Изменение тока в цепи содержащей индуктивность. Цепь с индуктивностью
>> Катушка индуктивности в цепи переменного тока
§ 34 КАТУШКА ИНДУКТИВНОСТИ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Индуктивность в цепи влияет на силу переменного тока . Это можно доказать с помощью простого опыта.
Соберем цепь из катупхки с большой индуктивностью и электрической лампы накаливания (рис. 4.16). С помощью переключателя можно подк.тючить эту цепь либо к источнику постоянного напряжения, либо к источнику переменного напряжения. При этом постоянное напряжение и действующее значение переменного напряжения должны быть равны. Опыт показывает, что лампа светится ярче при постоянном напряжении. Следовательно, действующее значение силы переменного тока в рассматриваемой цепи меньше силы постоянного тока.
Объясняется это различие явлением самоиндукции . В § 15 главы 2 рассказывалось о том, что при подключении катушки к источнику постоянного напряжения сила тока в цепи нарастает постепенно. Возникающее при этом вихревое электрическое поле тормозит движение электронов. Лишь по прошествии некоторого времени сила тока достигает наибольшего (установившегося) значения, соответствующего данному постоянному напряжению.
Если напряжение быстро меняется, то сила тока не будет успевать достигнуть тех значений, которые она приобрела бы с течением времени при постоянном напряжении.
Следовательно, максимальное значение силы переменного тока (его амплитуда) ограничивается индуктивностью цепи и будет тем меньше, чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения.
Определим силу тока в цепи, содержащей катушку, активным сопротивлением которой можно пренебречь (рис. 4.17). Для этого предварительно найдем связь между напряжением на катушке и ЭДС самоиндукции в ней.
Если сопротивление катушки равно нулю, то и напряженность электрического поля внутри проводника в любой момент времени должна быть равна нулю. Иначе сила тока, согласно закону Ома , была бы бесконечно большой. Равенство нулю напряженности поля оказывается возможным потому, что напряженность вихревого электрического поля i , порождаемого переменным магнитным полем, в каждой точке равна по модулю и противоположна по направлению напряженности кулоновского поля k , создаваемого в проводнике зарядами, расположенными на зажимах источника и в проводах цепи.
Из равенства i = - k следует, что удельная работа вихревого поля (т. е. ЭДС самоиндукции е і) равна по модулю и противоположна по знаку удельной работе кулоновского поля. Учитывая, что удельная работа кулоновского поля равна напряжению на концах катушки, можно записать:
е і = -и.
При изменении силы тока по гармоническому закону
ЭДС самоиндукции равна:
e і = - L i " = - L l m cos t. (4.32)
Так как u = -е і , то напряжение на концах катушки оказывается равным
Следовательно, колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания силы тока на , или, что то же самое, колебания си.яы тока отстают по фазе от колебаний напряжения на (рис. 4.18).
Амплитуда силы тока в катушке равна:
и вместо амплитуд силы тока и напряжения использовать их действующие значения, то получим:
Величину X L , равную произведению циклической частоты на индуктивность , называют индуктивным сопротивлением.
Согласно формуле (4.35) действующее значение силы тока связано с действующим значением напряжения и индуктивным сопротивлением соотношением, подобным закону Ома для цепи постоянного тока.
Индуктивное сопротивление зависит от частоты . Постоянный ток вообще «не замечает» индуктивности катушки. При = 0 индуктивное сопротивление равно нулю (X L = 0).
Чем быстрее меняется напряжение, тем больше ЭДС самоиндукции и тем меньше амплитуда силы тока.
Катушка индуктивности оказывает сопротивление переменному току. Это сопротивление, называемое индуктивным, равно произведению циклической частоты на индуктивность. Колебания силы тока в цепи с индуктивностью отстают по фазе от колебаний напряжения на .
1. Как связаны между собой действующие значения силы тока и напряжения на катушке индуктивности, активным сопротивлением которой можно пренебречь!
2. Почему ЭДС самоиндукции и напряжение на катушке имеют противоположные знаки!
