რეკლამა პორტალზე

კვადრატული განტოლებები და უტოლობები პარამეტრით. სახელმძღვანელო "განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებთან" ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნის მეთოდები პარამეტრით

გადახედვა:

მოსკოვის რეგიონის განათლების სამინისტრო

სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულება NPO No37 პროფესიული სასწავლებელი

პროექტი:

კვადრატული განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებთან"

Შესრულებული -

მაცუკ გალინა ნიკოლაევნა,

მათემატიკის მასწავლებელი, სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულების NPO

№37 პროფესიული სასწავლებელი MO.

გ.ნოგინსკი, 2011 წ

1. შესავალი

4. საწყის პირობებში კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდოლოგია.

6. კვადრატული უტოლობების ამოხსნის მეთოდოლოგია პარამეტრებით ზოგადი ფორმით.

7. საწყის პირობებში კვადრატული უტოლობების ამოხსნის მეთოდოლოგია.

8. დასკვნა.

9.ლიტერატურა.

  1. შესავალი.

პროფესიულ სასწავლებელში მათემატიკის სწავლების მთავარი ამოცანაა უზრუნველყოს სტუდენტების ძლიერი და შეგნებული ოსტატობა მათემატიკური ცოდნისა და უნარების სისტემის შესახებ, რომელიც აუცილებელია ყოველდღიურ ცხოვრებაში და სამუშაოში, საკმარისია შესაბამისი დისციპლინების შესასწავლად და უწყვეტი განათლებისთვის, აგრეთვე პროფესიულ საქმიანობაში. მოითხოვს საკმარისად მაღალ მათემატიკურ კულტურას.

პროფილური მათემატიკის სწავლება ტარდება ლითონის დამუშავების, ელექტროსამონტაჟო სამუშაოების, ხის დამუშავების პროფესიებთან დაკავშირებული გამოყენებითი პრობლემების გადაჭრით. თანამედროვე საზოგადოებაში ცხოვრებისთვის მნიშვნელოვანია მათემატიკური კომუნიკაციის სტილის განვითარება, რომელიც გამოიხატება გარკვეულ გონებრივ უნარებში. პარამეტრებთან დაკავშირებულ პრობლემებს აქვს დიაგნოსტიკური და პროგნოზული მნიშვნელობა. მათი დახმარებით შეგიძლიათ შეამოწმოთ თქვენი ცოდნა დაწყებითი მათემატიკის ძირითადი სექციების, ლოგიკური აზროვნების დონისა და საწყისი კვლევის უნარების შესახებ.

პარამეტრებით დავალებების სწავლება მოსწავლეებს მოითხოვს დიდი გონებრივი და ნებაყოფლობითი ძალისხმევა, განვითარებული ყურადღება და ისეთი თვისებების გამომუშავება, როგორიცაა აქტივობა, შემოქმედებითი ინიციატივა და კოლექტიური შემეცნებითი მუშაობა. პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემები ორიენტირებულია შესწავლაზე მე-2 კურსზე ზოგადი გამეორების დროს, საბოლოო სახელმწიფო სერთიფიკატის მომზადებისთვის და მე-3 წელს დამატებით კლასებში მოსამზადებლად სტუდენტებისთვის, რომლებმაც გამოთქვეს სურვილი, ჩააბარონ საბოლოო გამოცდები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის სახით. .

მათემატიკური განათლების მოდერნიზაციის ძირითადი მიმართულებაა ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის შემოღების გზით საბოლოო სერტიფიცირების მექანიზმების შემუშავება. ბოლო წლებში მათემატიკის დავალებაში პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემები დაინერგა. ასეთი დავალებები საჭიროა უნივერსიტეტის მისაღები გამოცდებისთვის. ასეთი პრობლემების გამოჩენა ძალზე მნიშვნელოვანია, რადგან მათი დახმარებით ისინი ამოწმებენ განმცხადებლის ოსტატობას ელემენტარული მათემატიკის ფორმულებში, განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდებს, მსჯელობის ლოგიკური ჯაჭვის აგების უნარს და განმცხადებლის ლოგიკური აზროვნების დონეს. . წინა წლების ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის შედეგების ანალიზი აჩვენებს, რომ კურსდამთავრებულებს უჭირთ ასეთი ამოცანების გადაჭრა და ბევრი არც კი იწყებს მათ. უმეტესობა ან საერთოდ ვერ უმკლავდება ასეთ ამოცანებს, ან იძლევა რთულ გამოთვლებს. ამის მიზეზი სასკოლო სახელმძღვანელოებში ამ თემაზე დავალებების სისტემის არარსებობაა. ამასთან დაკავშირებით, საჭირო იყო სამაგისტრო ჯგუფებში სპეციალური თემების გატარება გამოცდებისთვის მოსამზადებლად პროფესიულ ორიენტაციასთან დაკავშირებული პარამეტრებისა და გამოყენებითი ხასიათის პრობლემების გადაჭრის შესახებ.

ამ თემების შესწავლა განკუთვნილია მე-3 კურსის სტუდენტებისთვის, რომელთაც სურთ ისწავლონ ალგებრაში გაზრდილი სირთულის პრობლემების გადაჭრა და ანალიზის დასაწყისი. ასეთი პრობლემების გადაჭრა მათ მნიშვნელოვან სირთულეებს უქმნის. ეს გამოწვეულია იმით, რომ თითოეული განტოლება ან უტოლობა პარამეტრებთან წარმოადგენს ჩვეულებრივი განტოლებებისა და უტოლობების მთელ კლასს, რომელთაგან თითოეულისთვის გამოსავალი უნდა იქნას მიღებული.

პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის პროცესში, ადამიანის აზროვნების ტექნიკისა და მეთოდების არსენალი ბუნებრივად მოიცავს ინდუქციას და დედუქციას, განზოგადებას და დაზუსტებას, ანალიზს, კლასიფიკაციას და სისტემატიზაციას და ანალოგიას. ვინაიდან პროფესიულ სასწავლებლებში სასწავლო პროგრამა ითვალისწინებს მათემატიკაში კონსულტაციებს, რომლებიც შედის გაკვეთილების განრიგში, სტუდენტებისთვის, რომლებსაც აქვთ საკმარისი მათემატიკური მომზადება, ინტერესდებიან შესასწავლი საგნით და აქვთ უნივერსიტეტში ჩაბარების შემდგომი მიზანი, მიზანშეწონილია. გამოიყენოს მითითებული საათები ოლიმპიადებისთვის, მათემატიკური შეჯიბრებების, სხვადასხვა ტიპის გამოცდებისთვის, კერძოდ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებლად პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების გადასაჭრელად. ასეთი პრობლემების გადაჭრა განსაკუთრებით აქტუალურია გამოყენებითი და პრაქტიკული მიზნებისთვის, რაც ხელს შეუწყობს სხვადასხვა კვლევების ჩატარებას.

2. მიზნები, ძირითადი ამოცანები, მეთოდები, ტექნოლოგიები, ცოდნის მოთხოვნები.

პროექტის მიზნები:

  • პარამეტრებით ამოცანების გადაჭრის შესაძლებლობებისა და უნარების ჩამოყალიბება, რომელიც მთავრდება კვადრატული განტოლებებისა და უტოლობების შესწავლით.
  • საგნისადმი ინტერესის ჩამოყალიბება, მათემატიკური შესაძლებლობების განვითარება, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადება.
  • განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის ტექნიკისა და მეთოდების მათემატიკური გაგების გაფართოება.
  • ლოგიკური აზროვნების და კვლევის უნარების განვითარება.
  • შემოქმედებით, კვლევით და საგანმანათლებლო საქმიანობაში ჩართვა.
  • დამოუკიდებელი შემოქმედებითი მუშაობისთვის პირობების უზრუნველყოფა.
  • მოსწავლეთა გონებრივი და ნებაყოფლობითი ძალისხმევის ხელშეწყობა, განვითარებული ყურადღება, აქტივობა, შემოქმედებითი ინიციატივა და კოლექტიური შემეცნებითი მუშაობის უნარები.

პროექტის ძირითადი მიზნები:

  • მიეცით მოსწავლეებს შესაძლებლობა გააცნობიერონ მათემატიკის მიმართ ინტერესი და მისი განვითარების ინდივიდუალური შესაძლებლობები.
  • ხელი შეუწყოს ფაქტობრივი ცოდნისა და უნარების შეძენას.
  • აჩვენეთ პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების პრაქტიკული მნიშვნელობა გამოყენებითი კვლევის სფეროში.
  • ასწავლეთ სტანდარტული და არასტანდარტული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდები.
  • მათემატიკაში ცოდნის გაღრმავება, საგნისადმი მდგრადი ინტერესის ჩამოყალიბების უზრუნველყოფა.
  • მოსწავლეთა მათემატიკური შესაძლებლობების ამოცნობა და განვითარება.
  • მოემზადეთ უნივერსიტეტებში შესასვლელად.
  • მომზადება პროფესიული საქმიანობისთვის, რომელიც მოითხოვს მაღალ მათემატიკურ კულტურას.
  • კვლევითი და საპროექტო აქტივობების ორგანიზება, რომელიც ხელს უწყობს ინტელექტუალური და კომუნიკაციური უნარების განვითარებას.

გაკვეთილების დროს გამოყენებული მეთოდები:

  • ლექცია – თეორიული მასალის გადმოცემა სტუდენტებთან საუბრის თანხლებით.
  • სემინარები - თეორიის განხილვის მასალის კონსოლიდაცია.
  • სემინარები – მათემატიკური ამოცანების ამოხსნისთვის.
  • დისკუსიები - თქვენი გადაწყვეტილებების არგუმენტების მოწოდება.
  • ჯგუფური და ინდივიდუალური აქტივობების სხვადასხვა ფორმა.
  • კვლევითი აქტივობები, რომლებიც ორგანიზებულია: დიდაქტიკური მასალებთან მუშაობა, გზავნილების მომზადება, რეფერატების დაცვა და შემოქმედებითი ნამუშევრები.
  • ლექციები - პრეზენტაციები კომპიუტერისა და პროექტორის გამოყენებით.

გამოყენებული ტექნოლოგიები:

  • ლექცია-სემინარის სასწავლო სისტემა.
  • საინფორმაციო და საკომუნიკაციო ტექნოლოგიები.
  • სწავლების კვლევის მეთოდი, რომელიც მიზნად ისახავს სააზროვნო უნარების განვითარებას.
  • პრობლემაზე დაფუძნებული სწავლება, რომელიც იძლევა კვლევის მოტივაციას პრობლემის დასმით, პრობლემის სხვადასხვა ვარიანტების განხილვით.
  • აქტივობის მეთოდის ტექნოლოგია, რომელიც ეხმარება მოსწავლეთა შემეცნებითი ინტერესების განვითარებას.

მოთხოვნები მოსწავლეთა ცოდნისადმი.

კვადრატული განტოლებებისა და უტოლობების პარამეტრებით ამოხსნის სხვადასხვა გზების შესწავლის შედეგად მოსწავლეებმა უნდა შეიძინონ უნარ-ჩვევები:

  • მყარად გაითვალისწინეთ პარამეტრის კონცეფცია კვადრატულ განტოლებაში და კვადრატულ უტოლობაში;
  • შეძლოს კვადრატული განტოლებების ამოხსნა პარამეტრებით.
  • შეძლოს კვადრატული უტოლობების ამოხსნა პარამეტრებით.
  • იპოვეთ კვადრატული ფუნქციის ფესვები.
  • შექმენით კვადრატული ფუნქციების გრაფიკები.
  • გამოიკვლიეთ კვადრატული ტრინომიალი.
  • იდენტურობის ტრანსფორმაციის რაციონალური მეთოდების გამოყენება.
  • გამოიყენეთ ყველაზე ხშირად გამოყენებული ევრისტიკული ტექნიკა.
  • შეძლოს მიღებული ცოდნის გამოყენება პერსონალურ კომპიუტერზე მუშაობისას.

