Цепи переменного тока с катушкой конденсатором и резистором. Параллельное соединение катушки и конденсатора

Для того что бы учесть наличие в конденсаторе активное сопротивление r и индуктивность L , кроме емкости C , вместо надо пользоваться полным сопротивлением конденсатора:

r, z = [Ом]; L = [Гн]; С = [Ф]

Выражение характерно для последовательной эквивалентной схемы конденсатора.

При повышении циклической частоты емкостное сопротивление уменьшается, а индуктивное сопротивление растет, поэтому зависимость должна иметь U – образный характер (рис. 22).

При (резонансная частота) конденсатор ведет себя уже не как емкость, а как индуктивность:

Индуктивность конденсаторов очень мала и ее выражают в мкГн и нГн . Например воздушный образцовый конденсатор с емкостью С = 100 пФ индуктивно L = 10 – 20 нГн ; емкостью С = 1000 пФ – L = 30 – 50 нГн .

В намотанных спиральных конденсаторах большая индуктивность может быть обусловлена витками спирали. В связи с этим вместо обычной намотки со скрытой фольгой была предложена «безындукционная» намотка с выступающей фольгой (рис. 23).

При такой намотке обкладки смещаются к противоположным торцам секции, что дает возможность замыкания накоротко всех витков спирали. Недостаток – увеличенный вес фольги.

Малые значения индуктивности L можно получить и при обычной намотке, если располагать выводные контакты обеих обкладок ближе друг к другу. В намотанном конденсаторе со скрытой фольгой индуктивность в основном определяется длиной той части обкладок, которая заключена между выводными контактами.

В этой части конденсатора направления токов в обеих обкладках в каждый момент времени совпадают, магнитные поля этих токов складываются и это обуславливает наличие индуктивности. Преимущество безындукционной намотки

при совмещенных выводных контактах – уменьшение активного сопротивления обкладок, что дает некоторое снижение активного сопротивления r при резонансе и уменьшает потери в конденсаторе, особенно при высоких частотах. Кроме того, припайка выводов к выступающим краям обмоток дает резкое повышение надежности контактов, по сравнению с вкладными контактами при обычной намотке со скрытой фольгой. В процессе изготовления цилиндрических спиральных конденсаторов с обычной намоткой иногда оказывается целесообразным получать при намотке в одном конденсаторе несколько параллельно или последовательно соединенных секций. Для получения многосекционного конденсатора с параллельным соединением секций одна обкладка является общей для всех секций, а вторую в процессе намотки несколько раз обрывают, образуя отрезки, длина которых определяет емкости отдельных секций (рис. 25).

Для последовательно соединенных секций обрывы фольги приходиться делать в соответствующих участках обеих обкладок. Ставят по два контакта на одну обкладку, чтобы обеспечить противоположные направления токов.

При последовательном включении индуктивности L складываются, а при параллельном включении складываются их обратные значения, поэтому при параллельном соединении индуктивность конденсатора будет меньше, чем индуктивность отдельных секций. Это является одним из способов снижения индуктивности высоковольтных импульсных конденсаторов, используемых в качестве накопителей энергии.

Для того, чтобы свести к минимуму индуктивность соединительных проводов, применяются специальные проходные конденсаторы (рис. 26).

В проходных конденсаторах имеется внутреннее отверстие, сквозь которое пропускается медная шинка, к ней присоединяется один вывод конденсатора, а второй подсоединяется к корпусу. Шинка изолируется от корпуса конденсатора и включается в разрыв защищаемой линии; корпус конденсатора подсоединяется к земле. Емкость таких конденсаторов надо измерять между любым из изолированных выводов и корпусом. В таком конденсаторе соединительные провода имеют минимальную длину и создают малую индуктивность.

При использовании комплексного метода рассматривают уравнения элементов, связывающие комплексы напряжений и токов.

Синусоидам и

поставим в соответствие комплексы:

. Учтем, что умножению синусоиды на число соответствует умножение комплекса на то же число, а производной от синусоиды соответствует умножение ее комплекса на. Из уравнений элементов для мгновенных значений напряжения и тока получим уравнения элементов в комплексах.

Уравнение резистора для мгновенных значений напряжения и тока:

, откуда получаем уравнение резистора в комплексах:

.

(связь действующих значений напряжения и тока резистора),

(связь фаз напряжения и тока).

Последнее означает, что фазы напряжения и тока резистора совпадают (рис. 12.1, рис. 12.2).

Рис. 12.1. Мгновенные значения напряжения и тока резистора.

Рис. 12.2. Векторная диаграмма напряжения и тока резистора.

Уравнение катушки индуктивности для мгновенных значений напряжения и тока: , откуда получаем уравнение катушки индуктивности в комплексах:

.