Как мы видели выше, при включении, выключении и при всяком изменении тока в электрической цепи вследствие пересечения проводника своим же собственным магнитным полем в нем возникает индуктированная э.д.с. Эту э.д.с. мы называли э.д.с. самоиндукции. э.д.с. самоиндукции, как указывалось, имеет реактивный характер. Так, например, при увеличении тока в цепи э.д.с. самоиндукции будет направлена против э.д.с. источника напряжения и поэтому ток в электрической цепи не может установиться сразу. И наоборот, при уменьшении тока в цепи индуктируется э.д.с. самоиндукции такого направления, что, препятствуя убыванию тока, она поддерживает этот убывающий ток.
Как нам уже известно, э.д.с. самоиндукции зависит от скорости изменения тока в цепи и от индуктивности этой цепи (числа витков, наличия стальных сердечников):
e L = - L Δi / Δt .
В цепи переменного тока э.д.с. самоиндукции возникает и действует непрерывно, так как ток в цепи непрерывно изменяется.
На рис. 137 представлена схема цепи переменного тока, содержащей катушку с индуктивностью L без стального сердечника. Для простоты будем считать сначала, что активное сопротивление катушки r очень мало и им можно пренебречь.
Рассмотрим внимательнее изменение переменного тока за время одного периода. На рис. 138 показана кривая изменения переменного тока. Первая половина периода разбита на мелкие одинаковые части.
За промежуток времени 0-1 величина тока изменилась от нуля до 1-1". Прирост величины тока за это время равен а.
За время, обозначенное отрезком 1-2, мгновенная величина тока выросла до 2-2", причем прирост величины тока равен б.
В течение времени, обозначенного отрезком 2-3, ток увеличивается до 3-3", прирост тока показывает отрезок в и т. д.
Так, с течением времени переменный ток возрастает до максимума (при 90°). Но, как видно из чертежа, прирост тока делается все меньше и меньше, пока, наконец, при максимальном значении тока этот прирост не станет равным нулю.
При дальнейшем изменении тока от максимума до нуля убыль величины тока становится все больше и больше, пока, наконец, около нулевого значения ток, изменяясь с наибольшей скоростью, не исчезнет, но тут же появляется вновь, протекая в обратном направлении.
Рассматривая изменение тока в течение периода, мы видим, что с наибольшей скоростью изменяется ток около своих нулевых значений. Около максимальных значений скорость изменения тока падает, а при максимальном значении тока прирост его равен нулю. Таким образом, переменный ток меняется не только по величине и направлению, но также и по скорости своего изменения.
Переменный ток, проходя по виткам катушки, создает переменное магнитное поле. Магнитные линии этого поля, пересекая витки своей же катушки, индуктируют в них э.д.с. самоиндукции.
На рис. 139 кривая i показывает изменение переменного тока в катушке. Как было уже указано, величина э.д.с. самоиндукции зависит от скорости изменения тока и от индуктивности катушки. Но так как индуктивность катушки в нашем случае остается без изменения, э.д.с. самоиндукции будет зависеть только от скорости изменения тока. Выше было показано, что наибольшая скорость изменения тока имеет место около нулевых значений тока. Следовательно, наибольшее значение э.д.с. самоиндукции имеет в те же моменты.
В момент а ток резко и быстро увеличивается от нуля, а поэтому, как следует из вышеприведенной формулы, э.д.с. самоиндукции (кривая e L) имеет отрицательное максимальное значение. Так как ток увеличивается, то э.д.с. самоиндукции, по правилу Ленца, должна препятствовать изменению (здесь увеличению) тока. Поэтому э.д.с. самоиндукции при возрастании тока будет иметь направление, обратное току (положение б), что следует также из указанной формулы. Скорость изменения тока по мере приближения его к максимуму уменьшается. Поэтому э.д.с. самоиндукции также уменьшается, пока, наконец, при максимуме тока, когда изменения его будут равны нулю, она не станет равной нулю (положение в).
Переменный ток, достигнув максимума, начинает убывать. По правилу Ленца, э.д.с. самоиндукции препятствует току убывать и, направленная уже в сторону протекания тока, будет его поддерживать (положение г).