კონტროლის ფორმები.

  • გაკვეთილები – ამხანაგების თვითშეფასებები და შეფასებები.
  • საგანმანათლებლო პროექტების პრეზენტაცია.
  • ტესტირება.
  • რეიტინგი - ცხრილი.
  • საშინაო დავალება წინა წლების ერთიანი სახელმწიფო გამოცდების კრებულებიდან.
  • სატესტო ფურცლები.

3. კვადრატული განტოლებების ზოგადი ფორმით პარამეტრებით ამოხსნის მეთოდოლოგია.

ნუ შეგეშინდებათ პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების. უპირველეს ყოვლისა, განტოლებებისა და უტოლობების პარამეტრებით ამოხსნისას, თქვენ უნდა გააკეთოთ ის, რაც კეთდება ნებისმიერი განტოლებისა და უტოლობის ამოხსნისას - შეამცირეთ მოცემული განტოლებები ან უტოლობა უფრო მარტივ ფორმაზე, თუ ეს შესაძლებელია: რაციონალური გამოსახულებების ფაქტორიზაცია, შემცირება, ჩასმა. ფაქტორი ფრჩხილებიდან და ა.შ. დ. არის პრობლემები, რომლებიც შეიძლება დაიყოს ორ დიდ კლასად.

პირველი კლასი მოიცავს მაგალითებს, რომლებშიც აუცილებელია განტოლების ან უტოლობის ამოხსნა პარამეტრის ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის.

მეორე კლასში შედის მაგალითები, რომლებშიც საჭიროა არა ყველა შესაძლო გადაწყვეტის პოვნა, არამედ მხოლოდ ის, რომელიც აკმაყოფილებს დამატებით პირობებს. ასეთი პრობლემების კლასი ამოუწურავია.

მოსწავლეებისთვის ყველაზე გასაგები გზა ასეთი ამოცანების გადასაჭრელად არის ჯერ იპოვონ ყველა გამოსავალი და შემდეგ შეარჩიონ ის, რომელიც აკმაყოფილებს დამატებით პირობებს.

პარამეტრებით ამოცანების ამოხსნისას, ზოგჯერ მოსახერხებელია გრაფიკების აწყობა ჩვეულებრივ სიბრტყეში (x, y), ზოგჯერ კი უკეთესია გრაფიკების განხილვა სიბრტყეში (x, a), სადაც x არის დამოუკიდებელი ცვლადი და "a" არის პარამეტრი. ეს, უპირველეს ყოვლისა, შესაძლებელია იმ პრობლემაში, სადაც თქვენ უნდა ააგოთ ნაცნობი ელემენტარული გრაფიკები: სწორი ხაზები, პარაბოლები, წრეები და ა.შ. გარდა ამისა, გრაფიკების ესკიზები ზოგჯერ ეხმარება ნათლად დაინახოს გადაწყვეტის "პროგრესი".

განტოლებების f (x,a) = 0 და f (x,a) › 0 უტოლობების ამოხსნისას უნდა გვახსოვდეს, რომ უპირველეს ყოვლისა გამოსავალი განიხილება იმ პარამეტრის იმ მნიშვნელობებისთვის, რომლებზეც კოეფიციენტი ყველაზე მაღალია. f (x ,a) კვადრატული ტრინომის x სიმძლავრე, რითაც მცირდება ხარისხი. კვადრატული განტოლება A(a) x 2 + B(a) x + C(a) = 0 A(a)-ზე = 0 იქცევა წრფივად, თუ B(a) ≠ 0, ხოლო კვადრატული და წრფივი განტოლებების ამოხსნის მეთოდები განსხვავებულია.

გავიხსენოთ კვადრატულ განტოლებებთან მუშაობის ძირითადი ფორმულები.

აჰ ფორმის განტოლება 2 + in + c = 0, სადაც x  R არის უცნობი, a, b, c არის გამონათქვამები, რომლებიც დამოკიდებულია მხოლოდ პარამეტრებზე, ხოლო ≠ 0-ს ეწოდება კვადრატული განტოლება, და D = b 2 – 4ac ეწოდება კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტს.

თუ დ

თუ D > 0, მაშინ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს

x 1 = , x 2 = , და შემდეგ ax 2 + in + c = a (x – x 1) (x – x 2).

ეს ფესვები დაკავშირებულია განტოლების კოეფიციენტებით ვიეტას ფორმულებით

თუ D = 0, მაშინ განტოლებას აქვს ორი ემთხვევა ფესვი x 1 = x 2 = , და შემდეგ ax 2 + in + c = a (x – x 1) 2 . ამ შემთხვევაში, განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი.

როდის, ე.ი. = 2k, კვადრატული განტოლების ფესვები განისაზღვრება x ფორმულით 1,2 = ,

შემცირებული კვადრატული განტოლების ამოხსნა x 2 + px + q = 0

გამოყენებული ფორმულა არის x 1,2 = - , ასევე ვიეტას ფორმულები

მაგალითები. განტოლებების ამოხსნა:

მაგალითი 1. + =

გამოსავალი:

≠ - 1, x ≠ 2-ისთვის ვიღებთ x 2 + 2ax – 3b + 4 = 0 და ფესვები

x 1 = - a - , x 2 = -a + , არსებული

A 2 + 2a – 4  0, ე.ი. ზე

ახლა შევამოწმოთ არის თუ არა ისეთი, რომ x 1 ან x 2 უდრის 2-ს. ჩაანაცვლეთ x = 2 კვადრატულ განტოლებაში და მივიღებთ a = - 8-ს.

მეორე ფესვი ამ შემთხვევაში უდრის(ვიეტას თეორემის მიხედვით) და a = - 8 უდრის 14-ს.

პასუხი: a = - 8-ისთვის ერთადერთი ამონახსნი არის x = 14;

თუ a  (- ∞; - 8)  (- 8; - 4)  (1; + ∞) – ორი ფესვი x 1 და x 2;

თუ a = - ერთადერთი გამოსავალი x =შესაბამისად;

თუ a  (- 4; 1), მაშინ x   .

ზოგჯერ განტოლებები წილადებით მცირდება კვადრატულ ნაწილებად. განვიხილოთ შემდეგი განტოლება.

მაგალითი 2. - =

ამოხსნა: როდესაც a = 0 არ აქვს აზრი, მნიშვნელობა x უნდა აკმაყოფილებდეს პირობებს: x -1, x  -2. განტოლების ყველა წევრის გამრავლება a-ზე (x + 1) (x +2) 0,

ვიღებთ x 2 – 2(a – 1)x + a 2 – 2a – 3 = 0, ამის ექვივალენტი. მისი ფესვები:

x 1 = a + 1, x 2 = - 3. ავირჩიოთ ამ ფესვებიდან უცხო ფესვები, ე.ი. ისინი, რომლებიც უდრის – 1 და – 2:

X 1 = a + 1 = - 1, a = - 2, მაგრამ a = - 2 x 2 = - 5;

X 1 = a + 1 = - 2, a = - 3, მაგრამ a = - 3 x 2 = - 6;

X 2 = a - 3 = - 1, a = 2, მაგრამ a = 2 x 1 = 3;

X 2 = a - 3 = - 2, a = 1, მაგრამ a = 1 x 1 = 2.

პასუხი: ≠ 0-სთვის, a ≠ 2, a ≠ - 3, a ≠ 1 x 1 = a + 1, x 2 = a – 3;

როდესაც a = - 2 x = - 5; როდესაც a = - 3 x = - 6.

4. საწყის პირობებში კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მეთოდოლოგია.

პარამეტრული კვადრატული განტოლებების პირობები მრავალფეროვანია. მაგალითად, თქვენ უნდა იპოვოთ პარამეტრის მნიშვნელობა, რომლის ფესვებია: დადებითი, უარყოფითი, აქვს სხვადასხვა ნიშნები, გარკვეული რიცხვზე მეტი ან ნაკლები და ა.შ. მათ გადასაჭრელად თქვენ უნდა გამოიყენოთ კვადრატული განტოლების ცულის ფესვების თვისებები 2 + in + c = 0.

თუ D > 0, a > 0, მაშინ განტოლებას აქვს ორი რეალური განსხვავებული ფესვი, რომლის ნიშნები c > 0-სთვის იგივეა და საპირისპიროა b კოეფიციენტის ნიშნის, ხოლო c-სთვის.

თუ D = 0, a > 0, მაშინ განტოლებას აქვს რეალური და ტოლი ფესვები, რომლის ნიშანი საპირისპიროა b კოეფიციენტის ნიშნის.

თუ D 0, მაშინ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები.

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია დავადგინოთ a-სთვის კვადრატული განტოლების ფესვების თვისებები

  1. თუ კვადრატულ განტოლებაში გავცვლით a და c კოეფიციენტებს, მივიღებთ განტოლებას, რომლის ფესვები არის მოცემულის ფესვების შებრუნებული.
  2. თუ კვადრატულ განტოლებაში შევცვლით b კოეფიციენტის ნიშანს, მივიღებთ განტოლებას, რომლის ფესვები საპირისპიროა მოცემული ფესვების.
  3. თუ კვადრატულ განტოლებაში a და c კოეფიციენტებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ, მაშინ მას რეალური ფესვები აქვს.
  4. თუ a > 0 და D = 0, მაშინ კვადრატული განტოლების მარცხენა მხარე არის სრული კვადრატი და პირიქით, თუ განტოლების მარცხენა მხარე არის სრული კვადრატი, მაშინ a > 0 და D = 0.
  5. თუ განტოლების ყველა კოეფიციენტი რაციონალურია და დისკრიმინანტი გამოხატავს სრულყოფილ კვადრატს, მაშინ განტოლების ფესვები რაციონალურია.
  6. თუ გავითვალისწინებთ ფესვების მდებარეობას ნულთან მიმართებაში, მაშინ გამოვიყენებთ ვიეტას თეორემას.

კვადრატული ტრინომის ფესვების შერჩევა რიცხვთა წრფეზე კვადრატული ფუნქციის ნულების პირობებისა და მდებარეობის მიხედვით.

მოდით f (x) = ax 2 + in + c, a  0, ფესვები x 1 ˂ x 2,  ˂ .

ფესვების მდებარეობა რიცხვთა ხაზზე.

აუცილებელი და საკმარისი პირობა.

x 1, x 2

და f ( ) > 0, D  0, x 0

x 1, x 2 > 

და f ( ) > 0, D  0, x 0 > 

x 1 2

და f ( )

1, x 2  .

და f ( ) > 0, D  0, და f ( ) > 0

0  .

1 2

და f ( ) > 0, და f ( )

x 1 2

და f ( )  ) > 0

x 1 2

და f ( )  )

მაგალითი 3. განსაზღვრეთ განტოლების რა მნიშვნელობებზე

x 2 – 2 (a – 1) x + 2a + 1 = 0

  • ფესვები არ აქვს:

აუცილებელი და საკმარისი პირობა დ

D = (a – 1) 2 – 2a – 1 = a 2 – 4a

  • აქვს ფესვები:

D  0, D = (a – 1) 2 – 2a – 1  0, a 

  • აქვს ერთი ფესვი:
  • აქვს ორი ფესვი:

D > 0, ე.ი. a 

  • აქვს დადებითი ფესვები:

2(a – 1) > 0   a  4

თუ კითხვა არის "აქვს ორი დადებითი ფესვი", მაშინ სისტემა უნდა შეიცვალოს D > 0;

  • აქვს უარყოფითი ფესვები:

2 (a – 1)  

  • აქვს სხვადასხვა ნიშნის ფესვები, ე.ი. ერთი დადებითი და მეორე უარყოფითი:

  ა ;


მდგომარეობა არ არის საჭირო მისი გამოყენება, x საკმარისია 1 x 2

  • აქვს ერთ-ერთი ფესვი 0-ის ტოლი:

აუცილებელი საკმარისი პირობაა, რომ განტოლების თავისუფალი წევრი იყოს ნულის ტოლი, ე.ი. 2a + 1 = 0, a = -1/2.