Рассмотрев модули и аргументы левой и правой частей последнего уравнения, получим (учитывая, что модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей):

(связь действующих значений напряжения и тока катушки),

(связь фаз напряжения и тока)

Последнее означает, что фаза напряжения катушки больше фазы ее тока на (рис. 12.3, рис. 12.4). Величинуобозначаюти называютиндуктивным сопротивлением . Оно измеряется в омах.

Рис. 12.3. Мгновенные значения напряжения и тока катушки индуктивности.

Рис. 12.4. Векторная диаграмма напряжения и тока катушки индуктивности.

Уравнение конденсатора для мгновенных значений напряжения и тока: , откуда получаем уравнение конденсатора в комплексах:

.

Рассмотрев модули и аргументы левой и правой частей последнего уравнения, получим:

(связь действующих значений напряжения и тока конденсатора),

(связь фаз напряжения и тока).

Последнее означает, что фаза тока конденсатора больше фазы его напряжения на (рис. 12.5, рис. 12.6). Величинуобозначаюти называютемкостным сопротивлением . Оно измеряется в омах.

. Рис. 12.5. Мгновенные значения напряжения и тока конденсатора.

Рис. 12.6. Векторная диаграмма напряжения и тока конденсатора.

Сводку уравнений этого параграфа можно представить таблицей:

	мгновенных значений	комплексов	действующих значений
Резистор
Конденсатор

13. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость.

Комплексное сопротивление

Рассмотрим пассивный двухполюсник в синусоидальном режиме (Рис. 13.1). Отношение комплекса напряжения к комплексу тока пассивного двухполюсника называетсякомплексным сопротивлением и обозначаетсяZ :

.

С комплексным сопротивлением связаны следующие величины:

–полное сопротивление,

–активное сопротивление,

–реактивное сопротивление,

–аргумент комплексного сопротивления.

Согласно этим определениям, комплексное сопротивление можно представить в виде

Из определения комплексного сопротивления следуют равенства:

Комплексное сопротивление изображают в виде “треугольника сопротивлений” (рис. 13.2).

Комплексному сопротивлению не соответствует никакая синусоида. В электротехнике над обозначениями таких величин точки не ставят, а на диаграммах не рисуют стрелки. Реактивное сопротивление, в отличие от активного, может быть отрицательным.

Пример: последовательное соединение резистора и катушки индуктивности (рис. 13.3 - 13.5).

При последовательном соединении двухполюсников их напряжения складываются (вследствие 2-го закона Кирхгофа). Поэтому

.

Из последней формулы видно, что комплексное сопротивление последовательного соединения резистора и катушки можно получить сложением комплексных сопротивлений резистора R и катушкиj L .

В се правила и формулы для эквивалентных преобразований обычных сопротивлений и проводимостей годятся и для комплексных сопротивлений и проводимостей . Это следствие сохранения законов Кирхгофа при переходе к комплексам.

Напряжение двухполюсника складывается из двух составляющих. Одна из них совпадает по фазе с током и называетсяактивной составляющей напряжения , а вторая сдвинута относительно тока наи называетсяреактивной составляющей напряжения . В нашем примере

- активная, а- реактивная составляющая напряжения.

Комплексная проводимость

Отношение комплекса тока к комплексу напряжения пассивного двухполюсника называется комплексной проводимостью и обозначается:

.

С комплексной проводимостью связаны следующие величины:

–полная проводимость,

–активная проводимость,

–реактивная проводимость,

–аргумент комплексного сопротивления.

Согласно этим определениям, комплексную проводимость можно представить в виде

Из определения комплексной проводимости следуют равенства

.

Комплексную проводимость изображают в виде “треугольника проводимостей” (рис. 13.6).

Реактивная проводимость, в отличие от активной, может быть отрицательной.

Отметим также, что .

Пример : параллельное соединение резистора и конденсатора (рис. 13.7 - 13.10).

При параллельном соединении двухполюсников их токи складываются (вследствие 1-го закона Кирхгофа). Поэтому

.

Из последней формулы видно, что комплексную проводимость параллельного соединения резистора и конденсатора можно получить сложением комплексных проводимостей резистора G и конденсатораj С .

Ток двухполюсника складывается из двух составляющих. Одна из них совпадает по фазе с напряжением и называетсяактивной составляющей тока , а вторая сдвинута относительно напряжения наи называетсяреактивной составляющей тока . В нашем примере- активная, а- реактивная составляющая тока.

При последовательном соединении катушки и конденсатора на расчетной схеме каждый из этих элементов электрической цепи может быть представлен активным и реактивным сопротивлениями или активной и реактивной проводимостями.

Для расчета более простой является схема рис. 14.1, а, где элементы соединены последовательно, а в схеме рис. 14.1, б они соединены смешанно.

Предположим известными параметры катушки R1, L и конденсатора R2, C; ток в цепи i = I m sinωt .

Требуется определить напряжение на участках цепи и мощность.