При дальнейшем изменении переменный ток быстро убывает до нуля. Резкое уменьшение тока в катушке повлечет за собой также быстрое уменьшение магнитного поля и в результате пересечения магнитными линиями витков катушки в них будет индуктироваться наибольшая э.д.с. самоиндукции (положение д).
Во вторую половину периода изменения тока картина повторяется и снова при возрастании тока э.д.с. самоиндукции будет препятствовать ему, имея направление, обратное току (положение е).
При убывании тока э.д.с. самоиндукции, имея направление, совпадающее с током, будет поддерживать его, не давая ему исчезнуть сразу (положение з).
На рисунке видно, что э.д.с. самоиндукции отстает по фазе от тока на 90°, или на 1/4 периода. Так как магнитный поток совпадает по фазе с током, то можно сказать, что э.д.с., наводимая магнитным потоком, отстает от него по фазе на 90°, или на 1/4 периода.
Нам уже известно, что две синусоиды, сдвинутые одна относительно другой на 90°, можно изобразить векторами, расположенными под углом 90° (рис. 140).
Так как э.д.с. самоиндукции в цепях переменного тока непрерывно противодействует изменениям тока, то, чтобы ток мог протекать по виткам катушки, напряжение сети должно уравновешивать э.д.с. самоиндукции. Иными словами, напряжение сети в каждый момент времени должно быть равно и противоположно э.д.с. самоиндукции.
Вектор напряжения сети, равный и противоположный э.д.с. самоиндукции Е L , мы обозначим через U (рис. 141). Только при условии, что к зажимам катушки приложено напряжение сети, равное и противоположное э.д.с. самоиндукции, и, стало быть, это напряжение сети U уравновешивает э.д.с. самоиндукции Е L , по катушке может проходить переменный ток I. Но в этом случае напряжение сети U будет опережать по фазе ток I на 90°.
Следовательно, в цепи с индуктивностью ток I отстает от приложенного напряжения U по фазе на 1/4 периода. На векторной диаграмме этому сдвигу фаз между напряжением U и током I соответствует угол α = 90° или π / 2 .
Таким образом, в цепях переменного тока э.д.с. самоиндукции, возникая и действуя непрерывно, вызывает сдвиг фаз между током и напряжением. Возвращаясь к рис. 139, мы видим, что ток i по катушке будет проходить и тогда, когда напряжение сети (кривая u L) равно нулю (положение в), и даже тогда, когда напряжение сети направлено в сторону, обратную току (положение г и з).
Итак отметим, что в цепи переменного тока, когда э.д.с. самоиндукции отсутствует, напряжение сети и ток совпадают по фазе. Индуктивная же нагрузка в цепях переменного тока (обмотки электродвигателей и генераторов, обмотки трансформаторов, индуктивные катушки) всегда вызывает сдвиг фаз между током и напряжением.
Можно показать, что скорость изменения синусоидального тока пропорциональна угловой частоте ω. Следовательно, действующее значение э.д.с. самоиндукции E L может быть найдено по формуле
E L = ωLI = 2πfLI.
Как было отмечено выше, напряжение, приложенное к зажимам цепи, содержащей индуктивность, должно быть по величине равно э.д.с. самоиндукции:
Обозначая
2πfL = x L , получим U L = x L I.
Формула закона Ома для цепи переменного тока, содержащей индуктивность, имеет вид
Величина x L называется индуктивным сопротивлением цепи, или реактивным сопротивлением индуктивности, и измеряется в омах. Таким образом, индуктивное сопротивление представляет собой своеобразное препятствие, которое цепь с индуктивностью оказывает изменениям тока в ней. Оно равно произведению индуктивности на угловую частоту:
x L = ωL = 2πfL.
Так как индуктивное сопротивление проводника зависит от частоты переменного тока, то сопротивление катушки, включаемой в цепь токов различной частоты, будет различным. Например, если имеется катушка с индуктивностью 0,05 гн, то в цепи тока частотой 50 гц ее индуктивное сопротивление будет
x L 1 = 2πf 1 L = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 50 ⋅ 0,05 = 15,7 ом,
а в цепи тока частотой 400 гц
x L 2 = 2πf 2 L = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 400 ⋅ 0,05 = 125,6 ом.