მეორე ფესვის ნიშანი განისაზღვრება ან a = -1/2 ჩანაცვლებით თავდაპირველ განტოლებაში, ან, უფრო მარტივად, ვიეტას x თეორემით. 1 + x 2 = 2 (a – 1), ხოლო a = -1/2 ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ x 2 = - 3, ე.ი. a = -1/2 ორი ფესვისთვის: x 1 = 0, x 2 = - 3.

მაგალითი 4 . პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზე აკეთებს განტოლება

(a – 2) x 2 – 4ax +3 -2a = 0 აქვს უნიკალური ამონახსნები, რომელიც აკმაყოფილებს x უტოლობას

გამოსავალი.

დისკრიმინანტი 2 – (a – 2)(3 – 2a)

4a 2 – 3a + 6 + 2a 2 – 4a = 6a 2 – 7a + 6

49 წლიდან - 144 = - 95 და პირველი კოეფიციენტი არის 6შემდეგ 6a 2 – 7a + 6 ყველა x  R.

შემდეგ x 1.2 = .

პრობლემის პირობების მიხედვით x2, მაშინ მივიღებთ უტოლობას

Ჩვენ გვაქვს:

მართალია ყველასთვის a  R.

6a 2 – 7a + 6 6a 2 – 7a - 10 2

A 1.2 = 1/12 (7  17) და 1 = 2 და 2 = - 5/6.

ამიტომ -5/6

პასუხი: -

5. პარამეტრი, როგორც თანაბარი ცვლადი.

ყველა გაანალიზებულ ამოცანაშიპარამეტრი განიხილებოდა როგორც ფიქსირებული, მაგრამ უცნობი რიცხვი. იმავდროულად, ფორმალური თვალსაზრისით, პარამეტრი არის ცვლადი და "თანაბარი" მაგალითში წარმოდგენილი სხვებისთვის. მაგალითად, ფორმის f (x; a) პარამეტრის ამ ხედვით ფუნქციები განისაზღვრება არა ერთით (როგორც ადრე), არამედ ორი ცვლადით. ასეთი ინტერპრეტაცია ბუნებრივად აყალიბებს პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების სხვა ტიპს (უფრო სწორად, გადაწყვეტის მეთოდს, რომელიც განსაზღვრავს ამ ტიპს). მოდით ვაჩვენოთ ამ ტიპის ანალიტიკური გადაწყვეტა.

მაგალითი 5. xy სიბრტყეზე მიუთითეთ ყველა ის წერტილი, რომლებზეც y = x ოჯახის არცერთი მრუდი არ გადის 2 – 4рх + 2р 2 – 3, სადაც p არის პარამეტრი.

ამოხსნა: თუ (x 0;y 0 ) არის წერტილი, რომელშიც მოცემული ოჯახის არცერთი მრუდი არ გადის, მაშინ ამ წერტილის კოორდინატები არ აკმაყოფილებს თავდაპირველ განტოლებას. შესაბამისად, პრობლემა ჩამოყალიბდა x-სა და y-ს შორის კავშირის პოვნამდე, რომ პირობით მოცემულ განტოლებას არ ექნებოდა ამონახსნები. სასურველი დამოკიდებულების მიღება ადვილია არა x და y ცვლადებზე, არამედ p პარამეტრზე ფოკუსირებით. ამ შემთხვევაში წარმოიქმნება პროდუქტიული აზრი: განიხილე ეს განტოლება კვადრატულად პ-სთან მიმართებაში. Ჩვენ გვაქვს

2р 2 – 4рх+ x 2 – y – 3 = 0. დისკრიმინანტი= 8x2 + 8y + 24 უარყოფითი უნდა იყოს. აქედან ვიღებთ y ˂ - x 2 – 3, მაშასადამე, საჭირო სიმრავლე არის კოორდინატთა სიბრტყის ყველა წერტილი, რომელიც მდებარეობს პარაბოლის ქვეშ y = - x. 2 – 3.

პასუხი: y 2 – 3

6. კვადრატული უტოლობების პარამეტრებით ამოხსნის მეთოდოლოგია

Ზოგადად.

ფორმის კვადრატული (მკაცრი და არამკაცრი) უტოლობა

მისაღები მნიშვნელობები არის პარამეტრის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც მოქმედებს a, b, c. მოსახერხებელია კვადრატული უტოლობების ამოხსნა ან ანალიზურად ან გრაფიკულად. ვინაიდან კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, მაშინ a > 0-ისთვის პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ,

პარაბოლის სხვადასხვა პოზიციები f (x) = ცული 2 + in + s, a  0 > 0-ისთვის ნაჩვენებია ნახ. 1-ში

ა) ბ) გ)

ა) თუ f (x) > 0 და D  R;

ბ) თუ f (x) > 0 და D = 0, მაშინ x ;

გ) თუ f (x) > 0 და D > 0, მაშინ x (-  ; x 1 )  (x 2 ; +  ).

პარაბოლის პოზიციები განიხილება ანალოგიურად ა

მაგალითად, სამი შემთხვევიდან ერთ-ერთი, როცა

0-სთვის და f (x) > 0 x  (x 1; x 2);

0-სთვის და f (x)  (-  ; x 1 )  (x 2 ; +  ).

მაგალითად, განვიხილოთ უტოლობის ამოხსნა.

მაგალითი 6. უტოლობის ამოხსნა x 2 + 2x + a > 0.

მოდით D იყოს x ტრინომის დისკრიმინანტი 2 + 2x + a > 0. D = 0-სთვის, a = 1-ისთვის, უტოლობა იღებს ფორმას:

(x + 1) 2 > 0

ეს მართალია x-ის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობისთვის x = - 1-ის გარდა.

როდესაც D > 0, ე.ი. x-ზე, ტრინომია x 2 + 2x + a-ს აქვს ორი ფესვი: - 1 -და

1 + ხოლო უტოლობის ამოხსნა არის ინტერვალი

(-  ; - 1 – )  (- 1 + ; +  )

ეს უთანასწორობა ადვილად ამოსახსნელია გრაფიკულად. ამისათვის მოდით წარმოვადგინოთ იგი ფორმაში

X 2 + 2x > - a

და ააგეთ y = x ფუნქციის გრაფიკი 2 + 2x

ამ გრაფიკის გადაკვეთის წერტილების აბსცისები y = - a წრფესთან არის x განტოლების ფესვები. 2 + 2x = - a.

პასუხი:

–a > - 1-ისთვის, ე.ი. ზე ა, x  (-  ; x 1 )  (x 2 ;+  );

at – a = - 1, ე.ი. a = 1-ისთვის, x არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, გარდა - 1-ისა;

ზე – ა , ანუ > 1-ისთვის x არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

მაგალითი 7 . უტოლობის ამოხსნა cx 2 – 2 (s – 1)x + (s + 2)

როდესაც c = 0 იღებს ფორმას: 2x + 2გამოსავალი იქნება x

შემოვიღოთ აღნიშვნა f (x) = cx 2 – 2 (s – 1)x + (s + 2)სადაც c ≠ 0.

ამ შემთხვევაში უტოლობა f(x)

მოდით D იყოს f(x-ის) დისკრიმინანტი. 0.25 D = 1 – 4s.

თუ D > 0, ე.ი. თუ ერთად> 0.25, მაშინ f (x) ნიშანი ემთხვევა c ნიშანს x-ის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობისთვის, ე.ი. f(x)> 0 ნებისმიერი x  R, რაც ნიშნავს c >-სთვის 0.25 უტოლობა f(x)

თუ D = 0, ე.ი. c = 0,25, შემდეგ f (x) = (0,25 x + 1,5) 2, ე.ი. f (x)  0 ნებისმიერისთვის

X  R. ამიტომ, c = 0,25-ისთვის f (x) უტოლობა

განვიხილოთ შემთხვევა D  0). f (x) = 0 x-ის ორი რეალური მნიშვნელობისთვის:

x 1 = (c – 1 – ) და x 2 = (c – 1 + ).

აქ შეიძლება წარმოიშვას ორი შემთხვევა:

უტოლობის ამოხსნა f(x)

f(x) ემთხვევა c-ის ნიშანს. ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, გაითვალისწინეთ, რომ - , ე.ი. s – 1 – ˂ s – 1 + , მაგრამ რადგან s (s – 1 – ) (s - 1 + ) და შესაბამისად, უტოლობის ამოხსნა იქნება:

(-  ; (s – 1 – ))  ( (s – 1 + ); +  ).

ახლა, უტოლობის გადასაჭრელად, საკმარისია მიუთითოთ c-ის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც f (x) ნიშანი c-ის ნიშნის საპირისპიროა. 0 1-დან 2, შემდეგ x  (x 1; x 2).

პასუხი: როცა c = 0 x  R;

თან  (-  ; x 2 )  (x 1 ; +  );

0-ზე  (x 1; x 2);

c  0.25-ისთვის არ არის ამონახსნები.

პარამეტრის, როგორც თანაბარი ცვლადის ხედვა აისახება გრაფიკულ მეთოდებში და კვადრატული უტოლობების ამოხსნისთვის. სინამდვილეში, ვინაიდან პარამეტრი ცვლადის „უფლებებში თანაბარია“, ბუნებრივია, რომ ის შეიძლება „განაწილდეს“ საკუთარ კოორდინატთა ღერძზე. ამრიგად, წარმოიქმნება კოორდინატთა სიბრტყე (x; ა). ისეთი უმნიშვნელო დეტალი, როგორიცაა x და y ასოების ტრადიციული არჩევანის მიტოვება ღერძების აღსანიშნავად, განსაზღვრავს პარამეტრებთან პრობლემების გადაჭრის ერთ-ერთ ყველაზე ეფექტურ მეთოდს.

მოსახერხებელია, როდესაც პრობლემა მოიცავს ერთ პარამეტრს a და ერთ ცვლადს x. თავად გადაწყვეტის პროცესი სქემატურად ასე გამოიყურება. პირველ რიგში, აგებულია გრაფიკული გამოსახულება, შემდეგ, მიღებული გრაფიკის გადაკვეთა პარამეტრული ღერძის პერპენდიკულარული სწორი ხაზებით, ჩვენ "ამოღება" საჭირო ინფორმაციას.

ღერძების აღსანიშნავად ასოების x და y ტრადიციული არჩევანის უარყოფა განსაზღვრავს პარამეტრებთან პრობლემების გადაჭრის ერთ-ერთ ყველაზე ეფექტურ მეთოდს - "დომენის მეთოდი".

  1. საწყის პირობებში კვადრატული უტოლობების ამოხსნის მეთოდოლოგია.

განვიხილოთ კვადრატული უტოლობის ანალიტიკური ამოხსნა პარამეტრებით, რომლის შედეგები განიხილება რიცხვთა წრფეზე.

მაგალითი 8.

იპოვეთ x-ის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის უტოლობა

(2x)a 2 +(x 2 -2x+3)a-3x≥0

დაკმაყოფილებულია [-3;0] ინტერვალის კუთვნილების ნებისმიერი მნიშვნელობით.

