysime skaičius 1,2,3 ir kt. Apie tai, kaip pažymėti kitus skaičius apskritime (pvz., \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) supranta .

Skaičių ratas vadinamas vienetinio spindulio apskritimu, kurio taškai atitinka , išdėstyti pagal šias taisykles:

1) pradžia yra kraštutiniame dešiniajame apskritimo taške;

2) Prieš laikrodžio rodyklę – teigiama kryptis; pagal laikrodžio rodyklę – neigiamas;

3) Jei atstumą \(t\) nubraižysime ant apskritimo teigiama kryptimi, tada pateksime į tašką su reikšme \(t\);

4) Jei atstumą \(t\) nubraižysime ant apskritimo neigiama kryptimi, tada pateksime į tašką, kurio reikšmė \(–t\).

Kodėl apskritimas vadinamas skaičių apskritimu?
Nes ant jo yra skaičiai. Tokiu būdu apskritimas panašus į skaičių ašį – ant apskritimo, kaip ir ant ašies, kiekvienam skaičiui yra konkretus taškas.

Kam žinoti, kas yra skaičių apskritimas?
Naudojant skaičių apskritimą, nustatomos sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų reikšmės. Todėl norėdami išmanyti trigonometriją ir išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą su 60+ taškų, turite suprasti, kas yra skaičių apskritimas ir kaip ant jo dėti taškus.

Ką apibrėžime reiškia žodžiai „...vieneto spindulio...“?
Tai reiškia, kad šio apskritimo spindulys lygus \(1\). Ir jei sukonstruosime tokį apskritimą, kurio centras yra ištakoje, tada jis susikirs su ašimis taškuose \(1\) ir \(-1\).

Jis neturi būti nupieštas mažas, galite pakeisti padalų "dydį" išilgai ašių, tada paveikslėlis bus didesnis (žr. toliau).

Kodėl spindulys yra būtent vienas? Taip patogiau, nes tokiu atveju apskaičiuojant apskritimą pagal formulę \(l=2πR\) gauname:

Skaičių apskritimo ilgis yra \(2π\) arba apytiksliai \(6,28\).

Ką reiškia „...kurių taškai atitinka realius skaičius“?
Kaip minėjome aukščiau, bet kurio tikrojo skaičiaus skaičių apskritime tikrai bus jo „vieta“ - taškas, atitinkantis šį skaičių.

Kodėl reikia nustatyti skaičių apskritimo pradžią ir kryptį?
Pagrindinis skaičių apskritimo tikslas yra vienareikšmiškai nustatyti kiekvieno skaičiaus jo tašką. Bet kaip nustatyti, kur dėti tašką, jei nežinote, iš kur skaičiuoti ir kur judėti?

Čia svarbu nepainioti pradžios koordinačių tiesėje ir skaičių apskritime – tai dvi skirtingos atskaitos sistemos! Taip pat nepainiokite \(1\) \(x\) ašyje ir \(0\) apskritime - tai taškai ant skirtingų objektų.

Kurie taškai atitinka skaičius \(1\), \(2\) ir kt.?

Prisiminkite, manėme, kad skaičių apskritimo spindulys yra \(1\)? Tai bus mūsų vieneto segmentas (pagal analogiją su skaičių ašimi), kurį pavaizduosime apskritime.

Norėdami pažymėti tašką skaičių apskritime, atitinkantį skaičių 1, turite pereiti nuo 0 iki atstumo, lygaus spinduliui teigiama kryptimi.

Norėdami pažymėti tašką apskritime, atitinkantį skaičių \(2\), turite nuvažiuoti dviejų spindulių atstumą nuo pradžios, kad \(3\) būtų atstumas, lygus trims spinduliams ir t.

Žiūrėdami į šią nuotrauką, jums gali kilti 2 klausimai:
1. Kas atsitinka, kai ratas „baiiasi“ (t.y. padarome pilną apsisukimą)?
Atsakymas: eikime į antrą turą! O kai baigsis antras, eisime į trečią ir pan. Todėl apskritime galima nubraižyti begalinį skaičių skaičių.

2. Kur bus neigiami skaičiai?
Atsakymas: čia pat! Jie taip pat gali būti išdėstyti, skaičiuojant nuo nulio reikiamą spindulių skaičių, bet dabar neigiama kryptimi.

Deja, skaičių apskritime sunku pažymėti sveikuosius skaičius. Taip yra dėl to, kad skaičių apskritimo ilgis nebus lygus sveikajam skaičiui: \(2π\). O patogiausiose vietose (susikirtimo su ašimis taškuose) taip pat bus trupmenos, o ne sveikieji skaičiai