Та часть напряжения сети, которая преодолевает (уравновешивает) э.д.с. самоиндукции, называется индуктивным падением напряжения (или реактивной слагающей напряжения):
Рассмотрим теперь, какая мощность потребляется от источника переменного напряжения, если к зажимам его подключена индуктивность.
На рис. 142 даны кривые мгновенных значений напряжения, тока и мощности для этого случая. Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений напряжения и тока:
Из чертежа видно, что если u и i имеют одинаковые знаки, то кривая р располагается выше оси ωt. Если же u и i имеют разные знаки, то кривая р располагается ниже оси ωt.
В первую четверть периода ток, а вместе с ним и магнитный поток катушки увеличиваются. Катушка потребляет из сети мощность. Площадь, заключенная между кривой р и осью ωt, есть работа (энергия) электрического тока. В первую четверть периода энергия, потребляемая из сети, идет на создание магнитного поля вокруг витков катушки (мощность положительная). Количество энергии, запасаемое в магнитном поле за время увеличения тока, можно определить по формуле
W = LI м 2 / 2 .
Во вторую четверть периода ток убывает. э.д.с. самоиндукции, которая в первую четверть периода стремилась препятствовать возрастанию тока, теперь, когда ток начинает уменьшаться, будет препятствовать ему уменьшаться. Сама катушка становится как бы генератором электрической энергии. Она возвращает в сеть энергию, запасенную в ее магнитном поле. Мощность отрицательна, и на рис. 142 кривая р располагается ниже оси ωt.
Во вторую половину периода явление повторяется. Таким образом, между источником переменного напряжения и катушкой, содержащей индуктивность, происходит обмен мощностью. В течение первой и третьей четвертей периода мощность поглощается катушкой, в течение второй и четвертой четвертей мощность возвращается источнику.
В этом случае в среднем расхода энергии не будет, несмотря на то что на зажимах цепи есть напряжение U и в цепи протекает ток I. Следовательно, средняя, или активная, мощность цепи, носящей чисто индуктивный характер, равна нулю.
Из графика, изображенного на рис. 142, видно, что мгновенная мощность цепи с индуктивностью два раза в течение каждого периода (когда ωt = 45°, 135° и т. д.) достигает максимального значения, равного U м / √2 ⋅ I м / √2 = UI. Этой величиной принято характеризовать количественно процесс обмена энергией между источником и магнитным полем. Ее называют реактивной мощностью и обозначают буквой Q.
Учитывая, что в рассматриваемой цепи U = I ⋅ x L , получаем следующее выражение для реактивной мощности.
Рассмотрим, наконец, третий частный случай, когда участок цепи содержит только индуктивность. Обозначим по-прежнему через U напряжение между точками а и б и будем считать ток I положительным, если он направлен от а к б (рис.6). При наличии переменного тока в катушке индуктивности возникнет ЭДС самоиндукции, и поэтому мы должны применить закон Ома для участка цепи, содержащего эту ЭДС:
В нашем случае R = 0, а ЭДС самоиндукции
Если сила тока в цепи изменяется по закону
Видно, что колебания напряжения на индуктивности опережают по фазе колебания тока на p/2. Когда сила тока, возрастая, проходит через нуль, напряжение уже достигает максимума, после чего начинает уменьшаться; когда сила тока становится максимальной, напряжение проходит через нуль, и т.д. (рис.7).
Из (4) следует, что амплитуда напряжения равна
и, следовательно, величина
играет ту же роль, что сопротивление участка цепи. Поэтому называют индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивление пропорционально частоте переменного тока, и поэтому при очень больших частотах даже малые индуктивности могут представлять значительное сопротивление для переменных токов.
Мгновенная мощность переменного тока
также, как и в случае идеальной емкости, меняется со временем по синусоидальному закону с удвоенной частотой. Очевидно, что средняя за период мощность равна нулю.
Таким образом, при протекании переменного тока через идеальные емкость и индуктивность обнаруживается ряд общих закономерностей:
1. Колебания тока и напряжения происходят в различных фазах - сдвиг по фазе между этими колебаниями равен p/2.