გამოსავალი. მოდით გადავცვალოთ ამ უტოლობის მარცხენა მხარე შემდეგნაირად:

(2-x)a 2 + (x 2 -2x+3)a-3x=ax 2 - a 2 x - 2ax + 2a 2 + 3a - 3x =

Ax (x - a)-2a (x - a)- 3 (x-a) = (x - a) (ax- 2a - 3).

ეს უტოლობა მიიღებს ფორმას: (x - a) (ax - 2a - 3) ≥ 0.

თუ a = 0, მივიღებთ - Zx ≥ 0 x ≤ 0.

თუ a ≠ 0, მაშინ -3 a

იმიტომ რომ ა 0, მაშინ ამ უტოლობის ამოხსნა იქნება რიცხვითი ღერძის ინტერვალი, რომელიც მდებარეობს განტოლების ფესვებს შორის, რომელიც შეესაბამება უტოლობას.

მოდით გავარკვიოთ რიცხვების შედარებითი პოზიციაა და , პირობის გათვალისწინებით - 3 ≤ ა

3 ≤a

A = -1.

მოდით წარმოვადგინოთ ყველა განხილულ შემთხვევაში ამ უთანასწორობის გადაწყვეტილებები პარამეტრების მნიშვნელობების მიხედვით:

ჩვენ ვხვდებით, რომ მხოლოდ x = -1 არის ამ უტოლობის ამოხსნა a პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

პასუხი: -1

  1. დასკვნა.

რატომ ავირჩიე პროექტი თემაზე „მეთოდური რეკომენდაციების შემუშავება კვადრატული განტოლებებისა და უტოლობების პარამეტრებით ამოხსნისთვის“? მას შემდეგ, რაც ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული, ექსპონენციალური, ლოგარითმული განტოლების, უტოლობების, სისტემების ამოხსნისას ჩვენ ყველაზე ხშირად განვიხილავთ ზოგჯერ წრფივ და ყველაზე ხშირად კვადრატულ განტოლებებს და უტოლობას. პარამეტრებით რთული ამოცანების ამოხსნისას, ამოცანების უმეტესობა ექვივალენტური გარდაქმნების გამოყენებით მცირდება ამონახსნების ტიპის არჩევამდე: a (x – a) (x – c) > 0 (

განვიხილეთ კვადრატული განტოლებებისა და უტოლობების პარამეტრებით ამოხსნის თეორიული საფუძველი. ჩვენ გავიხსენეთ საჭირო ფორმულები და გარდაქმნები, გადავხედეთ კვადრატული ფუნქციის გრაფიკების სხვადასხვა განლაგებას, რაც დამოკიდებულია დისკრიმინანტის სიდიდეზე, წამყვანი კოეფიციენტის ნიშანზე, პარაბოლის ფესვებისა და წვეროების მდებარეობაზე. დავადგინეთ შედეგების ამოხსნისა და შერჩევის სქემა და შევადგინეთ ცხრილი.

პროექტში ნაჩვენებია კვადრატული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის ანალიტიკური და გრაფიკული მეთოდები. პროფესიული სასწავლებლის მოსწავლეებს მასალის უკეთ ათვისებისთვის სჭირდებათ მასალის ვიზუალური აღქმა. ნაჩვენებია, თუ როგორ შეიძლება შეიცვალოს x ცვლადი და პარამეტრი მიიღება თანაბარ მნიშვნელობად.

ამ თემის მკაფიო გაგებისთვის, განიხილება 8 პრობლემის გადაწყვეტა პარამეტრებით, 1 – 2 თითოეული განყოფილებისთვის. მაგალითში No 1, ამონახსნების რაოდენობა განიხილება პარამეტრის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, მაგალითში No3, კვადრატული განტოლების ამონახსნები გაანალიზებულია სხვადასხვა საწყის პირობებში. შედგენილია გრაფიკული ილუსტრაცია კვადრატული უტოლობების ამოსახსნელად. მე-5 მაგალითში გამოყენებულია პარამეტრის თანაბარ მნიშვნელობად ჩანაცვლების მეთოდი. პროექტი მოიცავს მე-8 მაგალითის განხილვას C განყოფილებაში შეტანილი ამოცანებიდან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩასაბარებლად ინტენსიური მომზადებისთვის.

სტუდენტების მაღალი ხარისხის ტრენინგისთვის პარამეტრების პრობლემების გადაჭრაში, რეკომენდებულია მულტიმედიური ტექნოლოგიების სრულად გამოყენება, კერძოდ: გამოიყენეთ პრეზენტაციები ლექციებისთვის, ელექტრონული სახელმძღვანელოებისთვის და წიგნებისთვის და საკუთარი განვითარებები მედია ბიბლიოთეკიდან. ორობითი გაკვეთილები მათემატიკაში + კომპიუტერული მეცნიერებაში ძალიან ეფექტურია. ინტერნეტი შეუცვლელი ასისტენტია მასწავლებლებისა და სტუდენტებისთვის. პრეზენტაცია საჭიროებს იმპორტირებულ ობიექტებს არსებული საგანმანათლებლო რესურსებიდან. ყველაზე მოსახერხებელი და მისაღებია მუშაობა „Microsoft Office-ის გამოყენება სკოლაში“ ცენტრი.

ამ თემაზე მეთოდოლოგიური რეკომენდაციების შემუშავება ხელს შეუწყობს სკოლაში სამუშაოდ მოსული ახალგაზრდა მასწავლებლების მუშაობას, დაემატება მასწავლებლის პორტფოლიოს, იქნება მოდელი სპეციალური საგნებისთვის, ხოლო ნიმუშის გადაწყვეტილებები დაეხმარება სტუდენტებს გაუმკლავდნენ რთულ ამოცანებს.

  1. ლიტერატურა.

1. გორნშტეინი P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. პრობლემები პარამეტრებთან. "ილექსა", "გიმნაზია", მოსკოვი - ხარკოვი, 2002 წ.

2. ბალაიან ე.ნ. მათემატიკაში ამოცანების კრებული ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისა და ოლიმპიადისთვის მოსამზადებლად. 9-11 კლასები. "ფენიქსი", დონის როსტოვი, 2010 წ.

3. იასტრებინეცკი გ.ა. პრობლემები პარამეტრებთან. მ., „განმანათლებლობა“, 1986 წ.

4. კოლესნიკოვა ს.ი. მათემატიკა. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის რთული ამოცანების გადაჭრა. M. "IRIS - პრესა", 2005 წ.

5. როდიონოვი ე.მ., სინიაკოვა ს.ლ. მათემატიკა. გზამკვლევი აბიტურიენტებისთვის უნივერსიტეტებში. სსტუ-ს სასწავლო ცენტრი „ორიენტირი“. ნ.ე. ბაუმანი, მ., 2004 წ.

6. სკანავი მ.ი. მათემატიკაში ამოცანების კრებული უნივერსიტეტებში ჩასვლისთვის: 2 წიგნში. წიგნი 1, მ., 2009 წ.



სახელმწიფო საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება

სამარას რეგიონის საშუალო ზოგადი განათლება

სახელობის No2 სკოლა. ვ.მასკინას რკინიგზა Ხელოვნება. კლიავინო

კლიავლინსკის მუნიციპალური ოლქი

სამარას რეგიონი

« განტოლებები

და

უთანასწორობები

პარამეტრებით"

სახელმძღვანელო

კლიავინო

სახელმძღვანელო

"განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით" 10–11 კლასების მოსწავლეებისთვის

ეს სახელმძღვანელო არის დანართი არჩევითი კურსის პროგრამის "განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით", რომელმაც გაიარა გარე გამოცდა (სამარას რეგიონის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტროს სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური ექსპერტთა საბჭო 2008 წლის 19 დეკემბერს რეკომენდირებულია გამოყენება სამარას რეგიონის საგანმანათლებლო დაწესებულებებში)

ავტორები

რომადანოვა ირინა ვლადიმეროვნა

მათემატიკის მასწავლებელი კლიავილინსკაიას საშუალო საგანმანათლებლო დაწესებულებაში

სახელობის No2 სკოლა. ვ.მასკინა, კლიავლინსკის რაიონი, სამარას ოლქი

სერბაევა ირინა ალექსეევნა

შესავალი …………………………………………………………… 3-4

წრფივი განტოლებები და უტოლობა პარამეტრებით……………..4-7

კვადრატული განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით………………7-9

წილადი-რაციონალური განტოლებები პარამეტრებით……………..10-11

ირაციონალური განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით……11-13

ტრიგონომეტრიული განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებთან.14-15

ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებთან ერთად………16-17

ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებთან......16-18

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მიზნები……………………………………………………...18-20

ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის……………………………21-28

შესავალი.

განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით.

თუ განტოლებაში ან უტოლობაში ზოგიერთ კოეფიციენტს არ არის მოცემული კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობები, მაგრამ ასოებით არის მითითებული, მაშინ მათ ე.წ. პარამეტრები,და თავად განტოლება ან უტოლობა პარამეტრული.

განტოლების ან უტოლობის გადასაჭრელად პარამეტრებით საჭიროა:

    აირჩიეთ განსაკუთრებული მნიშვნელობა- ეს არის პარამეტრის მნიშვნელობა, რომელშიც ან გავლისას იცვლება განტოლების ან უტოლობის ამოხსნა.

    განსაზღვრეთ მოქმედი მნიშვნელობები- ეს არის პარამეტრის მნიშვნელობები, რომლებშიც განტოლება ან უტოლობა აზრი აქვს.

განტოლების ან უტოლობის ამოხსნა პარამეტრებით ნიშნავს:

1) განსაზღვრეთ რა პარამეტრის მნიშვნელობებში არსებობს გადაწყვეტილებები;

2) პარამეტრის მნიშვნელობების თითოეული დასაშვები სისტემისთვის იპოვეთ ამონახსნების შესაბამისი ნაკრები.

თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ განტოლება პარამეტრით შემდეგი მეთოდების გამოყენებით: ანალიტიკური ან გრაფიკული.

ანალიტიკური მეთოდი გულისხმობს განტოლების შესწავლას რამდენიმე შემთხვევის განხილვით, რომელთაგან არცერთის გამოტოვება არ შეიძლება.

განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა თითოეული ტიპის პარამეტრებით ანალიტიკური მეთოდით მოიცავს სიტუაციის დეტალურ ანალიზს და თანმიმდევრულ კვლევას, რომლის დროსაც ჩნდება საჭიროება. "ფრთხილი მოპყრობა"პარამეტრით.

გრაფიკული მეთოდი გულისხმობს განტოლების გრაფიკის აგებას, საიდანაც შეიძლება განისაზღვროს, თუ როგორ მოქმედებს პარამეტრის ცვლილება, შესაბამისად, განტოლების ამოხსნაზე. გრაფიკი ზოგჯერ საშუალებას გაძლევთ ანალიტიკურად ჩამოაყალიბოთ პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო და საკმარისი პირობები. გრაფიკული ამოხსნის მეთოდი განსაკუთრებით ეფექტურია, როდესაც თქვენ უნდა დაადგინოთ რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას პარამეტრზე და აქვს უდავო უპირატესობა იმისა, რომ ეს ნათლად დაინახოს.

§ 1. წრფივი განტოლებები და უტოლობა.

წრფივი განტოლება ა x = ბ , ზოგადი ფორმით დაწერილი, შეიძლება ჩაითვალოს განტოლებად პარამეტრებით, სადაც x - უცნობი , ა , ბ - პარამეტრები. ამ განტოლებისთვის, პარამეტრის სპეციალური ან საკონტროლო მნიშვნელობა არის ის, რომლის დროსაც უცნობის კოეფიციენტი ნულდება.