Векторная диаграмма и полное сопротивление цели

Мгновенную величину общего напряжения можно представить суммой мгновенных напряжений на отдельных элементах схемы:

u = u 1R + u L + u C + u 2R ,

Имея в виду несовпадение по фазе активных и реактивных напряжений, общее напряжение получим векторным сложением:

U = U 2R + U L + U C +U 2R

Для построения векторной диаграммы находим:

U 1R = IR 1 ; U 2R = IR 2 ; U L = IX L ; U C = IX C .

В зависимости от соотношения величин реактивных сопротивлений индуктивности и емкости можно отметить три случая:

1. Х L >Х C . Для этого случая векторная диаграмма представлена на рис. 14.2. На диаграмме построены треугольники напряжений для катушки и конденсатора и найдены векторы напряжения U 1 и U 2 на этих элементах.

Векторная сумма напряжений U 1 + U 2 = U дает общее напряжение в цепи. Вместе с тем вектор U является гипотенузой прямоугольного треугольника напряжений, катеты которого - активное и реактивное напряжения цепи (U а и U р ). Так как векторы активных составляющих напряжения направлены в одну сторону, их численные значения складываются: U a = U 1R + U 2R.

Векторы реактивных составляющих напряжения направлены по одной прямой в противоположные стороны, поэтому им придают разные знаки: реактивное напряжение индуктивности считают положительным, а напряжение емкости - отрицательным: U р = U L — U C .

При одинаковом токе во всех элементах цепи U L >U C . Ток отстает от общего напряжения по фазе на угол φ . Из треугольника напряжений следует

где R = R 1 + R 2 и X = X L — X C общее и активное и реактивное сопротивление цепи. Полное сопротивление цепи — Z.

Эти сопротивления графически можно изобразить сторонами прямоугольного треугольника сопротивлений, который получают уже известным способом из треугольника напряжений.

Полное сопротивление цепи Z является коэффициентом пропорциональности между действующими величинами тока и общего напряжения цепи:

U = IZ; I = U/Z; Z = U/I.

Из треугольников напряжения и сопротивлений определяют следующие величины:

Угол сдвига по фазе между напряжением и током в цепи положительный (φ >0) (фазовые токи отсчитываются от вектора тока).

2. Х L < Х C Векторная диаграмма изображена на рис. 14.3, где U L φ <0.

Р е активное сопротивление цепи носит емкостный характер .

Расчетные формулы для первого случая остаются без изменения и для второго случая.

3. X L = Х C . В этом случае реактивные составляющие напряжения катушки и конденсатора равны по величине и взаимно компенсированы: U L = U C (рис. 14.4). Поэтому реактивная составляющая общего напряжения и общее реактивное сопротивление равны нулю, а полное сопротивление цепи Z = R.

Общее напряжение совпадает по фазе с током и равно по величине активной

составляющей напряжения.

Угол φ сдвига фаз между током и общим напряжением равен нулю.

Ток в цепи и общее напряжение связаны формулой

U = IR, или I = U/R.

В случае X L = Х C в цепи имеет место явление резонанса напряжений.

Энергетический процесс в цепи с последовательном соединении конденсатора и катушки

Из треугольника напряжений легко получить треугольник мощностей из которого следуют уже известные формулы:

Реактивные мощности входят в расчеты также с разными знаками: индуктивная мощность положительна, а емкостная — отрицательна.

В соответствии с этим знак реактивной мощности всей цепи может быть тем или другим, что следует и из формул (14.2).
При φ>0 Q>0 ; при φ<0 Q<0.

Активная мощность положительна при любом угле, так как cosφ = cos(-φ ).

Полная мощность также всегда положительна. На основании формул (14.2) можно сделать вывод, что в рассматриваемой цепи совершается преобразование электрической энергии (Р ≠ 0) и обменный процесс между генератором и приемником (Q ≠ 0 при φ ≠ 0).

Энергетические процессы в данном случае сложнее, чем в ранее рассмотренных простых цепях. Усложнение объясняется тем, что наряду с обменом энергией между генератором и приемником совершается обмен энергией внутри приемника, между катушкой и конденсатором.

Особенности энергетического процесса в цепи с последовательным соединением катушки и конденсаторов отражены на рис. 14.5, где показаны графики мгновенной мощности отдельных элементов и цепи в целом при X L = Х С .

Катушка и конденсатор в течение полупериода накапливают равные количества энергии. Однако в первую четверть периода, когда ток увеличивается, а напряжение на конденсаторе уменьшается, энергия накапливается в магнитном поле катушки и уменьшается в электрическом поле конденсатора, причем скорость изменения энергии (мощность) в любой момент времени одинакова. Это дает основание считать, что обмен энергией происходит только в приемнике между катушками
и конденсатором.

Для преобразования электрической энергии в другой вид приемник получает ее от генератора со средней скоростью (мощностью) Р.

Задачи по теме и пример решения задачи для схемы с последовательным соединением конденсатора и катушки