2. Амплитуда переменного напряжения на емкости (индуктивности) пропорциональна амплитуде протекающего через этот элемент переменного тока
где X - реактивное (емкостное или индуктивное сопротивление). Важно иметь в виду, что это сопротивление связывает между собой не мгновенные значения тока и напряжения, а только их максимальные значения. Реактивное сопротивление отличается от омического (резистивного) сопротивления еще и тем, что оно зависит от частоты переменного тока.
3. На реактивном сопротивлении не рассеивается мощность (в среднем за период колебаний), это означает, что, например, через конденсатор может протекать переменный ток очень большой амплитуды, но тепловыделение на конденсаторе будет отсутствовать. Это является следствием фазового сдвига между колебаниями тока и напряжения на реактивных элементах цепи (индуктивности и емкости).
Резистивный элемент, который описывается в рассматриваемом частотном диапазоне законом Ома для мгновенных токов и напряжений
называют омическим или активным сопротивлением. На активных сопротивлениях происходит выделение мощности.
При токе а цепи с индуктивностью (рис. 6-4) в ней индуктируется э. д. с. самоиндукции (3-37)
Если цепь с индуктивностью обладает ничтожно малым сопротивлением то по второму закону Кирхгофа
откуда напряжение на зажимах цепи
Рис. 6-4. Цепь с индуктивностью.
Следовательно, приложенное к цепи напряжение вызывает в ней такой ток, магнитное поле которого при своем изменении в каждый момент времени индуктирует э. д. с. самоиндукции, равную по величине и противоположную по направлению приложенному напряжению, т. е. уравновешивающую это напряжение (рис. 6-5 и 6-6).
Из уравнения (6-4) и рис. 6-5 и 6-6 следует, что ток отстает по фазе от напряжения на периода (на ) или опережает по фазе э. д. с. на периода. Это - вызывается тем, что индуктированная э. д. с. Пропорциональна скорости изменения тока по времени. При прохождении тока верез максимальное значение, когда скорость изменения его равна нулю, э. д. с, также равна нулю; при прохождении тока через у левое значение, когда скорость изменения его наибольшая, э. д. с. . По закону Ленца при положительном приращении тока ) э. д. с. направлена встречно току, и наоборот, при отрицательном приращении тока э. д. с. направлена одинаково с током.
Рис. 6-5. Графики тока, магнитного потока, напряжения и мощности цепи с индуктивностью.
Рис. 6-6. Векторная диаграммма цепи с индуктивностью.
Поэтому, например, в течение первой четверти периода (рис. 6-5) при нарастании тока э. д. с. отрицательна, а в течение второй четверти периода, при убываний тока э. д. с. положительна,
б) Индуктивное сопротивление
Из (6-3) и (6-4) следует, что
откуда напишем закон Ома для амплитудных значений:
Разделив на написанное выражение, получим закон Ома для действующих значений:
Величина отношения напряжения к току цепи
называется реактивным сопротивлением индуктивности, или, короче, индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивление пропорционально величине индуктивности и частоте тока. При постоянном токе оно равно нулю.
в) Мощность
Мгновенная мощность цепи с индуктивностью
Мощность изменяется с двойной частотой (рис. 6-5), 2 раза в течение периода достигая положительного максимума и 2 раза достигая такого же по величине отрицательного максимума.
При нарастании тока, а следовательно и магнитного потока (первая и третья четверти периода, рис. 6-5) независимо от его направления, происходит накопление энергии магнитного поля от нуля до. максимального значения (§ 3-39):
которая получается от генератора; таким образом, цепь работает в режиме потребителяг что соответствует положительному значению мощности цепи.
При уменьшении тока, а следовательно и магнитного потока (вторая и четвертая четверти периода, рис. 6-5), происходит уменьшение энергии магнитного поля от максимального значения до нуля, которая возвращается цепью генератору. Таким образом, в эти части периода цепь работает в режиме генератора, что соответствует отрицательному значению мощности цепи с индуктивностью.
Активная мощность Р в цепи с индуктивностью равна нулю.
Максимальное значение мощности Q в цепи с индуктивностью принято называть реактивной мощностью.