პარამეტრით წრფივი განტოლების ამოხსნისას განიხილება შემთხვევები, როდესაც პარამეტრი უდრის მის განსაკუთრებულ მნიშვნელობას და განსხვავდება მისგან.

სპეციალური პარამეტრის მნიშვნელობა ა არის ღირებულება ა = 0.

ბ = 0 არის სპეციალური პარამეტრის მნიშვნელობა ბ .

ზე ბ ¹ 0 განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

ზე ბ = 0 განტოლება მიიღებს ფორმას: 0x = 0. ამ განტოლების ამონახსნი არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

ფორმის უტოლობები აჰ > ბ და ნაჯახი < ბ (a ≠ 0)წრფივი უტოლობები ეწოდება. უთანასწორობის გადაწყვეტილებების ნაკრები აჰ >ბ- ინტერვალი

(; +), თუ ა > 0 , და (-;) , თუ ა< 0 . ანალოგიურად უთანასწორობისთვის

ოჰ< ბ ამონახსნების ნაკრები - ინტერვალი(-;), თუ ა > 0, და (; +), თუ ა< 0.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება ცული = 5

გამოსავალი: ეს არის წრფივი განტოლება.

თუ a = 0, შემდეგ განტოლება 0 × x = 5გამოსავალი არ აქვს.

თუ ა¹ 0, x =- განტოლების ამოხსნა.

უპასუხე: ზე ა¹ 0, x=

a = 0-სთვის გამოსავალი არ არის.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება ნაჯახი – 6 = 2a – 3x.

გამოსავალი:ეს არის წრფივი განტოლება, ნაჯახი – 6 = 2a – 3x (1)

ცული + 3x = 2a +6

განტოლების გადაწერა როგორც (a+3)x = 2(a+3)განიხილეთ ორი შემთხვევა:

a= -3და ა¹ -3.

თუ a= -3, მაშინ ნებისმიერი რეალური რიცხვი Xარის (1) განტოლების ფესვი. თუ ა¹ -3 , განტოლებას (1) აქვს ერთი ფესვი x = 2.

პასუხი:ზე a = -3, x რ ; ზე ა ¹ -3, x = 2.

მაგალითი 3. რა პარამეტრის მნიშვნელობებზე აგანტოლების ფესვებს შორის

2h – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0უფრო მეტი ფესვებია 1 ?

გამოსავალი: მოდი ამოვხსნათ განტოლება 2h – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0- წრფივი განტოლება

2(a - 2) x = a 2 – 4a +4

2(a - 2) x = (a – 2) 2

ზე a = 2განტოლების ამოხსნა 0x = 0იქნება ნებისმიერი რიცხვი, მათ შორის ერთი 1-ზე მეტი.

ზე ა¹ 2 x =
. პირობით x > 1, ანუ
>1 და >4.

პასუხი:ზე ა (2) U (4;∞).

მაგალითი 4 . თითოეული პარამეტრის მნიშვნელობისთვის აიპოვნეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა ah=8.

გამოსავალი. ცული = 8- წრფივი განტოლება.

წ = ა- ჰორიზონტალური ხაზების ოჯახი;

წ = - გრაფიკი არის ჰიპერბოლა. მოდით ავაშენოთ ამ ფუნქციების გრაფიკები.

პასუხი: თუ a =0, მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. თუ a ≠ 0, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი.

მაგალითი 5 . გრაფიკების გამოყენებით გაარკვიეთ რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას:

|x| = აჰ - 1.

y =| x | ,

წ = აჰ - 1- გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის წერტილს (0;-1).

მოდით ავაშენოთ ამ ფუნქციების გრაფიკები.

პასუხი: როდის |ა|>1- ერთი ფესვი

ზე | ა|≤1 - განტოლებას არ აქვს ფესვები.

მაგალითი 6 . უთანასწორობის ამოხსნა ცული + 4 > 2x + ა 2

გამოსავალი : ცული + 4 > 2x + ა 2
(a – 2) x >ა 2 – 4. განვიხილოთ სამი შემთხვევა.


უპასუხე. x > a + 2ზე a > 2; X<а + 2, ზე ა< 2; ზე a=2არ არის გადაწყვეტილებები.

§ 2. კვადრატული განტოლებები და უტოლობა

Კვადრატული განტოლებაარის ფორმის განტოლება ოჰ ² + ბ x + c = 0 , სად a≠ 0,

A, ბ , თან - პარამეტრები.

პარამეტრით კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სტანდარტული ამოხსნის მეთოდები შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:

1 ) კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი: დ = ბ ² - 4 აწ , (
²- ა.შ.)

2) კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები:X 1 =
, X 2 =
,

(X 1,2 =
)

კვადრატული უტოლობები ეწოდება

ა X 2 + ბ x + c > 0,ა X 2 + ბ x + c< 0, (1), (2)

ა X 2 + ბ x + c ≥ 0,ა X 2 + ბ x + c ≤ 0,(3), (4)

უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე (3) მიიღება უტოლობის (1) ამონახსნების სიმრავლეებისა და განტოლების გაერთიანებით. , ა X 2 + ბ x + c = 0.ანალოგიურად შეიძლება მოიძებნოს უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე (4).

თუ კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი ა X 2 + ბ x + c არის ნულზე ნაკლები, მაშინ a > 0-ისთვის ტრინომი დადებითია ყველა x-ისთვის რ.

თუ კვადრატულ ტრინომს აქვს ფესვები (x 1 < х 2 ), შემდეგ a > 0-ისთვის არის დადებითი ნაკრებზე(-; x 2 )
(X 2; +) და უარყოფითი ინტერვალზე

(x 1; x 2 ). Თუ< 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1 ; x 2 ) და უარყოფითი ყველა x-ისთვის (-; x 1 )
(X 2; +).

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება ax² - 2 (a – 1)x – 4 = 0.

ეს არის კვადრატული განტოლება

გამოსავალი: განსაკუთრებული მნიშვნელობა a = 0.

    ზე a = 0ვიღებთ წრფივ განტოლებას 2x - 4 = 0. მას აქვს ერთი ფესვი x = 2.

    ზე a ≠ 0.მოდი ვიპოვოთ დისკრიმინანტი.

დ = (a-1)² + 4a = (a+1)²

თუ a = -1,რომ დ = 0 - ერთი ფესვი.

ვიპოვოთ ფესვი ჩანაცვლებით a = -1.

-x² + 4x – 4= 0,ანუ x² -4x + 4 = 0,ჩვენ ვპოულობთ ამას x=2.

თუ a ≠ - 1, ეს დ >0 . root ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:x=
;

X 1 =2, x 2 = -.

პასუხი:ზე a=0 და a= -1განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x = 2;ზე a ≠ 0 და

ა ≠ - 1 განტოლებას ორი ფესვი აქვსX 1 =2, x 2 =-.

მაგალითი 2. იპოვეთ ამ განტოლების ფესვების რაოდენობა x²-2x-8-a=0პარამეტრების მნიშვნელობების მიხედვით ა.

გამოსავალი. მოდით გადავიწეროთ ეს განტოლება ფორმაში x²-2x-8=a

წ = x²-2x-8- გრაფიკი არის პარაბოლა;

წ =ა- ჰორიზონტალური ხაზების ოჯახი.

მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები.

პასუხი: როდის ა<-9 , განტოლებას არ აქვს ამონახსნები; როდესაც a=-9, განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი; ზე a> -9, განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს.

მაგალითი 3. რაზე აუთანასწორობა (a – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0შეესაბამება x-ის ყველა მნიშვნელობას?

გამოსავალი.კვადრატული ტრინომი დადებითია x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის, თუ

a-3 > 0 და დ<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств






, საიდანაც გამომდინარეობს, რომა > 6 .

უპასუხე.ა > 6

§ 3. წილადი რაციონალური განტოლებები პარამეტრით,

შემცირდება წრფივი

წილადური განტოლებების ამოხსნის პროცესი მიმდინარეობს ჩვეულებრივი სქემის მიხედვით: წილადი იცვლება მთელი რიცხვით განტოლების ორივე მხარის მარცხენა და მარჯვენა მხარის საერთო მნიშვნელზე გამრავლებით. რის შემდეგაც წყდება მთელი განტოლება, გარდა გარე ფესვებისა, ანუ რიცხვებისა, რომლებიც მნიშვნელს ნულს აქცევს.

პარამეტრით განტოლების შემთხვევაში ეს პრობლემა უფრო რთულია. აქ, ზედმეტი ფესვების „აღრიცხვის“ მიზნით, საჭიროა ვიპოვოთ პარამეტრის მნიშვნელობა, რომელიც აქცევს საერთო მნიშვნელს ნულზე, ანუ ამოხსნას პარამეტრის შესაბამისი განტოლებები.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება
= 0

გამოსავალი: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2

x – a = 0, x = a.

პასუხი:ზე a ≠ - 2, x=a

ზე a = -2არ არის ფესვები.

მაგალითი 2 . ამოხსენით განტოლება
-
=
(1)

ეს არის წილადი რაციონალური განტოლება

გამოსავალი:მნიშვნელობა a = 0არის განსაკუთრებული. ზე a = 0განტოლებას აზრი არ აქვს და შესაბამისად არ აქვს ფესვები. თუ a ≠ 0,შემდეგ გარდაქმნების შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)- კვადრატული განტოლება.

მოდი ვიპოვოთ დისკრიმინანტი = (1 – a)² - (a² - 2a – 3)= 4, იპოვნეთ განტოლების ფესვებიX 1 = a + 1, x 2 = a - 3.

(1) განტოლებიდან (2) განტოლებაზე გადასვლისას გაფართოვდა (1) განტოლების განმარტების დომენი, რამაც შეიძლება გამოიწვიოს უცხო ფესვების გამოჩენა. ამიტომ, გადამოწმება აუცილებელია.

ექსპერტიზა.გამოვრიცხოთ ნაპოვნი მნიშვნელობებიდან Xისინი, რომლებშიც

x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0.

თუ X 1 +1=0, ანუ (a+1) + 1= 0, ეს a= -2.ამრიგად,

ზე a= -2 , X 1 -

თუ X 1 +2=0, ანუ (a+1)+2=0,რომ a = - 3. ამრიგად, როდესაც a = - 3, x 1 - განტოლების უცხო ფესვი. (1).

თუ X 2 +1=0, ანუ (a – 3) + 1= 0, ეს a = 2. ამრიგად, როდესაც a = 2 x 2 - (1) განტოლების უცხო ფესვი.

თუ X 2 +2=0, ანუ ( a – 3) + 2 = 0,რომ a=1. ამრიგად, როდესაც a = 1,

X 2 - განტოლების უცხო ფესვი (1).

ამის შესაბამისად, როცა a = - 3ვიღებთ x = - 3 – 3 = -6;

ზე a = - 2 x = -2 – 3= - 5;

ზე a = 1 x =1 + 1 = 2;

ზე a = 2 x = 2+1 = 3.

შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.

პასუხი: 1) თუ a= -3,რომ x= -6; 2) თუ a= -2, ეს x= -5; 3) თუ a = 0, მაშინ ფესვები არ არის; 4) თუ a = 1, ეს x=2; 5) თუ a=2, ეს x=3; 6) თუ a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a≠ 1, a ≠ 2, შემდეგ x 1 = a + 1, x 2 = a-3.

§4. ირაციონალური განტოლებები და უტოლობა

განტოლებები და უტოლობები, რომლებშიც ცვლადი შეიცავს ძირის ნიშნის ქვეშ, ეწოდება ირაციონალური.