Из (6-9) следует, что
Единица измерения реактивной мощности носит название вольт-ампер реактивный (вар).
Пример 6-1. Цепь с индуктивностью 0,02 Г включена под напряжение 127 В и частотой 50 Гц.
1. Определить индуктивное сопротивление цепи, ток и реактивную мощность.
2. Определить реактивное сопротивление индуктивности и ток в цепи при частоте 1 000 Гц.
г) Зависимость напряжения на индуктивности от магнитного потока
В некоторых случаях расчета цепей переменного тока напряжение на индуктивности удобно выразить через магнитный поток.
Если все витки катушки (контура) пронизываются одним магнитным потоком, то амплитуда потокосцепления самоиндукции
В этом случае э. д. с. самоиндукции и равное ей по величине напряжение на зажимах
Индуктивностью L теоретически обладают все проводники с током. Но в некоторых случаях эта индуктивность так мала, что ею вполне можно пренебречь. Значительна индуктивность у обмоток или катушек, состоящих из большого числа витков провода.
Рассмотрим идеальную катушку с постоянной индуктивностью L , то есть такую катушку, активное сопротивление которой равно нулю.
Пусть к цепи с индуктивностью L
приложено синусоидальное напряжение 
. Под действием этого напряжения в цепи индуктивной катушки возникает ток i
. Этот ток создает магнитный поток Ф
, который согласно закону электромагнитной индукции индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции
где w – число витков катушки.
Условное положительное направление ЭДС e L выбирают из условия, что её действительное направление в любой момент времени противоположно направлению u L ().
По второму закону Кирхгофа имеем , а с учетом того, что , получаем
Чтобы получить это уравнение на основании , условное положительное направление e L следует всегда принимать совпадающим с положительным направлением тока.
или 
Решая это уравнение, получим выражение для тока в цепи:
Так как амплитуда тока
то окончательное выражение для тока имеет вид
.
Видно, что в цепи с индуктивностью ток также изменяется по синусоидальному закону и отстает по фазе от напряжения на угол π/ 2.
В формуле знаменатель в правой части имеет размерность сопротивления. Это индуктивное сопротивление
.
Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности. С учетом этой формулы получаем
Для действующих значений напряжения и тока
Так как согласно ЭДС самоиндукции численно равна напряжению на элементе с индуктивностью, то, используя , имеем
.
Видно, что индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током и ЭДС самоиндукции.
В соответствии с принимая во внимание, что , комплексное напряжения , а в соответствии с и комплексный ток
.
На векторной диаграмме вектор напряжения, имеющий начальную фазу, равную нулю, отложен по мнимой оси, а вектор тока, имеющий начальную фазу , - в положительном направлении вещественной оси. Угол сдвига фаз между напряжением и током в цепи с индуктивностью .
Если модули напряжения и тока связаны соотношением , то их комплексные значения связаны соотношением
В цепи с индуктивностью L угол и формула принимает вид
,
то есть мгновенное значение мощности имеет только переменную составляющую.
Первую четверть периода ток совпадает по направлению с ЭДС самоиндукции e L индуктивной катушки, мощность отрицательна и энергия передается от катушки к источнику питания. Вторую четверть периода ток совпадает по направлению с напряжением источника питания, мощность положительна, а энергия поступает от источника к приемнику (индуктивной катушке) и запасается в его магнитном поле. В течение третьей четверти периода ток опять совпадает по направлению с e L и запасенная в магнитном поле катушки энергия передается источнику питания (мощность отрицательна).
Таким образом, в течение одного периода электроэнергия дважды поступает от источника в катушку и обратно. При этом вся передаваемая энергия запасается в магнитном поле катушки и затем вся возвращается источнику. Такая энергия обмена между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена электроэнергией характеризуется реактивной мощностью Q L , равной амплитуде мгновенного значения мощности, то есть
Реактивную мощность выражают в вольт-амперах реактивных (вар), киловольт-амперах реактивных (квар) и т.д.
Напряжение на элементе с индуктивностью 
, поэтому реактивная мощность можно также определить по формулам
,
где - индуктивная проводимость.