ირაციონალური განტოლებების ამოხსნა მოდის ირაციონალურიდან რაციონალურ განტოლებაზე გადასვლაზე, განტოლების ორივე მხარის მაჩვენებლით ან ცვლადის ჩანაცვლებით. როდესაც განტოლების ორივე მხარე აიწევა თანაბარ ხარისხზე, შეიძლება გამოჩნდეს უცხო ფესვები. ამიტომ, ამ მეთოდის გამოყენებისას, თქვენ უნდა შეამოწმოთ ნაპოვნი ყველა ფესვი მათი ორიგინალურ განტოლებაში ჩანაცვლებით, პარამეტრების მნიშვნელობების ცვლილებების გათვალისწინებით.

ფორმის განტოლება
=g (x) სისტემის ტოლფასია

უტოლობა f (x) ≥ 0 გამომდინარეობს განტოლებიდან f (x) = g 2 (x).

ირაციონალური უტოლობების ამოხსნისას გამოვიყენებთ შემდეგ ეკვივალენტურ გარდაქმნებს:

≤ g(x)


≥გ(x)

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება
= x + 1 (3)

ეს არის ირაციონალური განტოლება

გამოსავალი: არითმეტიკული ფესვის განმარტებით, განტოლება (3) სისტემის ტოლფასია
.

ზე a = 2სისტემის პირველ განტოლებას აქვს ფორმა 0 x = 5, ანუ გამოსავალი არ აქვს.

ზე a≠ 2 x=
. მოდით გავარკვიოთ რა ღირებულებებითა ნაპოვნი ღირებულებაX აკმაყოფილებს უთანასწორობასx ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

სადაც a ≤ან a > 2.

პასუხი:ზე a≤, a > 2 x=
, ზე < а ≤ 2 განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება
= ა (დანართი 4)

გამოსავალი. წ =

წ = ა- ჰორიზონტალური ხაზების ოჯახი.

მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები.

უპასუხე: ზე ა<0 - არ არსებობს გადაწყვეტილებები;

ზე ა≥ 0 - ერთი გამოსავალი.

მაგალითი 3 . მოვაგვაროთ უტოლობა(a+1)
<1.

გამოსავალი.ო.დ.ზ. x ≤ 2. თუ a+1 ≤0, მაშინ უტოლობა მოქმედებს ყველა დასაშვებ მნიშვნელობებზე X. თუ a+1>0, ეს

(a+1)
<1.

<


სადაც X (2-
2

უპასუხე. X (- ;2ზე ა (-;-1, X (2-
2

ზე ა (-1;+).

§ 5. ტრიგონომეტრიული განტოლებები და უტოლობა.

აქ მოცემულია უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები:

სინქსი = ა
x= (-1)ნ arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)

Cos x = a
x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1. (2)

თუ >1, მაშინ (1) და (2) განტოლებებს არ აქვთ ამონახსნები.

tan x = a
x= არქტანი a + πn, n ზ, ა რ

ctg x = a
x = arcctg a + πn, n ზ, ა რ

თითოეული სტანდარტული უტოლობისთვის ჩვენ მივუთითებთ ამონახსნების ერთობლიობას:

1. sin x > ა
arcsin a + 2 πn Z,

ზე ა <-1, x რ ; ზე ა ≥ 1, არ არის გადაწყვეტილებები.

2. . ცოდვა x< a
π - რკალი a + 2 πnZ,

a≤-1-ისთვის არ არის გამოსავალი; > 1-ისთვის,x რ

3. cos x > ა
- არკოები ა + 2 πn < x < არკოები ა + 2 πn , ნ ზ ,

ზე ა<-1, x რ ; ზე ა ≥ 1 , არ არსებობს გადაწყვეტილებები.

4. cos x arccos a+ 2 πnZ,

ზე a≤-1 , გადაწყვეტილებების გარეშე; ზეა > 1, x რ

5. tan x > a, arctan a + πnZ

6.ტგ x< a, -π/2 + πn Z

მაგალითი 1. იპოვე ა, რისთვისაც ამ განტოლებას აქვს ამონახსნი:

Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.

გამოსავალი.განტოლება დავწეროთ ფორმაში

თანos 2 x + (2 ა -4) cosx +(ა – 5)(a+1) =0,კვადრატის სახით ამოხსნით, მივიღებთ cosx = 5-ადა cosx = -a-1.

განტოლება cosx = 5- ა აქვს მოწოდებული გადაწყვეტილებები -1≤ 5-ა ≤1
4≤ ა≤ 6 და განტოლება. cosx = - a-1 მოწოდებული -1≤ -1-ა ≤ 1
-2 ≤ ა ≤0.

უპასუხე. ა -2; 0
4; 6

მაგალითი 2. რაზე ბარის ისეთი, რომ უთანასწორობა
+ ბ> 0 მოქმედებს ყველა x ≠πn , ნ ზ .

გამოსავალი.დავსვათ ა= 0. უტოლობა მოქმედებს b >0. ახლა ვაჩვენოთ, რომ არცერთი b ≤0 არ აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს. მართლაც, საკმარისია x = დააყენოთ π /2, თუ ა <0, и х = - π /2 ზე ა ≥0.

უპასუხე.b>0

§ 6. ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობა

1. განტოლება თ(x) ვ ( x ) = თ(x) გ ( x) ზე თ(x) > 0 უდრის ორი სისტემის კრებულს
და

2. განსაკუთრებულ შემთხვევაში (h (x)= ა ) განტოლება ა f(x) = ა g(x) at ა> 0, უდრის ორი სისტემის კრებულს

და

3. განტოლება ა f(x) = ბ , სად ა > 0, ა ≠1, ბ>0, განტოლების ტოლფასი

f (x)= log a b. ხდება ა=1 განიხილება ცალკე.

უმარტივესი ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა ემყარება სიმძლავრის თვისებას. ფორმის უთანასწორობავ(ა x ) > 0 ცვლადის ცვლილების გამოყენებითტ= ა x ამცირებს უტოლობათა სისტემის ამოხსნას
შემდეგ კი შესაბამისი მარტივი ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნას.

არამკაცრი უტოლობის ამოხსნისას აუცილებელია მკაცრი უტოლობის ამონახსნების სიმრავლეს შესაბამისი განტოლების ფესვების დამატება. როგორც გამონათქვამის შემცველ ყველა მაგალითში განტოლებების ამოხსნისას ა f (x), ჩვენ ვვარაუდობთ ა> 0. საქმე ა= 1 განიხილება ცალკე.

მაგალითი 1 . რაზე აგანტოლება 8 x =
მხოლოდ დადებითი ფესვები აქვს?

გამოსავალი. ერთზე მეტი ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებით გვაქვს x>0
8 X >1

>1

>0, საიდანა (1,5;4).

უპასუხე. ა (1,5;4).

მაგალითი 2. უთანასწორობის ამოხსნა ა 2 ∙2 x > ა

გამოსავალი. განვიხილოთ სამი შემთხვევა:

1. ა< 0 . ვინაიდან უტოლობის მარცხენა მხარე დადებითია, მარჯვენა კი უარყოფითი, უტოლობა მოქმედებს ნებისმიერი x-ისთვის. რ.

2. ა=0. გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

3. ა > 0 . ა 2 ∙2 x > ა
2 x >
x > -ლოგი 2 ა

უპასუხე. X რზე ა > 0; არ არსებობს გადაწყვეტილებები ა =0; X (- ჟურნალი 2 ა; +) ზეa> 0 .

§ 7. ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობა

წარმოვადგინოთ ამოხსნისას გამოყენებული რამდენიმე ეკვივალენტობა ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები.

1. განტოლება log f (x) g (x) = log f (x) h (x) სისტემის ტოლფასია

კერძოდ, თუ ა >0, ა≠1, მაშინ

ჟურნალი ა g(x)= ჟურნალი ა h(x)

2. განტოლება ჟურნალი ა g(x)=b
g(x)=ა ბ ( ა >0, a ≠ 1, გ(x) >0).

3. უთანასწორობა ჟურნალი ვ ( x ) გ (x) ≤ ჟურნალი ვ ( x ) თ(x) უდრის ორი სისტემის კომბინაციას:
და

Თუ, b არის რიცხვები, a >0, a ≠1, მაშინ

ჟურნალი ა f(x) ≤ ბ

ჟურნალი ა f(x)>b

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება

გამოსავალი. ვიპოვოთ ODZ: x > 0, x ≠ ა 4 , ა > 0, ა≠ 1. გადააქციე განტოლება

ჟურნალი x – 2 = 4 – ჟურნალი ა x
ჟურნალი x + ჟურნალი ა x– 6 = 0, საიდანაც ჟურნალი ა x = - 3

x = ა-3 და ჟურნალი ა x = 2
x = ა 2. მდგომარეობა x = ა 4
ა – 3 = ა 4 ან ა 2 = ა 4 არ არის შესრულებული ODZ-ზე.

პასუხი: x = ა-3, x = ა 2 საათზე ა (0; 1)
(1; ).

მაგალითი 2 . იპოვნეთ ყველაზე დიდი ღირებულება ა, რისთვისაც განტოლება

2 ჟურნალი -
+ ა = 0 აქვს ამონახსნები.

გამოსავალი. ჩანაცვლებას გავაკეთებთ
= ტდა მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას 2ტ 2 – ტ + ა = 0. ამოხსნა, ვპოულობთდ = 1-8 ა . განვიხილოთ დ≥0, 1-8 ა ≥0
ა ≤.

ზე ა = კვადრატულ განტოლებას აქვს ფესვიტ= >0.

უპასუხე. ა =

მაგალითი 3 . უტოლობის ამოხსნაჟურნალი(x 2 – 2 x + ა ) > - 3

გამოსავალი. მოდით გადავჭრათ უტოლობათა სისტემა

კვადრატული ტრინომების ფესვები x 1,2 = 1 ±
მათი 3,4 = 1 ±
.

კრიტიკული პარამეტრის მნიშვნელობები: ა= 1 და ა= 9.

მოდით X 1 და X 2 იყოს პირველი და მეორე უტოლობების ამონახსნების სიმრავლეები

X 1
X 2 = X არის საწყისი უტოლობის ამოხსნა.

0-ზე< ა <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), ზეა> 1 X 1 = (-;+).

0-ზე< ა < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), ზეა≥9 X 2 - ხსნარის გარეშე.

განვიხილოთ სამი შემთხვევა:

1. 0< ა ≤1 X = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < ა < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. ა≥ 9 X - ხსნარის გარეშე.

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მიზნები

მაღალი დონე C1, C2

მაგალითი 1. იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა რ, რისთვისაც განტოლება

რ ∙ ctg 2x+2sinx+ გვ= 3 აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი.

გამოსავალი.გადავცვალოთ განტოლება

რ ∙ (
- 1) + 2sinx + გვ= 3, sinx =t, ტ
, ტ 0.

- გვ+2ტ+ გვ = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = გვ .

დაე ვ(წ) = 3 ტ 2 – 2 ტ 3 . ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრებივ(x) ზე


. ზე / = 6 ტ – 6 ტ 2 , 6 ტ - 6 ტ 2 = 0, ტ 1 =0, ტ 2 = 1. ვ(-1) = 5, ვ(1) = 1.

ზე ტ
, ე(ვ) =
,

ზე ტ
, ე(ვ) =
, ანუ როდის ტ


, ე(ვ) =
.

მე-3 განტოლებამდეტ 2 – 2 ტ 3 = გვ (შესაბამისად მოცემული) ერთი ფესვი მაინც ჰქონდა საჭირო და საკმარისიგვ ე(ვ), ანუ გვ
.

უპასუხე.
.

მაგალითი 2.

რა პარამეტრის მნიშვნელობებზეაგანტოლება ჟურნალი
(4 x 2 – 4 ა + ა 2 +7) = 2-ს აქვს ზუსტად ერთი ფესვი?

გამოსავალი.მოდით გადავიყვანოთ განტოლება ამის ერთ ეკვივალენტად:

4x 2 - 4 ა + ა 2 +7 = (x 2 + 2) 2.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ გარკვეული რიცხვი x არის მიღებული განტოლების ფესვი, მაშინ რიცხვი - x ასევე არის ამ განტოლების ფესვი. პირობით, ეს შეუძლებელია, ამიტომ ერთადერთი ფესვი არის რიცხვი 0.

ჩვენ ვიპოვით ა.

4∙ 0 2 - 4ა + ა 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

ა 2 - 4ა +7 = 4, ა 2 - 4ა +3 = 0, ა 1 = 1, ა 2 = 3.

ექსპერტიზა.

1) ა 1 = 1. მაშინ განტოლება ასე გამოიყურება:ჟურნალი
(4 x 2 +4) =2. მოვაგვაროთ

4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 არის ერთადერთი ფესვი.

2) ა 2 = 3. განტოლება ასე გამოიყურება:ჟურნალი
(4 x 2 +4) =2
x = 0 არის ერთადერთი ფესვი.

უპასუხე. 1; 3

მაღალი დონე C4, C5

მაგალითი 3. იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა R,რისთვისაც განტოლება

x 2 - ( რ+ 3)x + 1= 0-ს აქვს მთელი ფესვები და ეს ფესვები არის ამონახსნები უტოლობაზე: x 3 – 7 რ x 2 + 2x 2 - 14 რ x - 3x +21 რ ≤ 0.

გამოსავალი. მოდით x 1, X 2 – x განტოლების მთელი რიცხვი ფესვები 2 – (რ + 3)x + 1= 0. შემდეგ ვიეტას ფორმულის მიხედვით ტოლობები x 1 + x 2 = რ + 3, x 1 ∙ x 2 = 1. x ორი მთელი რიცხვის ნამრავლი 1 , X 2 შეიძლება იყოს ერთის ტოლი მხოლოდ ორ შემთხვევაში: x 1 = x 2 = 1 ან x 1 = x 2 = - 1. თუ x 1 = x 2 = 1, მაშინრ + 3 = 1+1 = 2
რ = - 1; თუ x 1 = x 2 = - 1, მაშინრ + 3 = - 1 – 1 = - 2
რ = - 5. შევამოწმოთ არის თუ არა x განტოლების ფესვები 2 – (რ + 3)x + 1= 0 აღწერილ შემთხვევებში ამ უტოლობის ამონახსნებით. შემთხვევისთვისრ = - 1, x 1 = x 2 = 1 გვაქვს

1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – მართალია; შემთხვევისთვის რ= - 5, x 1 = x 2 = - 1 გვაქვს (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – სწორია. ასე რომ, პრობლემის პირობები მხოლოდ დაკმაყოფილებულია რ= - 1 და რ = - 5.

უპასუხე.რ 1 = - 1 და რ 2 = - 5.

მაგალითი 4. იპოვნეთ პარამეტრის ყველა დადებითი მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც რიცხვი 1 ეკუთვნის ფუნქციის განსაზღვრის დომენს

ზე = (ა
- ა
).

კურსის მუშაობა

შემსრულებელი: ბუგროვი ს კ.

მრავალი ფიზიკური პროცესის და გეომეტრიული ნიმუშის შესწავლა ხშირად იწვევს პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრას. ზოგიერთი უნივერსიტეტი ასევე შეიცავს განტოლებებს, უტოლობას და მათ სისტემებს საგამოცდო ნაშრომებში, რომლებიც ხშირად ძალიან რთულია და ამოხსნის არასტანდარტულ მიდგომას მოითხოვს. სკოლაში სასკოლო მათემატიკის კურსის ეს ერთ-ერთი ყველაზე რთული განყოფილება განიხილება მხოლოდ რამდენიმე არჩევით კლასში.

ამ ნაშრომის მომზადებისას, მე დავსახე ამ თემის უფრო ღრმა შესწავლის მიზანი, ყველაზე რაციონალური გადაწყვეტის გამოვლენა, რომელიც სწრაფად მიგვიყვანს პასუხამდე. ჩემი აზრით, გრაფიკული მეთოდი არის მოსახერხებელი და სწრაფი გზა განტოლებებისა და უტოლობების პარამეტრებით ამოსახსნელად.

ჩემი ესსე განიხილავს განტოლებების, უტოლობების და მათ სისტემებს, რომლებიც ხშირად გვხვდება და ვიმედოვნებ, რომ მუშაობის პროცესში მიღებული ცოდნა დამეხმარება სკოლის გამოცდების ჩაბარებაში და უნივერსიტეტში ჩაბარებისას.

§ 1. ძირითადი განმარტებები

განვიხილოთ განტოლება

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

სადაც a, b, c, …, k, x არის ცვლადი სიდიდეები.

ცვლადი მნიშვნელობების ნებისმიერი სისტემა

a = a0, b = b0, c = c0, ..., k = k0, x = x0,

რომელშიც ამ განტოლების ორივე მარცხენა და მარჯვენა მხარე იღებს რეალურ მნიშვნელობებს, ეწოდება a, b, c, ..., k, x ცვლადების დასაშვები მნიშვნელობების სისტემა. მოდით A იყოს a-ს ყველა დასაშვები მნიშვნელობის სიმრავლე, B იყოს b-ის ყველა დასაშვები მნიშვნელობის სიმრავლე და ა.შ., X იყოს x-ის ყველა დასაშვები მნიშვნელობის სიმრავლე, ე.ი. аОА, bОB, …, xOX. თუ A, B, C, …, K სიმრავლეებიდან ავირჩევთ და ვაფიქსირებთ, შესაბამისად, ერთ მნიშვნელობას a, b, c, …, k და ჩავანაცვლებთ მათ განტოლებაში (1), მაშინ მივიღებთ განტოლებას x-ისთვის, ე.ი. განტოლება ერთი უცნობით.

ცვლადებს a, b, c, ..., k, რომლებიც განტოლების ამოხსნისას მუდმივად ითვლება, პარამეტრებს უწოდებენ, ხოლო თავად განტოლებას პარამეტრების შემცველი განტოლება.

პარამეტრები აღინიშნება ლათინური ანბანის პირველი ასოებით: a, b, c, d, ..., k, l, m, n, ხოლო უცნობი - ასოებით x, y, z.

პარამეტრებით განტოლების ამოხსნა ნიშნავს იმის მითითებას, თუ რა პარამეტრების მნიშვნელობებზე არსებობს ამონახსნები და რა არის ისინი.

ორ განტოლებას, რომელიც შეიცავს ერთსა და იმავე პარამეტრებს, ეწოდება ეკვივალენტური, თუ:

ა) მათ აქვთ აზრი იმავე პარამეტრის მნიშვნელობებზე;

ბ) პირველი განტოლების ყოველი ამონახსნი არის მეორე და პირიქით.

§ 2. ამოხსნის ალგორითმი.

იპოვეთ განტოლების განსაზღვრის სფერო.

გამოვხატავთ a-ს x-ის ფუნქციით.

xOa კოორდინატთა სისტემაში ვაშენებთ a=¦(x) ფუნქციის გრაფიკს x-ის იმ მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც შედის ამ განტოლების განსაზღვრის დომენში.

ვპოულობთ a=c წრფის გადაკვეთის წერტილებს, სადაც cÎ(-¥;+¥) a=¦(x) ფუნქციის გრაფიკით თუ წრფე a=c კვეთს გრაფიკს a=¦(x) , შემდეგ განვსაზღვრავთ გადაკვეთის წერტილების აბსცისს. ამისათვის საკმარისია ამოხსნათ განტოლება a=¦(x) x-ისთვის.

ჩვენ ვწერთ პასუხს.

I. ამოხსენით განტოლება

(1)

ვინაიდან x=0 არ არის განტოლების ფესვი, განტოლება შეიძლება გადაწყდეს:

ან

ფუნქციის გრაფიკი არის ორი „წებოვანი“ ჰიპერბოლა. თავდაპირველი განტოლების ამონახსნების რაოდენობა განისაზღვრება აგებული წრფის გადაკვეთის წერტილებისა და y=a სწორი წრფის რაოდენობით.

თუ O (-¥;-1]П(1;+¥)П

, მაშინ სწორი y=a კვეთს (1) განტოლების გრაფიკს ერთ წერტილში. x-ის განტოლების ამოხსნისას ამ წერტილის აბსცისს ვიპოვით.

ამრიგად, ამ ინტერვალზე, განტოლებას (1) აქვს ამონახსნი

. , მაშინ სწორი y=a კვეთს (1) განტოლების გრაფიკს ორ წერტილზე. ამ წერტილების აბსცისები შეიძლება ვიპოვოთ განტოლებებიდან და ვიღებთ და . , მაშინ y=a წრფე არ კვეთს (1) განტოლების გრაფიკს, შესაბამისად ამონახსნები არ არსებობს.

თუ O (-¥;-1]П(1;+¥)П

, ეს ; , რომ , ; , მაშინ გადაწყვეტილებები არ არის.

II. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის განტოლება

აქვს სამი განსხვავებული ფესვი.

განტოლების გადაწერა როგორც

და წყვილი ფუნქციის შესწავლის შემდეგ, შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ პარამეტრის a და მხოლოდ მათი სასურველი მნიშვნელობები შეესაბამება ფუნქციის გრაფიკის იმ პოზიციებს, რომლებშიც მას აქვს ზუსტად სამი წერტილი ფუნქციის გრაფიკთან გადაკვეთაზე. .

xOy კოორდინატთა სისტემაში ჩვენ ავაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს

). ამისათვის ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ იგი ფორმაში და, ოთხი წარმოქმნილი შემთხვევის განხილვის შემდეგ, დავწეროთ ეს ფუნქცია ფორმაში

ფუნქციის გრაფიკიდან გამომდინარე

- ეს არის სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს დახრილობის კუთხე Ox ღერძის მიმართ ტოლი, და კვეთს Oy ღერძს კოორდინატებით (0, a) წერტილში, დავასკვნით, რომ სამი მითითებული გადაკვეთის წერტილის მიღება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ეს ხაზი ეხება ფუნქციის გრაფიკს. აქედან გამომდინარე, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს.

III. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული განტოლებათა სისტემაა

აქვს გადაწყვეტილებები.

სისტემის პირველი განტოლებიდან ვიღებთ

მაშასადამე, ეს განტოლება განსაზღვრავს "ნახევრად პარაბოლების" ოჯახს - პარაბოლის მარჯვენა ტოტები "სრიალებს" თავიანთი წვეროებით აბსცისის ღერძის გასწვრივ.

ავირჩიოთ სრული კვადრატები მეორე განტოლების მარცხენა მხარეს და გავამრავლოთ იგი

თვითმფრინავის მრავალი წერტილი

მეორე განტოლების დამაკმაყოფილებელი არის ორი სწორი ხაზი და

მოდით გავარკვიოთ, პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აქვს მრუდი "ნახევრად პარაბოლების" ოჯახიდან მინიმუმ ერთი საერთო წერტილი ერთ-ერთ სწორ ხაზთან.

უთანასწორობა

(a, b, c, ...,, x)> (a, b, c, ..., x), (1)

სადაც a, b, c, ...,- პარამეტრები, ხოლო x არის რეალური ცვლადი, ეწოდება უტოლობა ერთი უცნობის შემცველი პარამეტრებით.

პარამეტრის მნიშვნელობების ნებისმიერი სისტემა a = a 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , გარკვეული ფუნქციისთვის

(a, b, c, ...,, x) და

(a, b, c, ...,, x

აზრი აქვს რეალური რიცხვების ველში, რომელსაც ეწოდება დასაშვები პარამეტრების მნიშვნელობების სისტემა.

ეწოდება x-ის მოქმედი მნიშვნელობა, თუ

(a, b, c, ...,, x) და

(a, b, c, ...,, x

მიიღეთ სწორი მნიშვნელობები პარამეტრების მნიშვნელობების ნებისმიერი დასაშვები სისტემისთვის.

x-ის ყველა დასაშვები მნიშვნელობის სიმრავლეს ეწოდება უტოლობის განსაზღვრის დომენი (1).

ნამდვილ რიცხვს x 0 ეწოდება (1) უტოლობის ნაწილობრივი ამოხსნა, თუ უტოლობაა

(a, b, c, ...,, x 0 )> (a, b, c, ..., x 0 )

მართალია პარამეტრის დასაშვები მნიშვნელობების ნებისმიერი სისტემისთვის.

უტოლობის ყველა კონკრეტული ამონახსნის სიმრავლეს (1) ეწოდება ამ უტოლობის ზოგადი ამონახსნები.

უტოლობის ამოხსნა (1) ნიშნავს იმის მითითებას, თუ რა პარამეტრების მნიშვნელობებზე არსებობს ზოგადი ამოხსნა და რა არის იგი.

ორი უტოლობა

(a, b, c, ...,, x)>(a, b, c, ..., x) და (1)

(a, b, c, ...,, x)>(a, b, c, ..., x) (2)

ექვივალენტი ეწოდება, თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე ზოგადი გადაწყვეტილებები დასაშვები პარამეტრის მნიშვნელობების სისტემებისთვის.

ამოხსნის ალგორითმი.

ჩვენ ვპოულობთ ამ უთანასწორობის განსაზღვრის დომენს.

უტოლობას ვამცირებთ განტოლებამდე.

გამოვხატავთ a-ს x-ის ფუნქციით.

xOa კოორდინატთა სისტემაში ჩვენ ვაშენებთ a = (x) ფუნქციების გრაფიკებს x-ის იმ მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც შედის ამ უტოლობის განსაზღვრის დომენში.

ჩვენ ვპოულობთ პუნქტების ერთობლიობას, რომელიც აკმაყოფილებს ამ უთანასწორობას.

მოდით გამოვიკვლიოთ პარამეტრის გავლენა შედეგზე.

ვიპოვოთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციზა.

დავაყენოთ სწორი ხაზი a=const და გადავიტანოთ --დან +-ზე

ჩვენ ვწერთ პასუხს.

ეს არის მხოლოდ ერთ-ერთი ალგორითმი xOa კოორდინატთა სისტემის გამოყენებით უტოლობების პარამეტრებით გადაჭრისთვის. ასევე შესაძლებელია გადაწყვეტის სხვა მეთოდები, სტანდარტული xOy კოორდინატთა სისტემის გამოყენებით.

3. მაგალითები

I. a პარამეტრის ყველა დასაშვები მნიშვნელობისთვის ამოხსენით უტოლობა

უტოლობათა სისტემით განსაზღვრული a პარამეტრის განსაზღვრის დომენში

ეს უთანასწორობა უდრის უტოლობათა სისტემას

თუ, მაშინ თავდაპირველი უტოლობის ამონახსნები ავსებენ ინტერვალს.

პასუხი:, .

II. პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზე აქვს სისტემას გამოსავალი?


ვიპოვოთ ტრინომის ფესვები უტოლობის მარცხენა მხარეს -

ტოლობებით განსაზღვრული სწორი ხაზები (*) ყოფს კოორდინატულ სიბრტყეს aOx ოთხ რეგიონად, რომელთაგან თითოეულში არის კვადრატული ტრინომი.

ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს. განტოლება (2) განსაზღვრავს 2 რადიუსის წრეს, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე. შემდეგ თავდაპირველი სისტემის გამოსავალი იქნება დაჩრდილვის კვეთა

რეგიონი წრით, სადაც და მნიშვნელობები და გვხვდება სისტემიდან

და მნიშვნელობები და ნაპოვნია სისტემიდან

ამ სისტემების გადაჭრით, ჩვენ ვიღებთ ამას

III. ამოხსენით უტოლობა a პარამეტრის მნიშვნელობების მიხედვით.

ჩვენ ვპოულობთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონს -

ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი xOy კოორდინატულ სისტემაში.

როდესაც უთანასწორობას არ აქვს გამოსავალი.

როდესაც ამონახსნისთვის x აკმაყოფილებს მიმართებას, სად

უტოლობების ამოხსნა პარამეტრით.

უტოლობები, რომლებსაც აქვთ ფორმა ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются წრფივი უტოლობები.

წრფივი უტოლობების პარამეტრით ამოხსნის პრინციპები ძალიან ჰგავს პარამეტრით წრფივი განტოლებების ამოხსნის პრინციპებს.

მაგალითი 1.

ამოხსენით უტოლობა 5x – a > ცული + 3.

გამოსავალი.

პირველი, მოდით გადავცვალოთ საწყისი უტოლობა:

5x – ax > a + 3, ფრჩხილებიდან გამოვიყვანოთ x უტოლობის მარცხენა მხარეს:

(5 – a)x > a + 3. ახლა განიხილეთ პარამეტრის შესაძლო შემთხვევები:

თუ a > 5, მაშინ x< (а + 3) / (5 – а).

თუ a = 5, მაშინ გამოსავალი არ არის.

Თუ< 5, то x >(a + 3) / (5 – a).

ეს გამოსავალი იქნება პასუხი უთანასწორობაზე.

მაგალითი 2.

ამოხსენით უტოლობა x(a – 2) / (a ​​– 1) – 2a/3 ≤ 2x – a a ≠ 1-ისთვის.

გამოსავალი.

მოდით გარდავქმნათ საწყისი უტოლობა:

x(a – 2) / (a ​​– 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. თუ გავამრავლებთ უტოლობის ორივე მხარეს (-1-ზე), მივიღებთ:

ცული/(a – 1) ≥ a/3. მოდით განვიხილოთ a პარამეტრის შესაძლო შემთხვევები:

1 შემთხვევა. მოდით a/(a – 1) > 0 ან € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). შემდეგ x ≥ (a – 1)/3.

შემთხვევა 2. მოდით a/(a – 1) = 0, ე.ი. a = 0. მაშინ x არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

შემთხვევა 3. მოდით a/(a – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

პასუხი: x € [(a – 1)/3; +∞) ევროსთვის (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x € [-∞; (a – 1)/3] ევროდ (0; 1);
x € R a = 0-ზე.

მაგალითი 3.

ამოხსენით უტოლობა |1 + x| ≤ ცული x-თან შედარებით.

გამოსავალი.

მდგომარეობიდან გამომდინარეობს, რომ უტოლობის ცულის მარჯვენა მხარე უნდა იყოს არაუარყოფითი, ე.ი. ცული ≥ 0. უტოლობიდან მოდულის გამოვლენის წესით |1 + x| ≤ ცული გვაქვს ორმაგი უტოლობა

ნაჯახი ≤ 1 + x ≤ ცული. მოდით გადავიწეროთ შედეგი სისტემის სახით:

(ცული ≥ 1 + x;
(-ცული ≤ 1 + x.

მოდით გადავიტანოთ იგი:

((a – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1.

ჩვენ ვსწავლობთ მიღებულ სისტემას ინტერვალებით და წერტილებით (ნახ. 1):

≤ -1 x €-ისთვის (-∞; 1/(a – 1)].

-1-ზე< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

როდესაც a = 0 x = -1.

0-ზე< а ≤ 1 решений нет.

უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი

გრაფიკების შედგენა მნიშვნელოვნად ამარტივებს პარამეტრის შემცველი განტოლებების ამოხსნას. უტოლობების პარამეტრით ამოხსნისას გრაფიკული მეთოდის გამოყენება კიდევ უფრო ნათელი და მიზანშეწონილია.

f(x) ≥ g(x) ფორმის უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა ნიშნავს x ცვლადის მნიშვნელობების პოვნას, რომლისთვისაც f(x) ფუნქციის გრაფიკი დევს g(x) ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ. ამისათვის ყოველთვის საჭიროა გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების პოვნა (თუ ისინი არსებობს).

მაგალითი 1.

ამოხსენით უტოლობა |x + 5|< bx.

გამოსავალი.

ვაშენებთ y = |x + 5| ფუნქციების გრაფიკებს და y = bx (ნახ. 2). უტოლობის გამოსავალი იქნება x ცვლადის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც არის y = |x + 5 ფუნქციის გრაფიკი. იქნება y = bx ფუნქციის გრაფიკის ქვემოთ.

სურათზე ჩანს:

1) b > 1-სთვის წრფეები იკვეთება. ამ ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის აბსციზა არის x + 5 = bx განტოლების ამონახსნი, საიდანაც x = 5/(b – 1). გრაფიკი y = bx მდებარეობს ზემოთ x-ზე ინტერვალიდან (5/(b – 1); +∞), რაც ნიშნავს, რომ ეს სიმრავლე არის უტოლობის ამოხსნა.

2) ანალოგიურად ვხვდებით, რომ -1-ზე< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) 0 ≤ b ≤ 1-ისთვის, გრაფიკები არ იკვეთება, რაც ნიშნავს, რომ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები.

პასუხი: x € (-∞; 5/(b – 1)) b ≤ -1-ისთვის;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) -1-ზე< b < 0;
არ არის ამონახსნები 0 ≤ b ≤ 1-ისთვის; x € (5/(b – 1); +∞) b > 1-ისთვის.

მაგალითი 2.

ამოხსენით უტოლობა a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4).

გამოსავალი.

1) ვიპოვოთ "საკონტროლო" მნიშვნელობები a პარამეტრისთვის: a 1 = 0 და 2 = -1.

2) მოვაგვაროთ ეს უტოლობა რეალური რიცხვების თითოეულ ქვეჯგუფზე: (-∞; -1); (-1); (-10); (0); (0; +∞).

აა< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

ბ) a = -1, მაშინ ეს უტოლობა მიიღებს ფორმას 0 x > 0 – ამონახსნები არ არის;

გ) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

დ) a = 0, მაშინ ამ უტოლობას აქვს ფორმა 0 x > 4 – ამონახსნები არ არის;

ე) a > 0, ამ უტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ x > (a + 4)/a.

მაგალითი 3.

ამოხსენით უტოლობა |2 – |x||< a – x.

გამოსავალი.

ვაშენებთ y = |2 – |x|| ფუნქციის გრაფიკს (ნახ. 3)და განვიხილოთ სწორი წრფის მდებარეობის ყველა შესაძლო შემთხვევა y = -x + a.

პასუხი: უტოლობას არ აქვს ამონახსნები ≤ -2-ისთვის;
x € (-∞; (a – 2)/2) ევროსთვის (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) a > 2-ისთვის.

პარამეტრებით სხვადასხვა ამოცანების, განტოლებებისა და უტოლობების გადაჭრისას აღმოჩენილია ევრისტიკული ტექნიკის მნიშვნელოვანი რაოდენობა, რომელთა წარმატებით გამოყენება შესაძლებელია მათემატიკის ნებისმიერ სხვა ფილიალში.

პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემები მნიშვნელოვან როლს თამაშობს ლოგიკური აზროვნების და მათემატიკური კულტურის ფორმირებაში. სწორედ ამიტომ, პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის მეთოდებს რომ დაეუფლეთ, წარმატებით გაუმკლავდებით სხვა პრობლემებს.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ უტოლობები?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.